利用等號教學(xué)滲透小學(xué)生的代數(shù)思維

朱敏君

【摘要】在算術(shù)中，“等號”是數(shù)與代數(shù)中重要的關(guān)系符號，它代表運算，表示結(jié)構(gòu)與關(guān)系。一年級是等號概念形成的關(guān)鍵時期，教師要重視等號的本質(zhì)含義教學(xué)，為學(xué)生各個學(xué)段的銜接打好基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】一年級;等號教學(xué);代數(shù)思維

“等號”是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)算式的開始，它以兩根一樣長的橫線形象地表示了等號兩邊的量是相等的，揭示了等號的本質(zhì)含義。然而，在一年級這個等號概念形成的重要時期，大多數(shù)教師往往只關(guān)注等號的算術(shù)意義，忽略了其代數(shù)意義。2018年9月，筆者在正式教學(xué)前，對新接一年級2個班的學(xué)生做了等號意義的學(xué)前調(diào)查。

具體的題目為2=□+2， 2=□-3，1+1=□-1。測試結(jié)果如想象般糟糕。參與測試的是筆者任教的2個班級的共84人，具體答題情況如表1所示。

第1題和第2題屬于同一類型的測試題，都是考查學(xué)生對等號可逆性的理解。不同的是，第1題是加法題，第2題是減法題。結(jié)果很顯然，對于加法題目，正確率達到了100%，可見學(xué)生算術(shù)思維的成熟度。而同樣是求關(guān)于結(jié)果為2的算式，第2題的正確率卻只有15.5%。學(xué)生覺得結(jié)果就應(yīng)該寫在算式的最后面。至于第3題，除去8.3%的正確解答的7人，其他人一律寫了“2”，清楚地反映出學(xué)生對等號代數(shù)意義的零認識。

一、適時引入，初步感受等號“關(guān)系性”

1.教材： 已有編排，銜接略有偏失

學(xué)生首次接觸等號是在第二單元認識了1～5的數(shù)后，在《比大小》中與大于號、小于號同時學(xué)習(xí)的，這是以“等號的關(guān)系性質(zhì)”而引入的。等號的第二次出現(xiàn)，是在學(xué)習(xí)《加法的認識》一課中。而此時，教師和學(xué)生都只重視加法的意義教學(xué)，等號則被一筆帶過，以致在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生更多的是在運算中接觸等號，從而只關(guān)注了等號的算術(shù)意義。

2.實踐：重設(shè)情境，初步感受等號的關(guān)系性

等號雖然在《比大小》一課，就表現(xiàn)了它的關(guān)系性，學(xué)生也易于接受這種數(shù)與數(shù)的表征關(guān)系，但在《加法的認識》一課，才在表現(xiàn)形式上發(fā)展到算式與數(shù)，直接帶來了等號含義的變化。例如，如圖1所示，在這個例題的教學(xué)中，多數(shù)教師會通過動畫或身體語言幫助學(xué)生理解加法的意義，即合并。眾所周知，加法的意義學(xué)生在幼兒園甚至更早便已完全理解了。因此，不妨在這節(jié)加法課里，重整問題情境。

根據(jù)加法和等號的本質(zhì)含義，教師可以借助比大小來幫助學(xué)生初步感受等號的關(guān)系性，改編如圖2所示。具體如下：先讓學(xué)生比較誰的氣球多？再追問：“怎樣才能讓兩個小丑的氣球數(shù)量一樣多？”根據(jù)學(xué)生回答“再加1個”后，教師可繼續(xù)追問：“你是怎么知道丁丁和冬冬的氣球一樣多的？”

在這個過程中，學(xué)生先在3和4的大小比較中建立了關(guān)系，而后又在左邊的數(shù)量與右邊的數(shù)量是相等的關(guān)系中，理解了“3+1=4”，明白了算式與數(shù)其實也是在比較中得出的結(jié)果，從而感受到了“=”的關(guān)系平衡。

二、數(shù)學(xué)實驗，豐富等號“平衡性”體驗

一年級的小學(xué)生認為，等號就意味著后面是答案，忽略了等號的關(guān)系性質(zhì)。因此，教師可以借助生活中喜聞樂見的原型，通過豐富的實驗活動，增強學(xué)生對等號平衡性的體驗，促進其對等號關(guān)系性的理解。

例如，數(shù)字天平（見圖3）是基于生活中蹺蹺板這一原型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，教師可以借助蹺蹺板的平衡經(jīng)驗幫助學(xué)生理解等號兩邊的平衡性。數(shù)字天平的兩邊各有數(shù)字1～10、掛鉤和多塊相同的重量板，在相應(yīng)的數(shù)字掛鉤上掛重量板就對應(yīng)數(shù)字幾。

1.蹺蹺板：激活平衡經(jīng)驗

在教學(xué)中，教師可以蹺蹺板作為引入，讓學(xué)生暢談蹺蹺板的游戲經(jīng)歷，通過生活中的原型，激活學(xué)生平衡的經(jīng)驗，從而引入數(shù)字天平，讓學(xué)生明白當(dāng)數(shù)字天平兩邊一樣時，天平就會平平的，保持平衡狀態(tài)。

2.數(shù)字天平：多層推進平衡感受

這是實驗的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生將在多重活動中學(xué)會用等式來表征平衡。

