借助直觀，溝通聯(lián)系，理解關(guān)系

張敏　周芳

在《比的認(rèn)識(shí)》教學(xué)中按照“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”來(lái)教，我遇到一些困惑的問(wèn)題：1.學(xué)生對(duì)于“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”認(rèn)識(shí)很牽強(qiáng)，學(xué)生并不能自己去發(fā)現(xiàn)。2.學(xué)生不能感受同類量的比和不同類量比的聯(lián)系，同類量的比可以得出它們的倍數(shù)關(guān)系，但不同類量的比表示的不是倍數(shù)關(guān)系。3.在理解比的意義時(shí)，學(xué)生用除法來(lái)理解比較困難。4.在討論比分是不是一個(gè)比時(shí)，學(xué)生比較難用“兩個(gè)數(shù)相除”來(lái)解釋，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為比分之間也可以存在倍數(shù)關(guān)系。分析產(chǎn)生這些問(wèn)題的根源在于教學(xué)中用“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”來(lái)理解比。因此，我想利用浙教版教材“比表示兩個(gè)數(shù)的一種關(guān)系”進(jìn)行教學(xué)，并且要突出是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要想要突破的問(wèn)題：1.如何引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)比表示兩個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系？2.如何把比與除法，不同類量的比和同類量的比建立聯(lián)系？

一、基于舊知，提出問(wèn)題

黑板上出示：△△? ?○○○○○○

師：你能比一比嗎？這是我們以前學(xué)的比多少和倍比，這節(jié)課我們還是要來(lái)研究比。關(guān)于比，你想知道什么？生：比表示什么意思？為什么要用比？怎么比？師：你見(jiàn)過(guò)比嗎？生：籃球賽的比分，奶粉配方成分比……

根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)引出比，并請(qǐng)學(xué)生提出研究的主要問(wèn)題，有利于知識(shí)的建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力。

二、基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和直觀圖認(rèn)識(shí)同類量比的對(duì)應(yīng)關(guān)系

（一）認(rèn)識(shí)比的各部分名稱

（板書4[∶]1）這個(gè)“：”叫做比號(hào)，比號(hào)前的數(shù)叫前項(xiàng)，比號(hào)后的數(shù)叫后項(xiàng)。

（二）初步認(rèn)識(shí)比的意義

1.畫圖理解4[∶]1表示的含義。

師：老師也帶來(lái)了一個(gè)比，泡果珍飲料中，水和果珍粉的比是 4[∶]1。

水和果珍粉的比是4[∶]1 ， 表示什么意思？ 可以怎么分配水和果珍，你能想辦法用畫圖來(lái)表示嗎？學(xué)生根據(jù)畫的圖解釋含義。

師：如果果珍變化，水該怎么變化？同學(xué)們可以討論。

師：你們發(fā)現(xiàn)什么？生：都是水4份配果珍1份。師：4份水配1份果珍，數(shù)學(xué)上我們可以叫做對(duì)應(yīng)。（板書“對(duì)應(yīng)”）生：水都是果珍的4倍。師：（板書4÷1=4倍）4是這個(gè)比的比值。（板書比值）這個(gè)比值表示什么意思呢？ 原來(lái)比值中也隱藏著對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.認(rèn)識(shí)其他同類量比的含義。

師：這里的4[∶]1表示4份對(duì)應(yīng)1份，其他的比又表示什么呢？

PPT出示：噴水池的長(zhǎng)寬比3[∶]2（板書3[∶]2）

公園里花卉面積與草坪面積的比是1[∶]2（板書1[∶]2）

師：同桌說(shuō)說(shuō)這些比表示的含義？（同桌互說(shuō)后反饋）

在上述同類量比的認(rèn)識(shí)中借助直觀，理解比表示一種對(duì)應(yīng)關(guān)系是這節(jié)課的創(chuàng)新之處。首先，利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)畫圖理解同類量的比，即幾份配幾份，自然引出幾份對(duì)應(yīng)幾份。其次，讓學(xué)生借助圖，在意義解構(gòu)活動(dòng)中感悟?qū)?yīng)關(guān)系的深層次意義——當(dāng)兩個(gè)數(shù)量變化時(shí)，比可以表示兩者之間不變的關(guān)系。用圖比用具體數(shù)更能讓學(xué)生感悟兩者之間不變的關(guān)系。沒(méi)有用抽象的語(yǔ)言或者復(fù)雜的教學(xué)，只是在圖上按照比進(jìn)行添或減，是具有函數(shù)色彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)。再者，創(chuàng)新了比值的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)比值可以看成兩個(gè)數(shù)量的一般對(duì)應(yīng)關(guān)系：即一份對(duì)應(yīng)幾份。而其他具體的比是特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。利用圖理解比的意義，并根據(jù)比變化圖，這是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基于一般對(duì)應(yīng)關(guān)系的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系。利用圖可以比較簡(jiǎn)約、一目了然地把對(duì)應(yīng)關(guān)系顯示出來(lái)。

