基于納什均衡的電力交易市場多用戶競爭策略理論研究

陸潔華 周克楠 朱迪 林惠梅

摘要：隨著能源互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)和智能電網(wǎng)的發(fā)展，使得電能供給與電能需求能夠更緊密的聯(lián)系，也促進了電力交易市場的信息化和智能化，用戶根據(jù)自身需求在市場上進行出價與競爭，也更好的反映了電能的市場價值。本文結(jié)合智能電網(wǎng)下的電力交易市場，描述了多用戶對電能競爭的一般場景與模型，從理論和算法上分析用戶出價與市場調(diào)節(jié)的最優(yōu)化問題，在給定的一般情況下，證明了存在一個納什均衡，使得市場競價能得到一個最終解的集合，實現(xiàn)用戶競爭后的穩(wěn)定解，同時給出了優(yōu)化問題解的一個高效算法。

關(guān)鍵詞： 能源互聯(lián)網(wǎng) 智能電網(wǎng) 電力市場 納什均衡 策略優(yōu)化算法

Abstract：With the development of Energy Internet and Smart Grid， the supply and demand of electricity has become an important issue in Electricity Power Market. The Power Market becomes more and more innovated and intelligent with the help of Information Technology （IT）. Users in the Market can bid and sell efficiently thus reflect the true market value of the electricity power. This paper focus on the multiuser scenarios， analyze the optimization problem for users bidding theoretically and propose a Nash Equilibrium under some conditions. It can be shown that under this Nash Equilibrium， the market bidding strategies for all users are stable. Also， it can be achieved very quickly with the help of computing capabilities.

Key Words：Smart Grid， Power Market， Nash Equilibrium， Optimal Analysis

1.能源互聯(lián)網(wǎng)與電力交易市場

電力交易市場是能源互聯(lián)網(wǎng)在電能交易方面的一個集中而深度的體現(xiàn)，利用信息技術(shù)，將不同時段不同地點甚至經(jīng)過不同電力網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)碾娔艹尸F(xiàn)出來[1][2][3][4]。同時，在這一交易平臺上，多個不同類型不同需求的用戶參與一起進行交易，共享所有公開透明的信息[5][6]。能源互聯(lián)網(wǎng)下的電力交易市場也需要整合各項服務(wù)能力，統(tǒng)一高效地提供給用戶（見圖1）。這些突出的特點，給用戶提供更全面、更優(yōu)質(zhì)、更快捷的優(yōu)質(zhì)服務(wù)[7][8]。

多用戶競爭是電力交易市場的典型場景，在用戶不斷調(diào)整競價策略的同時，也反映了所競爭的電能的市場價值。一方面，市場希望盡可能滿足所有用戶綜合的效益最好，這就出現(xiàn)了帕累托最優(yōu)點（Pareto Optimum）的問題，從理論上，在該點上，全體用戶的總體效益是最好的;另一方面，每個用戶又都是經(jīng)濟學(xué)上的自私者，都希望獲取自己最大的利益，在一定情況下，如本文所示，多用戶的競爭會出現(xiàn)納什均衡（Nash Equilibrium）。本文所討論的納什均衡點，當(dāng)其他用戶不改變策略時，單一用戶無法通過改變自身的策略來獲得更好的價值，也即不會出現(xiàn)帕累托改進（Pareto Improvement）。

2. 多用戶競爭條件下的電力交易模型

在一個電力交易市場中，市場將供需結(jié)合，為用戶提供不同時段不同SLA保障等級的電能供應(yīng)，而用戶對不同時段不同SLA保障等級的電能需求迫切程度又是不一樣的，往往以一個效益函數(shù)來評估。我們考慮電力市場上有個用戶，不同的類型的電能供應(yīng)有份，每個用戶都可以對所有電能進行出價競爭。

我們定義集合 。為了分析不失一般性，我們選取第個用戶作為分析對象，其中。定義第個用戶對第份電能所得到的為，我們定義集合，此集合表示第個用戶所得到的的電能。我們考慮第個用戶第份電能的效益函數(shù)為。根據(jù)效益函數(shù)的一般定義，在一般情況下，效益函數(shù)為凹函數(shù)，一階倒數(shù)大于等于0而二階倒數(shù)小于等于0。我們同時得出第個用戶總體效益函數(shù)為，由于用戶的出價能力有限，無法對所有電能供應(yīng)無限制的進行出價競爭，故我們同時有以下的約束條件：

其中代表了第個用戶對第份電能最大獲取份額，也體現(xiàn)了對此份電能最大的競價能力，可以看出是給定參數(shù)，是該用戶對所有電能競價給出的最大可用數(shù)值，也即體現(xiàn)了該用戶總的最大競價能力，為了使分析更具備一般性，我們假設(shè)每個用戶的對每份電能最大競價約束都是一樣的，由于此參數(shù)是一個給定的常數(shù)，也可以看到，即使不同的用戶有不同最大競價能力，本質(zhì)上也不影響最后的分析結(jié)果。

由此，對于第個用戶的電能獲取情況，用戶希望自身的效益最大化，我們有以下的優(yōu)化問題：

我們也可以看到，當(dāng)給定其他參數(shù)時，目標(biāo)函數(shù)是凹函數(shù)，也即目標(biāo)是最大化凹函數(shù)，同時約束條件滿足凸函數(shù)條件，該優(yōu)化問題可以認為是一個凸函數(shù)優(yōu)化問題（Convex Optimization）。同時，為了方便表示，我們可以認為集合代表約束條件，則有以下：

