有關(guān)奇完全數(shù)的一些注記

麥麥提明·阿不都克力木

摘要：奇完全數(shù)的存在性問題是數(shù)論中至今尚未解決的一個(gè)著名問題.討論奇完全數(shù)的倒數(shù)和，給出相應(yīng)的結(jié)論.同時(shí)討論了不被3整除的奇完全數(shù)相異素因數(shù)的個(gè)數(shù)，得到了？棕（n）≥40的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：奇完全數(shù);倒數(shù)和;相異素因數(shù)個(gè)數(shù)

中圖分類號(hào)：O156? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）09-0008-02

1 引言

設(shè)N+是全體正整數(shù)的集合.令（n）表示正整數(shù) 的所有正因數(shù)（包括1和n）的和函數(shù).如果n= pi∈N+滿足

（n）=2n=（pi），=

則n被稱為完全數(shù).到目前為止，只發(fā)現(xiàn)了51個(gè)完全數(shù)且都是偶數(shù)，而尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)存在. 是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中至今尚未解決的一個(gè)著名問題[1].

數(shù)學(xué)家Euler[2]研究得到：如果n為奇完全數(shù)，則n=？仔？琢p1p2…ps，其中？仔，pi（i=1，2，…，s）是相異的奇素?cái)?shù)，？茁i∈N+，且？仔≡？琢≡1（mod4）.2001年，劉[3]證明了：若n=（4k+1）4l+1a12為奇完全數(shù)，則a1不含用4k+1的素因數(shù).

奇完全數(shù)存在性問題雖尚未解決，與其有關(guān)的問題卻引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，如其相異素因數(shù)個(gè)數(shù)的下界估計(jì)與素因數(shù)的大小情況、奇完全數(shù)的下界大小估計(jì)以及各種形式的奇完全數(shù)n的倒數(shù)和∑等問題.以（n）表示為奇完全數(shù) 相異素因數(shù)的個(gè)數(shù).Hagis[4]證明了（n）≥8，并且在3n的情況下證明了（n）≥11;Nilsen[5]進(jìn)一步改進(jìn)奇完全數(shù)相異素因數(shù)的個(gè)數(shù)，他證明了（n）≥9，并且在3n的情況下證明了（n）≥12.2011年，張四保，鄧勇[6]證明了：當(dāng)3n時(shí)，（n）≥16.如果n是一個(gè)奇完全數(shù)，那么n>10500.[7]奇完全數(shù)n的第一大素因數(shù)大于108[8]，第二大素因數(shù)大于104.[9]若n=p1p2…ps是不被3整除的奇完全數(shù)，則p7≥103，p8>1559.[10]而對于各種特殊的奇完全數(shù)n的倒數(shù)和∑也有所研究，如文獻(xiàn)[11-12].

本文在以上有關(guān)研究的基礎(chǔ)上，研究了奇完全數(shù)的倒數(shù)和，并討論了不被3整除的奇完全數(shù)相異素因數(shù)的個(gè)數(shù)，將文獻(xiàn)[6]，[11]，[12]相關(guān)的結(jié)論進(jìn)行了改進(jìn).

2 定理的證明

定理1 如果n是奇完全數(shù)，那么∑<2×10-250.

證明 如果v（x）={n≤x：n是奇完全數(shù)}，那么#v（x）≤x[13].根據(jù)Abel分部求和公式及結(jié)論：如果 是一個(gè)奇完全數(shù)，那么n>10500，有如下關(guān)系

=

=+dt

<=-=2×10-250.

定理2 如果n是不被3整除的奇完全數(shù)，則（n）≥40.

證明 將n寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式n=p1p2…ps，其中p1，p2，…，ps是相異的奇素?cái)?shù)，？茁1，？茁2，…，？茁s ∈N+.由于n是奇完全數(shù)，根據(jù)完全數(shù)的定義，有（n）=2n，而是積性函數(shù)，進(jìn)而有如下關(guān)系式.

（n）=（p1p2…ps）=（p1）（p2）…（ps）

=（1+p1+…+p1）……（1+ps+…+ps）

=2p1…ps.

進(jìn)而有

2=

=….

要證明（n）≥40，只要證明（n）=39不可能，且當(dāng)（n）=39時(shí)有<2即可.由于收斂，且==，所以<，…，<.構(gòu)造函數(shù)f（x）=，當(dāng)x1，x2∈[3，∞），且x1>x2時(shí)，有

f（x1）-f（x2）=-=<0，

則函數(shù)f（x）=在區(qū)間[3，∞）是單調(diào)遞減的，且當(dāng)x∈[3，∞）時(shí)，有f（x）=>1.那么，在討論奇完全數(shù)n=p1p2…ps的奇素因數(shù)pi（i=1，2，…，s）時(shí)，只需考慮最小奇素?cái)?shù)的情況.而根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]，可知，在奇完全數(shù)n=p1p2…ps的素因數(shù)pi（i=1，2，…，s）中，必然n的有些因數(shù)要大于108，104.而在素?cái)?shù)序列中，100000007是大于108且滿足100000007≡3（mod4）的第一個(gè)素?cái)?shù)，10007是大于104且滿足10007≡3（mod4）的第一個(gè)素?cái)?shù).

現(xiàn)假設(shè)（n）=39.5是第一個(gè)滿足5≡1（mod4）的奇素?cái)?shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[3]、[10]的結(jié)論，以及上面的分析，可令

X={p1，p2，p3，…，p38，p39，p40};

Y={p1′，p2′，p3′，…，p38′，p39′，p40′}，

其中p1′=5，p2′=7，p3′=11，p4′=19，p5′=23，p6′=31，p7′=103，p8′=1567，p9′=1571，p10′=1579，p11′=1583，p12′=1607，p13′=1619，p14′=1627，p15′=1663，p16′=1667，p17′=1699，p18′=1723，p19′=1747，p20′=1759，p21′=1783，p22′1787，p23′=1811，p24′=1823，p25′=1831，p26′=1847，p27′=2867，p28′=1871，p29′=1879，p30′=1907，p31′=1931，p32′=1951，p33′=1979，p34′=1987，p35′=1999，p36′=2003，p37′=2011，p38′=10007，p39′=100000007.由于函數(shù)f（x）=在區(qū)間[3，∞）是單調(diào)遞減的，只要X中有一個(gè)異于Y中的任意一個(gè)，則有

…

≤…

<×××…×

×<2.

由上式可知，當(dāng)（n）≥39時(shí)有<2，即當(dāng)（n）≥39時(shí)，n=p1p2…ps不是奇完全數(shù)，那么（n）≥40.

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參考文獻(xiàn)：

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