例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中思想方法的有效教學(xué)

蔣仁貴

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是形成數(shù)學(xué)能力、意識的橋梁，是靈活解決問題的“指南針”。在高三復(fù)習(xí)備考過程中，教師更應(yīng)該高屋建瓴，抓住數(shù)學(xué)思想方法這一主線展開復(fù)習(xí)。針對數(shù)學(xué)思想具有高度抽象性，教學(xué)中對教師的專業(yè)素養(yǎng)要求高，學(xué)生理解的難度大等特點(diǎn)，要在高三復(fù)習(xí)中做到數(shù)學(xué)思想方法的有效教學(xué)，首先教師在教學(xué)中要不斷總結(jié)經(jīng)驗同時積極研修專業(yè)知識，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；其次，構(gòu)建合理的教學(xué)思路，有效滲透數(shù)學(xué)思想方法；最后通過模式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生解題，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，形成自己思考問題、解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)；思想方法；有效教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法早已是廣大數(shù)學(xué)教育工作者的共識，義務(wù)教育階段與高中階段的《課程標(biāo)準(zhǔn)》中都有明確的要求，每年的各種考試（如各地的中考、高考）評價中也一再出現(xiàn)“突出了對數(shù)學(xué)思想方法的考查”，由此可見，數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的重要地位。但是在具體的數(shù)學(xué)課堂中，怎樣才能做到數(shù)學(xué)思想方法的有效教學(xué)，仍是困擾一線師生的最大難題。這個難題昭示著研究數(shù)學(xué)思想方法的有效教學(xué)的意義所在，正是基于這樣的思考，筆者從個人教學(xué)實例出發(fā)，通過多方向探討，談?wù)勏嚓P(guān)教學(xué)心得。

一、教學(xué)與研修相長

“唉！講過練過的不太會，不講不練的肯定不會?！痹诿恳淮螠y試后的分析會上總能夠聽到教師這樣的嘆氣聲。是啊，學(xué)生面對熟悉的題型，為什么就是不會呢？筆者認(rèn)為這跟數(shù)學(xué)思想方法在課堂上沒有得到有效教學(xué)有著莫大的關(guān)系。眾所周知，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識體系的靈魂。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識。學(xué)生只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識、形成能力，靈活地解決問題。因此，作為一名教師，首先要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意識，及時更新教學(xué)觀念。其次要不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的思想方法，構(gòu)建合理的教學(xué)過程，這樣才能夠形成有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)策略。例如，熟練掌握哪些方法才是真正的數(shù)學(xué)思想方法？有的老師熱衷于為學(xué)生總結(jié)這樣的“思想方法”“直線交曲線，抓點(diǎn)弦，消參數(shù)，關(guān)系建”“三角函數(shù)題，見到平方要降冪”“立體幾何題，要建坐標(biāo)系，這樣解題會容易”。顯然，這些東西與“數(shù)學(xué)思想方法”的含義相去甚遠(yuǎn)，這些東西總結(jié)多了，不僅加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，更嚴(yán)重的是把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也磨滅了。所以，教師的教學(xué)和數(shù)學(xué)專業(yè)的研修要齊頭并進(jìn)，相互反饋，共同提高，為數(shù)學(xué)思想方法的有效教學(xué)打下基礎(chǔ)。

二、滲透與訓(xùn)練齊抓

中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與抽象的數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體，它們相互關(guān)聯(lián)、相互依存，協(xié)同發(fā)展。在具體知識教學(xué)中，一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過精心設(shè)計的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程，滲透蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，使他們在潛移默化中達(dá)到理解和掌握，做到潤物細(xì)無聲，同時輔之以相關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練加強(qiáng)理解。

案例1：已知，如圖①在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，點(diǎn)C和點(diǎn)M重合，BC和MN在一條直線上，令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在的直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖②），直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止。設(shè)移動x秒后，矩形ABCD與Rt△PMN重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

教學(xué)過程：

師：矩形ABCD在運(yùn)動過程中，它與Rt△PMN重疊部分的圖形會一樣嗎？

生：不一樣

師：請你根據(jù)重疊部分圖形的變化，抓拍幾張精彩“照片”？

（此言一出，學(xué)生興趣盎然）

教師讓學(xué)生板演他所拍到的“照片”（經(jīng)過幾輪修正，畫草圖如下）。

師：說說你為什么要拍這幾張照片？

生：我認(rèn)為，矩形ABCD在運(yùn)動過程中，它與Rt△PMN重疊部分的圖形只有這四種不同的形狀，所以就拍了這四張照片（眾生笑）.

