“異面直線所成角”課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)

朱建平　袁衛(wèi)剛

[摘要]“異面直線所成角”是蘇教版教材中幾何模塊的一個(gè)核心概念，具有較好的教學(xué)價(jià)值與教育功能異面直線所成角的概念教學(xué)可從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述和應(yīng)用理解等環(huán)節(jié)去完整地體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程.

[關(guān)鍵詞]異面直線所成角;課堂教學(xué);反思;重構(gòu)

[中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0006-02

一、教材內(nèi)容分析

“異面直線所成角”“直線與平面所成角”“二面角”是立體幾何中的重要內(nèi)容，這些角的計(jì)算主要是利用空間矢量來完成.本節(jié)課要研究的“異面直線所成角”的概念，主要是為引出“兩條異面直線垂直”的概念，為下面研究直線與平面垂直打下基礎(chǔ).蘇教版教材“空間兩條直線的位置關(guān)系”開頭給出了異面直線的定義，后面在“異面直線”部分安排了兩條異面直線的判定方法、異面直線所成角定義以及空間兩直線垂直的定義，只安排了一個(gè)例題.可見，教材中明顯淡化了異面直線所成角定義以及異面直線所成角的計(jì)算.

“異面直線所成角”的概念可以從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解等環(huán)節(jié)完整地體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程.教學(xué)中，學(xué)生有自我發(fā)現(xiàn)、自主探究、感悟知識(shí)和方法的獲得過程.因此，“異面直線所成角”是蘇教版教材中幾何模塊的一個(gè)核心概念，具有較好的教學(xué)價(jià)值與教育功能.

二、概念形成過程的反思與重構(gòu)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

“異面直線所成角”如何有效引入？在教學(xué)過程中，如何讓學(xué)生體會(huì)研究“異面直線所成角”的必要性，明確概念發(fā)展的意義？有些教師在情境創(chuàng)設(shè)、課堂引入環(huán)節(jié)的做法值得進(jìn)一步分析和探討.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

情形一，讓學(xué)生觀察正方體的棱及對(duì)角線，找出不同的異面直線，觀察每組異面直線的相對(duì)位置關(guān)系，以期引出研究異面直線的距離和所成角的必要性.這樣做的好處是能夠借助正方體的表面或?qū)敲?，比較清晰地認(rèn)清兩條直線異面的屬性.但是，由于兩條異面直線都是“鑲嵌”在正方體中，在對(duì)這兩條異面直線位置關(guān)系的觀察上需要較強(qiáng)的空間想象力，對(duì)不同的兩對(duì)異面直線之間位置關(guān)系的比較會(huì)給學(xué)生造成一定的困難，影響后續(xù)概念的建構(gòu).

情形二，利用教室內(nèi)桌子和黑板的邊緣、日光燈、墻面交線等形成的兩條異面直線的位置關(guān)系來引入.一方面，學(xué)生需要從實(shí)物中抽象出直線，增加想象的過程;另一方面，仍然是不同形態(tài)的兩條異面直線的位置關(guān)系差異性不容易獲得，學(xué)生對(duì)異面直線的“距離”“所成角”感悟不夠，弱化了建立概念的必要性.

2.有效重構(gòu)

有效的情境創(chuàng)設(shè)要包含數(shù)學(xué)問題，并且要有利于學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題.本節(jié)課情境創(chuàng)設(shè)的主要形式是呈現(xiàn)多組異面直線的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察到每組異面直線位置的不同，并且能夠找到刻畫這些不同的數(shù)學(xué)量.

