數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)高考試題分析及建議

李霞 姜晶

【摘要】：三角函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。文章在三角函數(shù)基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)近五年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)高考試卷中關(guān)于三角函數(shù)部分的試題進(jìn)行研究。通過分析發(fā)現(xiàn)，考題不只限于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容。從而對(duì)部分三角函數(shù)試題所考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析并提出教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 三角函數(shù) 內(nèi)容分析 考題 建議

一、引言

2018年，山東省教育廳發(fā)布的《山東省2018年普通高等學(xué)校考試招生工作（夏季高考）實(shí)施意見》，提出所有考試科目統(tǒng)一使用全國Ⅰ卷?！叭呛瘮?shù)的內(nèi)容至關(guān)重要，三角函數(shù)不僅是連接幾何和代數(shù)的一座橋梁，還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道【1】?！北疚幕诮迥耆珖窬砀呖祭砜茢?shù)學(xué)試題，對(duì)其中涉及到的三角函數(shù)試題的內(nèi)容、考點(diǎn)以及部分三角函數(shù)試題所考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析并提出教學(xué)建議。

二、三角函數(shù)的內(nèi)容分析

高中數(shù)學(xué)教材中，三角函數(shù)部分編排在必修課本中。盡管教材版本存在差異，但總體來說，三角函數(shù)的內(nèi)容概括為如下幾個(gè)方面：任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形。

根據(jù)《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》對(duì)三角函數(shù)部分的要求，可以分為13個(gè)知識(shí)考點(diǎn)，具體的知識(shí)考點(diǎn)如下：任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式 周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 兩角和與差公式、二倍角公式、簡單的三角恒等變換 正余弦定理、正余弦定理的簡單應(yīng)用。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)考題分析

1.考題中的考點(diǎn)分析

對(duì)2014—2018年新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，共有12個(gè)題目考查了三角函數(shù)的內(nèi)容。2014至2015年，均以填空題和選擇題的形式考查 2016至2018年均以一個(gè)解答題和一個(gè)填空題或選擇題的形式進(jìn)行了考查。對(duì)這12個(gè)題所涉及的考點(diǎn)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，每年至少會(huì)涉及到13個(gè)考點(diǎn)中的5個(gè)考點(diǎn)，而且每道題目都是多個(gè)考點(diǎn)綜合考查，有的題目還會(huì)與其他章節(jié)的知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行考查。

2.考題中包含的核心素養(yǎng)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面【2】。筆者結(jié)合近五年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題，抽取三角函數(shù)的部分題目，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來進(jìn)行策略分析。

例 1.（2014高考新課標(biāo)I，理6）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]上的圖象大致為（ ）。

分析：本題考查了任意角的三角函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象。該題目注重對(duì)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模三大核心素養(yǎng)的考查。題中點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，則需借助直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形解決數(shù)學(xué)問題 建立動(dòng)點(diǎn)P的位置與“點(diǎn)M到直線OP的距離”之間的關(guān)系，進(jìn)而探索解題思路，得到解析式。本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數(shù)的自然語言表征與圖象表征，即“點(diǎn)M到直線OP的距離”與四個(gè)圖象的選項(xiàng)。考生要建立這兩者的關(guān)聯(lián)，即需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力。

例2.（2015高考新課標(biāo) I，理 8）f（x）=cos（ωx+φ），函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）

分析：三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過分析三角函數(shù)的解析式得到。本題中給出函數(shù)圖象，但解析式未知，所以要先求出函數(shù)的解析式，確定解析式f（x）=Acos（ωx+φ）+b的步驟如下：

（1）求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則

（2）求ω：確定函數(shù)的最小正周期T，則.