……

該題蘊(yùn)涵分類討論思想和化歸思想，學(xué)生看到是求解面積，能夠較快的想到運(yùn)用所學(xué)的面積公式來解決，但在動態(tài)的過程中，圖形是在不斷變化的，怎么表示面積呢？這就需采用分類討論的數(shù)學(xué)思想。但學(xué)生對于“怎樣分？”和“為什么要這樣分？”都深感棘手。為此，筆者在教學(xué)中采用學(xué)生比較熟悉的抓拍“照片”進(jìn)行比喻，從而掀去了分類討論思想神秘的“面紗”，讓學(xué)生生動直觀地體會到此類問題“怎樣分類和為什么要這樣分類”。學(xué)生也就輕松接受了分類討論思想不重不漏的原則。形象的比喻、恰當(dāng)?shù)恼Z言將數(shù)學(xué)思想化抽象為形象，融數(shù)學(xué)于生活，這既加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解，降低了學(xué)習(xí)的難度，又大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、模式與創(chuàng)新同進(jìn)

在認(rèn)知心理學(xué)里，思想方法屬于元認(rèn)知范疇，它對認(rèn)知活動起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對培養(yǎng)能力起著決定性的作用。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就是要提高學(xué)生在有限的時間內(nèi)高效解決問題的能力，而解決問題的關(guān)鍵在于找到合適、簡練的思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助構(gòu)建解題思路的“一根紅線”。因此，提升數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的有效性，作為教師的我們除了在具體知識的講解中向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平之外，還要將抽象的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為一種可實際操作的模式，使得學(xué)生能夠運(yùn)用它來尋找思路、思考問題、解決問題，反過來更加深刻的理解數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，這不是一種放之四海而皆準(zhǔn)的模型，它提供的只是一種框架，一種解決問題的思路雛形，“具體的裝修”還需要具體問題具體分析。在教學(xué)過程中，老師要特別注重引導(dǎo)學(xué)生分析比較不同的思想方法給出的解題思路模式的優(yōu)缺點(diǎn)，創(chuàng)新解題思路模式。

案例2：設(shè)不等式 對滿足 的一切實數(shù)m都成立，求實數(shù)x的取值范圍。

分析：本題解題思路（1）：運(yùn)用分類討論的思想，通過討論x2-1與0的三種情況分離變量，如 ，則原式等價于對滿足 的一切實數(shù)m恒成立，即 ，這樣再轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次不等式，但求解過程繁瑣，耗時太多；解題思路（2）：運(yùn)用常量與變量的轉(zhuǎn)化，把不等式看作是關(guān)于 的一元一次不等式，則可以極大的簡化求解過程，耗時較少。思路（2）的解題過程如下：

解：令 ，

則原不等式等價于 恒成立， ，

即f（2）>0且f（-2）>0

解得

所以實數(shù) 的取值范圍是

思路（1）是一種常規(guī)解題模式，我們對于恒成立問題常常采用分類變量，轉(zhuǎn)化為求解一方的最值問題或利用一方的最值轉(zhuǎn)化為新的不等式問題。思路（2）是一種思維創(chuàng)新，通過轉(zhuǎn)換變量，化繁為簡。學(xué)生在這樣的思路模式的對比分析中，就能夠加深對轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解，領(lǐng)悟各種思想方法的內(nèi)涵，達(dá)到有效教學(xué)的目的。

四、引導(dǎo)與頓悟共存

葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機(jī)引導(dǎo)?！币徽Z點(diǎn)中數(shù)學(xué)思想方法的講授要害，教學(xué)中的引導(dǎo)是“以明確的教學(xué)目標(biāo)為指引，通過有效的教學(xué)方法或手段激發(fā)思考，深化理解?！?因此，教師首先組織好學(xué)生以一種積極的態(tài)度主動參與到教學(xué)的思辨活動中來，然后引導(dǎo)學(xué)生逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。

案例3：設(shè) 是首項為1的正項數(shù)列，且 ，求數(shù)列 的通項公式.

分析：題設(shè)給出了數(shù)列相鄰兩項所滿足的關(guān)系式（遞推公式）和首項a1=1，由此可求出 ， ， ，從而可猜想出 ，由特殊到一般，靈活運(yùn)用“歸納一猜想一證明”這一探究問題的思維方式猜想出結(jié)果（填空題可不必證明）。

另外，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)該遞推公式是關(guān)于 和 的二次齊次式，正好可以通過分解因式或解一元二次方程來解決，即靈活運(yùn)用方程思想求得更簡單的遞推式，進(jìn)而求得an。

通過這樣的訓(xùn)練，對融會貫通中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，鍛煉學(xué)生的發(fā)散與收斂的思維，提高學(xué)生解題的靈活性、機(jī)智性都是大有裨益的。也只有這樣才能使學(xué)生在比較中選擇，在鑒別中進(jìn)取，領(lǐng)悟不同的思想方法的內(nèi)涵，學(xué)會在不同的思想方法的引領(lǐng)下，多角度思考問題，多方法解決問題，真正提升自己的數(shù)學(xué)能力。持之以恒，學(xué)生自會有從量變到質(zhì)變、從基本知識到思想方法的升華。

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來?！痹搭^活則池水清，根本固則枝葉榮。作為教師的我們只有不斷地提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充實知識的儲備，緊跟課程改革的步伐，摒棄陳舊的教學(xué)套路，我們的課堂才可能是鮮活的、有效的，學(xué)生的學(xué)習(xí)才可能是輕松愉悅。最后以閔山國藏的這段話作為自勉：“學(xué)生在畢業(yè)之后不久，數(shù)學(xué)知識很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么職業(yè)的工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、推理方法和著眼點(diǎn)（如果培養(yǎng)了這種素質(zhì)的話），再隨時發(fā)生作用，使他們受益終身?！?/p>

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