經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為教師用兩根小木棍來展示兩條異面直線的不同位置關(guān)系效果非常好.通過固定其中一根木棍，平移或是旋轉(zhuǎn)另一根木棍，教師可以比較集中地向?qū)W生展示兩條異面直線不同的位置關(guān)系.教學(xué)過程中，教師激發(fā)學(xué)生聯(lián)想到平面內(nèi)兩條平行線間的距離以及兩條相交直線夾角的概念，學(xué)生可以真切地感受到兩條異面直線似乎既有角又有距離.這樣，為了區(qū)別不同的異面直線，引入異面直線所成角和距離就是很自然、合理的了.上述做法簡(jiǎn)明自然，還原了知識(shí)的“生長(zhǎng)”過程，隱含了類比思想，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）經(jīng)歷過程，建構(gòu)概念

在情境創(chuàng)設(shè)階段，教師為學(xué)生提供了兩根木棍這樣具體的、直觀的、能夠體現(xiàn)兩條異面直線本質(zhì)屬性的典型例子.這樣的設(shè)計(jì)，不僅有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)，更有利于學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、類比找到“異面直線所成角”;通過交流、探討找到“異面直線所成的角”平面角的模型，抽象概括出定義.這樣做，不僅還原了數(shù)學(xué)概念“生長(zhǎng)”的自然性，還使得學(xué)生在活動(dòng)過程中始終處于積極思考的狀態(tài)，相應(yīng)的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培養(yǎng)和提高.但是，教師對(duì)知識(shí)的理解以及對(duì)教學(xué)目標(biāo)的定位往往制約著上述教學(xué)的實(shí)際效果.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

在教學(xué)中，受具體實(shí)例（一根木棍動(dòng)，另一根木棍不動(dòng)）的影響，學(xué)生在建構(gòu)“異面直線所成的角”平面角模型時(shí)，基本都是將異面直線a，b中的a平移到與b相交時(shí)的直線a'與b的夾角叫作為異面直線a，b的夾角，找到“異面直線所成的角”平面角的雛形.此后，有些教師就會(huì)讓學(xué)生自己閱讀教材上的定義，并進(jìn)行比較.這樣，就存在四個(gè)本該在探究過程中解決而沒有解決的問題.

（1）建構(gòu)中的平移直線→定義中的作平行線.

（2）建構(gòu)中的a'與b相交，相當(dāng)于過直線b上一點(diǎn)作直線a的平行線→定義中是過空間任一點(diǎn)O分別做直線a，b的平行線a'，b'.

（3）建構(gòu)中的“夾角”→定義中的“所成的角”.

（4）異面直線所成角的范圍.

顯然，這樣的教學(xué)過程，既缺少了在學(xué)生找到的不同平面角模型中歸納、概括概念共同屬性的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，又在概念形成過程中缺少了抽象表述概念的過程.

2.有效重構(gòu)

數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程中，既要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，也少不了教師的主導(dǎo)作用.教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解通過適當(dāng)?shù)姆绞郊右渣c(diǎn)撥，是學(xué)生學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié).

在概念建構(gòu)過程中，“平移”自然，在精準(zhǔn)定義的過程中，作“平行線”比“平移”規(guī)范，具有可操作性;兩條直線相交才有夾角，而兩條異面直線不相交.因此用“所成角”;兩條直線相交形成兩對(duì)對(duì)頂角，其中的銳角（直角）與直線的位置關(guān)系一一對(duì)應(yīng).因此，就有了異面直線所成的角的范圍是（0，π/2）.這與相交直線的夾角定義保持一致.定義中異面直線所成的角的大小與空間一點(diǎn)O的選取無關(guān).教師可在概念探究過程中，有意識(shí)地加以引導(dǎo)，通過選取O點(diǎn)的不同位置引導(dǎo)學(xué)生利用等角定理來理解、證明這些角的大小是相等的.從定義的角度向?qū)W生指出其合理性，并且告訴學(xué)生在后面的應(yīng)用過程中，可以體會(huì)其帶來的運(yùn)算的靈活性.

總之，通過對(duì)定義中關(guān)鍵信息的精準(zhǔn)表述，可以完善概念的內(nèi)涵，并且讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括的“數(shù)學(xué)抽象”過程，也正是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要.