第一步，給學(xué)生兩塊重量板，讓學(xué)生感受數(shù)與數(shù)的平衡。在學(xué)生初步體驗數(shù)字天平玩法的同時，教師在教學(xué)時要遵循由不平衡的“﹥”或“﹤”到平衡的“=”的順序。同時，讓學(xué)生及時記錄天平的平衡狀態(tài)，如“4﹥3”“3﹤5”，再到“5=5”等。第二步，給學(xué)生三塊重量板，讓學(xué)生體驗算式與數(shù)的平衡。在這個過程中，教師要注意兩種形式的變化，即算式在左數(shù)在右，算式在右數(shù)在左，并用算式來表示。第三步，給學(xué)生四塊或更多的重量板，讓學(xué)生體驗算式與算式的平衡，并用算式表示。學(xué)生在參與制造平衡的數(shù)學(xué)實驗中，積累了豐富的活動經(jīng)驗，并構(gòu)建了初步的平衡表象。

3.圖示天平：建立平衡模型

以數(shù)字天平實驗為支撐，讓學(xué)生根據(jù)圖示天平表示出天平兩邊的平衡狀態(tài)，寫出相應(yīng)的等式。從數(shù)到式子，再到圖形或符號，在列出等式的過程中，學(xué)生會不斷地進行符號化的表征，鞏固等號兩邊的平衡關(guān)系。

三、建立聯(lián)系，突破等號“可逆性”

在現(xiàn)行的人教版低年級教材中，編者已有意識地在不同階段的練習(xí)中分散編排關(guān)于等號性質(zhì)的習(xí)題，逐步滲透、培養(yǎng)代數(shù)思維。

1.教材：滲透少而散

教材中對顯性的素材滲透少而散，第一次出現(xiàn)數(shù)與式的比較是在《10的加減法》后。但較教材之前，由浙江教育出版社出版、浙江省基礎(chǔ)教育課程教材開發(fā)研究中心編寫的《數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本》比教材出現(xiàn)的早，在《0的加減法》后就出現(xiàn)了算式與算式之間的大小比較;《口算訓(xùn)練》則出現(xiàn)的時間更早，難度更高，剛學(xué)習(xí)了《5的加減法》就帶來了形如“2=□-3”的習(xí)題，給教學(xué)帶來更大的挑戰(zhàn)。因此，面對教材和習(xí)題的不同步，教師要挖掘教材中的隱性素材，為學(xué)生正確理解等號搭建平臺。

2.實踐：挖掘隱性素材

（1）在比較中搭起理解的橋梁

在習(xí)題中，算式與數(shù)、算式與算式的連線題就是等號關(guān)系性理解的隱性素材。如下習(xí)題，在教學(xué)中我們只要比平常多問幾遍“為什么要這么連，還可以怎么表示”，讓學(xué)生在“獨立連線—解釋原因—等號連接”三個步驟的教學(xué)中，感悟到等號就像連的線用來描述兩個算式或算式與數(shù)的等價關(guān)系一樣，因為等價所以相連。

（2）突出互逆運算

等號作為關(guān)系符號，還具有可逆性。在一年級教材里，對于數(shù)的加減法，除了以“合并”引入加法，“取走”引入減法外，還用數(shù)的分解與組合模型來表示加減。從數(shù)的分成和組成，到加法和減法的運算，都以四個等式的形式同時呈現(xiàn)，這些都有助于學(xué)生認識到加法和減法運算的互逆關(guān)系?；ツ孢\算的同時呈現(xiàn)，有利于學(xué)生看到運算之間的關(guān)系，也有利于學(xué)生認識等號的關(guān)系性。這樣的滲透和準備，大大方便了簡易方程的解法。

四、變換形式，多維度建構(gòu)等號“結(jié)構(gòu)性”

在課堂教學(xué)中，教師要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性的新問題。

1.等式變形：變化中明確本質(zhì)

低年級學(xué)生由于受年齡和思維特點的影響，會覺得習(xí)題呈現(xiàn)方式的改變有一定的難度。如4+3=□+□，學(xué)生往往就在第1個方框填7，后一個方框隨便填。因此，在變換等式的形式中，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)中明確關(guān)系就很有必要。

在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生多接觸結(jié)果在左的等式結(jié)構(gòu)，如A=□+□，A=□+□-□等，從而幫助學(xué)生打破結(jié)果一定在等號右邊的觀念。同時，教師也可以讓學(xué)生多接觸算式與算式的等式結(jié)構(gòu)，如□+□=□+□等，幫助學(xué)生建立把兩個算式看作一個整體的概念。通過變式訓(xùn)練，學(xué)生在不斷進行概括和比較中會提高對等式的理解。

2.圖形等式：符號化抽象出本質(zhì)

張?zhí)煨⒔淌谡J為，要讓學(xué)生真正理解等號，需要學(xué)生形成把等式看作一個整體結(jié)構(gòu)的觀念，特別是讓圖形參與到計算過程中去。

例如，已知○+□=5， □+△=8，? ○+□+△=10，

則○=（? ?），□=（? ? ），△=（? ? ）。

比較直觀的方法，就是在解題中將前兩個算式看作一個整體來變形處理，再運用代入法代入到第3個算式中，求出第3個圖形代表幾。具體為 +△=10，用5代替○+□，求出△=5。同理，也可將第2個算式代入第3個算式中求出○。在推算的過程中，學(xué)生會理解等號表達的是圖形與數(shù)之間的關(guān)系。

鄭毓信教授在探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要改革方向時提到，應(yīng)當(dāng)以“代數(shù)思維”作為小學(xué)算術(shù)教學(xué)的基本指導(dǎo)思想。教師作為學(xué)生發(fā)展路上的引路人，在整個算術(shù)教學(xué)中，都應(yīng)充分挖掘小學(xué)數(shù)學(xué)教材中代數(shù)思維的“雛形”，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)思維思考算術(shù)和問題，讓小學(xué)數(shù)學(xué)的算術(shù)教學(xué)也“居高臨下”。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.