例談數(shù)學(xué)直覺思維在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王友偉

摘 要：筆者在閱讀了《徐利治談治學(xué)方法與數(shù)學(xué)教育》后，將自己的所思所想從“立體幾何中概念和定理的發(fā)現(xiàn)”、“對函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)”、“橢圓問題中的常見結(jié)論”、“解題時(shí)的直觀判斷”四個(gè)方面通過實(shí)例進(jìn)行了論述，闡述了數(shù)學(xué)直覺思維在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);直覺思維;應(yīng)用

最近，筆者閱讀了徐利治教授所著的《徐利治談治學(xué)方法與數(shù)學(xué)教育》一書，里面談到了高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺對數(shù)學(xué)教育的重要性，筆者以為對于中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)非常重要。中學(xué)數(shù)學(xué)的枯燥與無聊大概是由于過多的強(qiáng)調(diào)邏輯思維的培養(yǎng)，而忽略直覺思維的培養(yǎng)所造成的，在學(xué)生的邏輯思維能力達(dá)不到的情況下，要讓學(xué)生能夠熱愛和喜歡數(shù)學(xué)，應(yīng)先讓其能夠通過數(shù)學(xué)直覺思維去看待數(shù)學(xué)和欣賞數(shù)學(xué)，再讓其走進(jìn)數(shù)學(xué)，即通過邏輯思維去理解數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)直覺是人腦對于數(shù)學(xué)對象事物（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的領(lǐng)悟或洞察，其往往產(chǎn)生于經(jīng)驗(yàn)、觀察、歸納、類比和聯(lián)想的基礎(chǔ)之上，有時(shí)以心理學(xué)上的“頓悟”形式出現(xiàn)，具有“了解事物整體”的作用，還具有將細(xì)節(jié)“組合成和諧性整體”的功能.數(shù)學(xué)直覺至少可以劃分為辨識(shí)直覺、關(guān)聯(lián)直覺和審美直覺三種類型.辨識(shí)直覺解決的是新想法是否值得去發(fā)展，關(guān)聯(lián)直覺解決的是不同知識(shí)領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系的問題，審美直覺解決的是新想法是否符合數(shù)學(xué)美的要求的問題.數(shù)學(xué)直覺的指導(dǎo)性原則包括簡單性原則、統(tǒng)一性原則、對稱性原則和奇異性原則.

下面筆者就在拜讀了徐利治教授的書之后談?wù)勚庇X思維在高中數(shù)學(xué)里的應(yīng)用.

1.立體幾何中概念和定理的發(fā)現(xiàn)

對空間幾何的直觀認(rèn)知在學(xué)習(xí)空間幾何體這部分內(nèi)容有著重要的作用.在尚未學(xué)習(xí)直線和平面平行、直線和平面垂直、平面和平面平行以及平面和平面垂直的概念的時(shí)候，大部分學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)@幾個(gè)概念有了直觀的感知，能夠通過幾何圖形認(rèn)識(shí)到線面、面面平行和垂直的大致特征，只是還不能夠嚴(yán)格的用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，但這對學(xué)生學(xué)好該部分內(nèi)容非常重要.

立體幾何的另一個(gè)難點(diǎn)就是定理的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用，筆者以為關(guān)鍵點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)這些定理.在學(xué)習(xí)線面平行的判定定理的時(shí)候，可通過開關(guān)門讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的內(nèi)容;學(xué)習(xí)線面垂直的判定定理的時(shí)候，可讓學(xué)生借助擺弄筆去感受定理中關(guān)鍵點(diǎn)是兩條相交直線;在學(xué)習(xí)面面垂直的判定定理的時(shí)候，可讓學(xué)生觀察通過已知平面的一條垂線的平面與該已知平面的位置關(guān)系而得到;在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)定理的時(shí)候，學(xué)生能夠直觀感受一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直對于定理的發(fā)現(xiàn)和掌握非常重要等等.

