“等差乘等比型”數(shù)列求和有公式嗎？

胡嘉葦　蔣家衛(wèi)

摘 要：等差數(shù)列與等比數(shù)列作為特殊數(shù)列的典型代表，是高中數(shù)列版塊的左膀右臂。 “差比數(shù)列”的求和所涉及的方法稱為錯位相減法。本文嘗試從特殊到一般探索該類型數(shù)列求和的一般公式，并揭示其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等差乘等比型;數(shù)列求和;課堂生成

一、意料之外的課堂生成

在一次教學(xué)中，我像以往一樣在黑板上板書應(yīng)用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，哪些地方是關(guān)鍵點(diǎn)、哪些地方是易錯點(diǎn)。然后請同學(xué)隨便寫了個差比數(shù)列，請同學(xué)們依葫蘆畫瓢，進(jìn)行模仿計(jì)算求和.這時(shí)，一個同學(xué)隨口一句，要是差比數(shù)列像等差數(shù)列、等比數(shù)列一樣有公式就好了。說者無心，聽著有意，其它同學(xué)瞬時(shí)來了精神，然后所有人將目標(biāo)望向了我。

我知道這樣的課堂生成千載難逢，這正是培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力、數(shù)學(xué)猜想與證明意識的絕佳機(jī)會，這樣的良機(jī)豈能錯過？沒有直接回答，而是把這個問題拋給同學(xué)們，你們覺得這樣的數(shù)列求和有公式嗎？

六、公式評析

回到本節(jié)課開始的問題，顯然“等差乘等比型”數(shù)列前n項(xiàng)和是有公式的，那為什么教材上沒有將這個公式給出呢，除去該公式內(nèi)容比較復(fù)雜以外，最重要的是若直接背公式，則“錯位相減法法”則將當(dāng)然無存，而該方法體現(xiàn)的是“消元化簡”、“將非特殊數(shù)列化為特殊數(shù)列（等比）”的數(shù)學(xué)思想與方法。相比于計(jì)算結(jié)果，這些過程中的“數(shù)學(xué)味道”才是我們數(shù)學(xué)的珍貴。

參考文獻(xiàn)

[1]胡貴平.多視角看等差乘等比型數(shù)列求和[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（7）：22-23.