因此，僅對單一用戶而言，電能競價優(yōu)化問題的解，就轉(zhuǎn)變成對效益函數(shù)最大化問題的解。根據(jù)凸函數(shù)優(yōu)化的理論[9][10]，當(dāng)給定其他參數(shù)時，可以利用Karush-Kuhn-Tucker 條件（KKT conditions）進行求解，從而得出最優(yōu)解。

3. 基于納什均衡的優(yōu)化分析

3.1? 單用戶最大效益的優(yōu)化分析

我們可以看到，當(dāng)其他用戶給定競爭策略時，也即其他條件不發(fā)生變化時，對于第個用戶，整個優(yōu)化問題就是一個凸函數(shù)優(yōu)化。一般地，可以利用拉格朗日方程（Lagrange Multiplier）如下：

根據(jù)凸函數(shù)優(yōu)化的理論分析，當(dāng)滿足Karush-Kuhn-Tucker 條件（KKT condition）時，可以尋找到最優(yōu)解[9][10]。我們解析該優(yōu)化問題的KKT條件滿足式如下：

我們可以看到，KKT條件的解是比較復(fù)雜的，這里面涉及到復(fù)雜的迭代計算，且可以制定有效的算法進行。同時，當(dāng)給定參數(shù)計算KKT條件的解時，需要電能計算結(jié)果沒有下發(fā)，需要等待該結(jié)果。而當(dāng)有客戶退出或者新增時，又必須再次計算KKT條件，對此種常見的場景應(yīng)用需要設(shè)計快速計算，從而實現(xiàn)快速平穩(wěn)的電能供應(yīng)控制的最佳結(jié)果。

3.2 多用戶的納什均衡分析

我們可以看到，當(dāng)給定所有其他參數(shù)時，單一用戶的優(yōu)化問題可以利用優(yōu)化理論給出最優(yōu)解，然而，市場是多用戶的參與，其他用戶的策略與電能獲取情況，會影響第個用戶的結(jié)果。我們再次回顧第個用戶的總體效益函數(shù)。

其中，代表除了第個用戶以外其他所有用戶對于第份電能的獲取情況。從上可以看出，每個用戶的效益函數(shù)里，還包含了其他用戶的電能獲取情況，而這個在市場競價時卻是會發(fā)生變化的，而不是一成不變的。因此，第個用戶的策略將受到其他用戶策略的影響，而第個用戶的策略也會影響到其他用戶的決策。這就形成了一個典型的多用戶在資源有限約束條件下的競爭場景。在一般情況下，我們可以看到，市場中存在一個納什均衡

定理：在一般情況下，系統(tǒng)函數(shù)與模型如文中所述，市場中存在一個納什均衡，使得每個用戶都達到一個穩(wěn)定解而不會再改變。假設(shè)對于第個用戶的解為，則效益函數(shù)可表示為

其中表示其他用戶的穩(wěn)定解。

證明：根據(jù)納什均衡理論，最大化函數(shù)是一個對于的凸函數(shù)，而且約束條件也是一個凹函數(shù)集合，并且約束條件與其他用戶的解不相關(guān)，滿足納什均衡理論[11][12]，故可證明存在一個納什均衡，使得用戶的解達到穩(wěn)定。

我們從上也可以看出，每個用戶的解都依賴于其他用戶的結(jié)果，也就使得求最優(yōu)化解的過程是一個不斷迭代的過程，這個迭代過程體現(xiàn)在用戶與用戶之間進行。一個用戶接著一個用戶更新自己的策略，直到最后到達穩(wěn)定解，而我們已經(jīng)看到該穩(wěn)定解就是多用戶的納什均衡。

我們對多用戶之間的迭代過程，給出一個算法

Step1：對于每個用戶，在給定參數(shù)和其他用戶策略的情況下，優(yōu)化自己的策略。不失一般性，我們考慮第個用戶，第個用戶更新自己的策略相當(dāng)于求解一個自身的最優(yōu)化問題（如前所述）。

Step2：每個用戶逐一更新自己的策略，不斷反復(fù)，實現(xiàn)一個迭代的過程。

Step3：根據(jù)納什均衡，最終結(jié)果會收斂，按照一般計算的精度要求，當(dāng)用戶發(fā)現(xiàn)自己策略的解收斂后，不再更新，達到穩(wěn)定態(tài)，則穩(wěn)定的解集就是最終結(jié)果。

總結(jié)

隨著能源互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)和智能電網(wǎng)的發(fā)展，電能供給與電能需求實現(xiàn)了更緊密的聯(lián)系，也促進了電力交易市場的信息化和智能化，也突出了電力交易市場的重要性。電力交易市場存在多用戶，每個用戶根據(jù)自身需求在市場上進行出價與競爭，也更好的反映了電能的市場價值。本文結(jié)合智能電網(wǎng)下的電力交易市場，針對多用戶對電能競爭的一般場景，從理論和算法上分析用戶出價與市場調(diào)節(jié)的最優(yōu)化問題，同時也證明在一般條件下存在一個納什均衡，使得市場競價能得到一個最終解的集合，實現(xiàn)市場穩(wěn)定，同時，該分析也說明了以上過程能夠在系統(tǒng)支持下自動實現(xiàn)。

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