2.對函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)

函數(shù)這部分內(nèi)容，一直是高中數(shù)學(xué)里的重點(diǎn)和難點(diǎn).在解決函數(shù)問題的時(shí)候經(jīng)常需要畫圖.除了常見一些函數(shù)以外，很多函數(shù)圖象需要學(xué)生去仔細(xì)研究，尤其需要直觀判斷的時(shí)候容易出錯(cuò).由于中學(xué)里還沒有學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則，所以很多圖象在趨向于無窮時(shí)候的圖象需要通過對函數(shù)圖象的直觀認(rèn)識(shí)去判斷.例如函數(shù)的圖象，在教學(xué)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本上都能通過求導(dǎo)判斷出該函數(shù)在（0，e）時(shí)單調(diào)遞增，在（e，+∞）時(shí)單調(diào)遞減.但是進(jìn)一步畫出圖象的時(shí)候很少有人能夠做對，根本問題在于當(dāng)x趨向于0和x趨向于正無窮時(shí)圖象的判斷錯(cuò)誤，此時(shí)需要學(xué)生有較好的函數(shù)圖象的直覺思維.當(dāng)x趨向于0的時(shí)候，lnx趨向于負(fù)無窮，所以也趨向于負(fù)無窮;當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，lnx亦趨向于正無窮，由于lnx增長速度較之x增長較慢，引導(dǎo)學(xué)生能夠直觀感覺到趨向于0，也就是說x軸是一條漸近線.這也是高考解答題考察零點(diǎn)問題時(shí)不允許轉(zhuǎn)化為畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題的原因.另一個(gè)常見的錯(cuò)誤就是函數(shù)當(dāng)0

3.橢圓問題中的常見結(jié)論

解析幾何問題對學(xué)生來講也是一個(gè)難點(diǎn)，里面蘊(yùn)藏了大量的結(jié)論，尤以定點(diǎn)、定值和定直線問題居多.在解題時(shí)如果能夠直觀的認(rèn)識(shí)到某些固定的結(jié)論那將事半功倍，也能夠使學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容更有信心和興趣.解析幾何中最常見的結(jié)論就是高等數(shù)學(xué)中極點(diǎn)和極線的應(yīng)用，該內(nèi)容不僅在高考中大量的出現(xiàn)，在平時(shí)模擬卷以及競賽試題中也屢見不鮮.如果學(xué)生能夠了解這些內(nèi)容，并在做題中能夠直觀感覺到隱藏在圖形中的極點(diǎn)和極線，那將使問題變得容易多了.徐利治教授把從事數(shù)學(xué)問題的解決比作是人在迷霧中摸索前進(jìn)，需要用眼睛辨識(shí)方向，要靠雙腿邁向目的地，直覺就好比眼睛，起到向?qū)ьI(lǐng)路作用，邏輯就是雙腿……

此外，由于橢圓可以看成是由圓壓扁而成的，所以圓里面的某些結(jié)論也在橢圓中有所體現(xiàn)，如中點(diǎn)弦的結(jié)論，切線的結(jié)論.所以在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生在這方面的直覺認(rèn)識(shí)，這樣學(xué)生會(huì)更有興趣的去學(xué)習(xí)和研究這部分內(nèi)容.

4.解題時(shí)的直觀判斷

我們知道周長一定的封閉圖形中圓的面積最小，大部分人只是一種直觀判斷.當(dāng)碰到較難的問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過直覺判斷可能出現(xiàn)的特殊情形.如碰到三角形問題時(shí)，可以利用等邊三角形的特殊性去解決;在遇到平行四邊形的問題時(shí)，也可以嘗試用矩形的情形去解決;數(shù)列問題也可以通過常數(shù)列去解決等等.

總之，直覺思維不僅在學(xué)習(xí)過程中有著重要的作用，在解題時(shí)也扮演著不可或缺的角色.Poincare認(rèn)為：邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條路能引導(dǎo)我們到達(dá)目的地.因此，必須從遠(yuǎn)處瞭望目標(biāo)……瞭望的本領(lǐng)是直覺，沒有直覺，數(shù)學(xué)家就會(huì)像這樣的一個(gè)作家：他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想.Hadamard亦曾指出：許多數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造性成果可以看成為通過數(shù)學(xué)直覺俘獲來的“戰(zhàn)利品”，而邏輯好比是“關(guān)卡”，在這里起到了驗(yàn)收戰(zhàn)利品的作用.