設(shè)而不求思想的拓展應(yīng)用

黎平

摘要：設(shè)而不求是解析幾何的基本思想，本文將設(shè)而不求思想的應(yīng)用范疇從非對稱型拓展到對稱型，從雙交點(diǎn)型拓展到單交點(diǎn)型，從線參數(shù)型拓展到點(diǎn)參數(shù)型，并通過三拓展深刻揭示了設(shè)而不求的“思想架構(gòu)”.

關(guān)鍵詞：設(shè)而不求;整體方式;消元方式;形式變換法;聯(lián)立消元法; 表示代入法;構(gòu)造代入法;點(diǎn)參數(shù);線參數(shù)

設(shè)而不求是解析幾何的基本思想，在直線與圓錐曲線相交條件下求解的解析幾何問題可以稱為直線與圓錐曲線相交問題，在這類問題中，我們可設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用交點(diǎn)坐標(biāo)表示幾何條件、幾何結(jié)論和幾何量，但并不求出交點(diǎn)坐標(biāo)，而通過整體代入等方式簡化運(yùn)算，這就是設(shè)而不求思想。

在直線與圓錐曲線相交問題中，交點(diǎn)坐標(biāo)表示幾何條件、幾何結(jié)論和幾何量得到的式子可稱為坐標(biāo)式，當(dāng)坐標(biāo)式是對稱式時(shí)，我們不難應(yīng)用設(shè)而不求思想進(jìn)行求解，這是我們所熟悉的設(shè)而不求思想的應(yīng)用范疇，其實(shí)這一應(yīng)用范疇可以得到很大的拓展，本文正是論述了設(shè)而不求思想在三個(gè)方向上的重要拓展。

一、由對稱型到非對稱型

在直線與圓錐曲線相交問題中，當(dāng)坐標(biāo)式是對稱式時(shí)，我們稱為“對稱型”，在對稱型問題中不難實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求.當(dāng)坐標(biāo)式是非對稱式時(shí)，我們稱為“非對稱型”，在非對稱型問題中如何實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求呢？這有兩種方法，其一是“形式變換法”，其二是“聯(lián)立消元法”。

1.用形式變換法實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求

這個(gè)問題中的坐標(biāo)式是非對稱式，解法一利用韋達(dá)定理對坐標(biāo)式進(jìn)行了形式變換，再整體約分，而解法二則是利用橢圓方程對坐標(biāo)式進(jìn)行形式變換，將其變換為對稱式后用韋達(dá)定理.

由以上解法可見當(dāng)坐標(biāo)式是非對稱式時(shí)，可利用韋達(dá)定理或圓錐曲線方程對坐標(biāo)式進(jìn)行形式變換，再通過整體代入、整體約分或整體消去實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求，這種方法就是形式變換法.

在形式變換法中，我們通過形式變換達(dá)到整體代入、整體約分或整體消去的目的，從而實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求.

2.用聯(lián)立消元法實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求

在聯(lián)立消元法中，我們設(shè)出了交點(diǎn)坐標(biāo)，但并不求出交點(diǎn)坐標(biāo)，而通過消元簡化運(yùn)算，這就實(shí)現(xiàn)了設(shè)而不求.但當(dāng)坐標(biāo)式比較復(fù)雜時(shí)，將坐標(biāo)式與韋達(dá)定理兩式聯(lián)立后，消去坐標(biāo)并不容易，所以聯(lián)立消元法更適用于坐標(biāo)式比較簡單的問題.

二、由雙交點(diǎn)型到單交點(diǎn)型

在直線與圓錐曲線相交問題中，幾何條件、幾何結(jié)論和幾何量一般都涉及兩個(gè)交點(diǎn)，這就是所謂的”雙交點(diǎn)型”，但有時(shí)也只會涉及一個(gè)交點(diǎn)，這是所謂的“單交點(diǎn)型”.對單交點(diǎn)型問題能否實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求呢？單交點(diǎn)型問題如果涉及交點(diǎn)分線段所成比值 ，可采用“ 表示代入法”實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求.

在以上問題中參數(shù)是橢圓的基本量a、b、c，要求 范圍，應(yīng)將 用a、b、c表示，再進(jìn)而用離心率e表示，那么如何用a、b、c表示 呢？在以上解法中，我們先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量建立交點(diǎn)坐標(biāo)與 的關(guān)系式，然后用 表示交點(diǎn)坐標(biāo)，再將表示式代入橢圓方程消去交點(diǎn)坐標(biāo)，建立起 與a、b、c的關(guān)系式，這就是 表示代入法. 表示代入法主要適用于單交點(diǎn)型問題中涉及交點(diǎn)分線段所成比值 的問題.

在 表示代入法中，由于 的特殊“向量性”（即 滿足向量數(shù)乘關(guān)系），我們可將交點(diǎn)坐標(biāo)用 表示，從而通過代入橢圓方程消去交點(diǎn)坐標(biāo)，這其實(shí)是通過消元方式實(shí)現(xiàn)了設(shè)而不求，這一點(diǎn)正如聯(lián)立消元法.

三、由線參數(shù)型到點(diǎn)參數(shù)型

1.點(diǎn)參數(shù)型中的“設(shè)而不求”

在點(diǎn)參數(shù)型的直線與圓錐曲線相交問題中，我們常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)和不同交點(diǎn)的坐標(biāo)之間都有一定的約束關(guān)系，所以交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)可以用其它坐標(biāo)進(jìn)行表示.如果只是設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)但不進(jìn)行這樣的表示，而通過整體約分等方式簡化運(yùn)算，這就是點(diǎn)參數(shù)型問題中的”設(shè)而不求”.點(diǎn)參數(shù)和線參數(shù)型問題中的設(shè)而不求形有異，但質(zhì)相同，這正是殊途同歸.

如何在點(diǎn)參數(shù)型問題中如何實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求呢？這有兩種方法，其一是”形式變換法”，其二是 “構(gòu)造代入法”，這里重點(diǎn)介紹后者.

2.構(gòu)造代入法與點(diǎn)參數(shù)型

為了簡化運(yùn)算，在以上解法中我們根據(jù) 這兩個(gè)條件通過方程相乘和相加的方式構(gòu)造出了 這兩個(gè)式子，再利用圓的方程得出 ，通過整體代入就消去了這些參數(shù)，這種方法的關(guān)鍵是構(gòu)造出 這兩個(gè)式子，我們可以稱其為構(gòu)造代入法.

數(shù)學(xué)中的思想方法是深刻的，所以我們對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識是一個(gè)不斷深入的過程，對于那些熟悉的思想方法，在”驀然回首”之時(shí)，我們或許會有新的認(rèn)識和感悟.在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和解題中，我們應(yīng)該以新問題和新方法為契機(jī)和原動(dòng)力，對于那些我們所熟悉的思想方法進(jìn)行再認(rèn)識和再思考，這一定可以讓我們有全新的發(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（2）：17-20.