（三）應(yīng)用體驗(yàn)，理解概念

要深刻理解概念，僅從對(duì)定義文字的閱讀理解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要選擇合適的例題，將概念的理解置于數(shù)學(xué)問題的解決過程中，讓學(xué)生再次經(jīng)歷從具體到抽象的思辨過程.在實(shí)際教學(xué)過程中，有的教師還存在著對(duì)教材內(nèi)容定位不準(zhǔn)以及對(duì)例題在概念教學(xué)中的作用理解不到位的現(xiàn)象.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

情形一，有些教師在教學(xué)教材例題1時(shí)，將第（1）問“求異面直線AA₁與BC所成的角”變?yōu)椤爸本€AA₁與直線BC是異面直線嗎？如果是，它們所成的角是多少？”意圖將新知識(shí)融入原有的知識(shí)系統(tǒng)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“直線AA₁與直線BC是異面直線嗎？”進(jìn)行判斷與證明.事實(shí)上，從本課的教學(xué)目標(biāo)定位來看，引導(dǎo)學(xué)生利用輔助面簡(jiǎn)明地判定直線AA₁與BC是異面直線是合理的，而是否需要證明值得商榷.該問的目的是利用定義求出異面直線AA₁與BC所成的角是90°，從而引出兩直線異面垂直的概念.

情形二，有些教師在教學(xué)教材例題1第（2）問“求異面直線BC₁與AC所成的角”時(shí)，意圖給學(xué)生介紹求異面直線所成的角的一般步驟.實(shí)際教學(xué)中，大部分學(xué)生都能說出過點(diǎn)A作BC₁的平行線AD₁（或是平移BC₁至AD₁的位置），∠D₁AC就是異面直線BC₁與AC所成的角，或是說出∠A₁C₁B也是異面直線BC₁與AC所成的角.然后，有些教師就在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)概括求異面直線所成的角的一般步驟，例題教學(xué)結(jié)束.事實(shí)上，學(xué)生還有別的想法，如取棱AB、BC、C₁D₁的中點(diǎn)，分別記為E，F(xiàn)，G，則∠GEF也是異面直線BC₁與AC所成的角.師未能關(guān)注到學(xué)生的這類想法并做出引導(dǎo)和解答，失去了例題所要解決的最本質(zhì)問題的機(jī)會(huì).另外，教師總結(jié)方法后，也未能及時(shí)加以鞏固，例題的作用沒有完全發(fā)揮出來.

2.有效重構(gòu)

蘇教版教材中，在給出異面直線所成的角的定義后，只安排了一個(gè)例題1.例題1以正方體為載體設(shè)計(jì)了兩個(gè)小問，在應(yīng)用理解概念的同時(shí)，給出了異面直線垂直的概念以及求異面直線所成的角的計(jì)算流程.教師要在理解教材、了解學(xué)生的基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地使用教材，幫助學(xué)生拓展概念的外延.

第（1）問（見上）引出兩條直線異面垂直的概念后，要讓學(xué)生在正方體中再找出一些異面直線垂直的例子.同時(shí)，可以利用教室日光燈與黑板邊緣、課桌的邊緣線等讓學(xué)生體驗(yàn)兩直線異面垂直.一定要使學(xué)生理解垂直、相交垂直、異面垂直這三個(gè)既相互聯(lián)系又相互區(qū)別的概念，為建立直線與平面垂直的概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

第（2）問（見上）正如上面所述，在建構(gòu)異面直線BC₁與AC所成角的平面角時(shí)，按照定義，可以“經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O”來分別作直線BC₁與AC的平行線，教師要關(guān)注學(xué)生的不同做法，對(duì)可行的方法要及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)，同時(shí)要向?qū)W生指出，正是由于定義中“點(diǎn)O的任意性”到具體計(jì)算正方體中的棱或?qū)蔷€構(gòu)成的兩條異面直線所成的角時(shí)，直線一般平移到頂點(diǎn)，這為計(jì)算提供了方便.在引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出計(jì)算兩條異面直線所成的角的步驟后，應(yīng)該及時(shí)練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方法.如，可讓學(xué)生在正方體中求直線DD₁和A1B所成的角.

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，都有其產(chǎn)生和發(fā)展的自然性異面直線所成的角”的概念也要遵循這種自然性，充分利用學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象概括的過程，在揭示概念本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)思想方法上做文章，精心設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).無論是概念的引人、概念形成時(shí)經(jīng)歷的概括過程，還是概念的理解，都應(yīng)按照教材要求A然展開.

[參考文獻(xiàn)]

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