核心素養(yǎng)下高中物理矢量概念的建立和深化

孫海軍

摘 要：矢量是貫穿高中物理學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的概念，本文從什么是矢量，為什么要引入矢量入手，并從教學(xué)實(shí)際中選取的具體案例出發(fā)，突破對(duì)矢量的合、矢量的“差”、點(diǎn)乘、叉乘運(yùn)算規(guī)則的理解，使學(xué)生學(xué)會(huì)用矢量觀念去分析具體的物理問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 矢量 矢量的合 矢量的“差” 矢量的點(diǎn)乘 矢量的叉乘

一、什么是矢量

物理學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。物理學(xué)科核心素養(yǎng)主要包括“物理觀念”“科學(xué)思維”“科學(xué)探究”“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任”四個(gè)方面[1]。矢量是最能代表“物理觀念”的概念之一，矢量是既有大小和方向，又能夠按照平行四邊形進(jìn)行求合的物理量，是學(xué)生由初中到高中必須跨越的第一個(gè)障礙。

二、矢量的合

為了更形象的體驗(yàn)矢量運(yùn)算規(guī)則，可以利用教具或課件讓學(xué)生更直觀看到矢量動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中，合矢量是如何隨著兩分矢量的變化而變化的，并在具體題目中理解這一動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。

例1（共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡，2017年全國(guó)Ⅰ卷第21題）：如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時(shí)，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>π/2）。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變，在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中

A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小

此題所用矢量三角形的解法，不同于我們所熟知的動(dòng)態(tài)三角形和相似三角形解法，它最大的特點(diǎn)是在變化的過(guò)程中保持了重力不變和另兩個(gè)力的夾角不變，對(duì)物體受力分析如圖甲所示，平移后得到如圖乙的所示的矢量三角形。

此處給出兩種解法：1、構(gòu)圖法，如圖丙，構(gòu)造出乙圖矢量三角形的外接圓，將重力大小等效為圓上的弦，此弦不變，對(duì)應(yīng)的圓周角保持不變，在OM拉至水平的過(guò)程中，可以明顯看出MN上繩子拉力一直在變大，OM上繩子拉力先變大后變小。2、正弦定理法，如圖所示，mg/sin（π-α）=TMN/sinβ=TOM/sinγ

當(dāng)α保持不變，OM拉至水平的過(guò)程中，β角一直增大到π/2，γ角度從大于π/2一直減小到小于π/2，根據(jù)正弦函數(shù)的變化，可以判斷MN上繩子拉力TMN一直在變大，OM上繩子拉力TOM先變大后變小。由此可以看出動(dòng)態(tài)平衡最能反映力這一物理量的矢量特征，在動(dòng)態(tài)變化中體會(huì)力的大小和方向變化對(duì)平衡產(chǎn)生非常重要的影響。

三、矢量的“差”

在研究曲線運(yùn)動(dòng)中，通常采用化曲為直的思想，將曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相互垂直方向的直線運(yùn)動(dòng)，例如平拋運(yùn)動(dòng)，用到運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法，以小船渡河問(wèn)題為例，當(dāng)小船

垂直河岸渡河，船的航行方向和船對(duì)地移動(dòng)的方向是不同的，小船對(duì)地的速度計(jì)算如下

V船對(duì)地=V船對(duì)水+V水對(duì)地，將角標(biāo)文字換成具有普遍意義的符號(hào)，有VAC=VAB+VBC，再數(shù)學(xué)變換，得VAB=VAC-VBC，此即矢量的“差”，其本質(zhì)是矢量合的逆運(yùn)算。從而得到一個(gè)通用的求相對(duì)速度的公式。

四、矢量的點(diǎn)乘

功等于力和力方向上位移的乘積，是力在空間上的積累，就是力這一矢量和位移這一矢量的點(diǎn)乘，當(dāng)力與位移的方向垂直時(shí)，這種空間累計(jì)效果為零；當(dāng)力與位移方向夾角為銳角時(shí)，力對(duì)物體做正功，表示能量從外界向物體轉(zhuǎn)移或者轉(zhuǎn)化；當(dāng)力與物體方向夾角為鈍角時(shí)，力對(duì)物體做負(fù)功，表示能量從物體向外界轉(zhuǎn)移或者轉(zhuǎn)化。不妨通過(guò)一道例題來(lái)體會(huì)矢量的點(diǎn)乘的物理意義。

例2（2018河北石家莊檢測(cè)）：如圖所示，質(zhì)量為m=1.0kg的物體從半徑為R=2.0m的圓弧的A端，在拉力作用下沿圓弧緩慢運(yùn)動(dòng)到B端（圓弧AB在豎直平面內(nèi)）。拉力F大小不變始終為10N，方向始終與物體在該點(diǎn)的切線成37°角。圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，BO邊為豎直方向。（π取3.14，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）則這一過(guò)程中（ ）

A.拉力F做的功為16.75J

B.重力G做的功為10J

C.圓弧面對(duì)物體的支持力FN做的功為零

D.物體克服圓弧面的摩擦力Ff做功6.75J

解析：該題由于力F的方向總是與切線方向成37°角，此力方向時(shí)刻都在變化，是變力，不可以直接用功的定義式W=F·scosα，在計(jì)算過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生一定要扣準(zhǔn)功是力與力的方向上位移的乘積，此種情況我們應(yīng)該采用微元法，將圓弧分成無(wú)限多個(gè)小短弧，每一段都可以認(rèn)為是F的切向分力Fcos37°在做功，F(xiàn)的徑向分力與速度做功為零，F(xiàn)做的功WF=（Fcosα）·π/3·R=10×4/5×π/3×2J=16.75J，故A選項(xiàng)正確，由于重力做負(fù)功，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，支持力與位移方向時(shí)刻垂直，所以不做功，C選項(xiàng)正確，由于物體緩慢移動(dòng)，動(dòng)能一直為零，合力的功為零，0=WF+WG+Wf，得到WF=-6.75J，D選項(xiàng)正確。

五、矢量的叉乘

矢量的叉乘可以用來(lái)理解角速度的方向。

例如，在研究圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，引入了線速度和角速度這兩個(gè)概念，講解時(shí)特別強(qiáng)調(diào)速度時(shí)刻都在變化，因此勻速周運(yùn)動(dòng)是勻速率，不是勻速度。其實(shí)勻速圓周中速可以理解為勻角速度，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小和方向都不隨時(shí)間變化，對(duì)于角速度是矢量這一觀點(diǎn)大部分同學(xué)對(duì)此不懂，為了讓學(xué)生更好的理解角速度是矢量，可以畫出如下圖形，將半徑認(rèn)為是從圓心指向圓周的矢量R，利用角速度和線速度的關(guān)系v=w×R，根據(jù)矢量叉乘的規(guī)則，可知角速度這一矢量方向垂直于圓周運(yùn)動(dòng)的平面，故勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速大小和方向均不變化。

六、結(jié)語(yǔ)

核心素養(yǎng)下“物理觀念”是整個(gè)物理知識(shí)體系重要的基礎(chǔ)框架，矢量貫穿了高中物理的力學(xué)和電學(xué)，是最能代表“物理觀念”的概念之一，教學(xué)上應(yīng)結(jié)合不同物理情景，逐層加深對(duì)矢量的理解和運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]廖伯琴前言普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M]2017年版北京：高等教育出版社