（3）求φ：常用方法是代數(shù)法，即把函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）代入解析式，進(jìn)而求出φ的值。本題中A=1，b=0已知，所以只需要求出ω和φ即可。這樣就得到了三角函數(shù)的解析式，再利用其性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間。本題是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查。

例3.（2014高考新課標(biāo)I，理8）設(shè)則（ ）

分析：公式的活學(xué)活用在三角函數(shù)這一部分尤其重要。本題中給出α，β的范圍，并且給出一個(gè)關(guān)系式，學(xué)生要學(xué)會(huì)使用轉(zhuǎn)化的思想，即要注意公式的逆用和變形，本題的解法中用到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式等知識(shí)?？傮w來看學(xué)生應(yīng)掌握三角函數(shù)公式的活用技巧，即在解題的過程中頭腦中要有一定的邏輯性，本題主要是對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的考查。在解題過程中還考查到了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

通過以上分析可以看出，三角函數(shù)這一部分除了數(shù)據(jù)分析外，其他核心素養(yǎng)教學(xué)過程中都會(huì)有所體現(xiàn)，所以在教學(xué)中除了要求學(xué)生掌握基本知識(shí)，也應(yīng)該發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、核心素養(yǎng)下三角函數(shù)部分的教學(xué)建議

根據(jù)對(duì)近五年全國Ⅰ卷理數(shù)試題中三角函數(shù)部分的試題分析，我們認(rèn)為應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將核心素養(yǎng)應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中，提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量?！皯?yīng)建構(gòu)以能力培養(yǎng)為抓手，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)策略【3】?！币虼耍瑥臄?shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度出發(fā)，提出以下建議：

1.利用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基石【4】。”將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具象的數(shù)學(xué)圖形可以加強(qiáng)學(xué)生的理解，這就要求學(xué)生具備直觀想象的核心素養(yǎng)。根據(jù)三角函數(shù)概念的基本特征，教師應(yīng)從數(shù)和形兩個(gè)方面來加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，從而發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。例如，在求解例1時(shí)，需要利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解用單位圓定義三角函數(shù)這一概念，發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，進(jìn)而幫助學(xué)生理解該題的運(yùn)算方法。

2.借助多媒體，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

例2考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，要培養(yǎng)學(xué)生的這一核心素養(yǎng)，可以借助多媒體來幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。正弦和余弦函數(shù)圖象非常相似，有些學(xué)生經(jīng)?；煜嚓P(guān)的知識(shí)點(diǎn)，多媒體能夠直觀的展示出圖象的變化過程，幫助學(xué)生理解參數(shù)對(duì)圖象變化的影響，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

3.利用口訣記憶，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

在求解例1～3時(shí)，都用到了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。尤其是解例3時(shí)，要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)公式能夠活學(xué)活用。為方便學(xué)生對(duì)公式準(zhǔn)確記憶，更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們可以根據(jù)公式特點(diǎn)概括出相應(yīng)口訣，促進(jìn)記憶，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。例如，對(duì)于誘導(dǎo)公式，可以總結(jié)出“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣。

4.加強(qiáng)思維訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)

在求解例2～3的過程中，都考查了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為了發(fā)展邏輯推理這一核心素養(yǎng)，要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。首先，培養(yǎng)邏輯表達(dá)能力。教師應(yīng)充分利用三角函數(shù)知識(shí)特點(diǎn)，積極開展合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和總結(jié)。其次，注重邏輯思維同步模仿訓(xùn)練。教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。最后，注重思維過程的展示。教師應(yīng)通過示范和啟迪，充分展示自己多層次的思維過程，以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。

5.注重討論探究，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

抽象來自于對(duì)于具體事物的抽象與概括，數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的屬性或特征。在三角函數(shù)的教學(xué)過程中，注重學(xué)生的討論探究更有利于學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的理解。例如，在任意角三角函數(shù)這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，可以先復(fù)習(xí)定義，然后將角放入直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過學(xué)生的討論探究，就可以抽象出任意角的三角函數(shù)的定義了。

【參考文獻(xiàn)】：

【1】張景中.重建三角、全局皆活——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個(gè)建議[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2006（10）.

【2】中華人民共和國教育部制定.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2018：04.

【3】王麗娜.高中三角函數(shù)高考試題分析及教學(xué)策略研究[D].河北：河北師范大學(xué)，2016.

【4】郭玉峰等.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

作者簡介：

1.李霞（1993.6-）女，漢，籍貫：山東省臨清市，學(xué)歷：在讀碩士研究生，單位：聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）

2.姜晶，女，民族：漢，學(xué)歷：博士，職稱：講師，單位：聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院