三、借助圖進(jìn)一步認(rèn)識(shí)不同類量比的對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩種比的聯(lián)系

（一）認(rèn)識(shí)《總價(jià)與數(shù)量》的比

PPT出示“6元錢買了2包餅干，總價(jià)和數(shù)量的比如何表示？”

生：6[∶]2（板書6[∶]2）師：這個(gè)比表示什么意思？還可以怎么買？請(qǐng)你畫一畫。

（根據(jù)學(xué)生的圖讓學(xué)生解釋意義。）

師：請(qǐng)觀察這些不同買法，你發(fā)現(xiàn)有什么相同？

（二）認(rèn)識(shí)《路程和時(shí)間》的比

師：汽車在路上行駛50km用了 2小時(shí)，路程和時(shí)間的比是？比值是？生：50[∶]2，25千米/每小時(shí)。師：這個(gè)比和比值分別表示什么意思？我們來(lái)比較一下，這些比和前面的那些比，相同在哪里？

（學(xué)生邊說(shuō)，師邊動(dòng)態(tài)出示圖）

不同類量的比是以前教學(xué)的困惑之處，但是改進(jìn)教學(xué)后用“比表示一種對(duì)應(yīng)關(guān)系”就把同類量的比和不同類量的比聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)同類量比的認(rèn)識(shí)，理解不同類量的比是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系就比較容易了。非常有意思的是，學(xué)生在畫圖中感悟到不同類量的比，用不同的符號(hào)來(lái)表示不同的量，但學(xué)生同樣還是在畫圖、觀察比較中體會(huì)比的對(duì)應(yīng)關(guān)系的內(nèi)涵。對(duì)不同類量比值的進(jìn)一步探究，把同類量比和不同類量的比進(jìn)行進(jìn)一步的聯(lián)系，即都是一份對(duì)應(yīng)幾份。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)不同量的比值的理解較同類量比值的理解更容易些。

四、利用反例進(jìn)一步明晰比的意義

（PPT出示）足球比賽甲乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)的比是? ?2[∶]1（板書：甲[∶]乙 2[∶]1）

這個(gè)比和我們今天認(rèn)識(shí)的比一樣嗎？ 你還是可以畫圖來(lái)解釋。

師：（學(xué)生交流后反饋）是不是今天的比？為什么？

生：我們認(rèn)識(shí)的比表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，而比分不能表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如比分不是2分對(duì)應(yīng)1分增加的，可能會(huì)變成2[∶]2，所以比分不是今天我們研究的比。

在討論比分是否是比的環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)用不同的教材教，學(xué)生的表現(xiàn)有很大的不同。用“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”來(lái)教，由于學(xué)生對(duì)比本質(zhì)內(nèi)涵沒(méi)有深入體會(huì)，只是模糊知道兩個(gè)數(shù)相除是比，所以在討論中學(xué)生不能利用比的本質(zhì)來(lái)解釋。在理解比是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系后，學(xué)生就能用假如是對(duì)應(yīng)關(guān)系和實(shí)際中的比分變化兩方面來(lái)推理說(shuō)明。通過(guò)這樣的反例讓學(xué)生借助直觀，充分說(shuō)明辨析的過(guò)程，明晰概念，培養(yǎng)能力。

五、基于深入體會(huì)的抽象概括

師：研究了這么多比，你知道幾比幾表示的意思了嗎？請(qǐng)你自己寫一個(gè)比，和同桌說(shuō)一說(shuō)這個(gè)比表示的意思。學(xué)生同桌交流后匯報(bào)。

學(xué)生借助直觀，利用已有經(jīng)驗(yàn)，在自主探究中逐步發(fā)現(xiàn)比的本質(zhì)內(nèi)涵，逐步抽象概括，相比第一次課中學(xué)生對(duì)“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”模糊的認(rèn)識(shí)，到這里明確認(rèn)識(shí)比是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。其次，利用比值的認(rèn)識(shí)，把比與除法建立了聯(lián)系——除法是求比值的方法。因?yàn)楸戎凳潜硎久恳环輰?duì)應(yīng)幾，所以就要用除法計(jì)算比值，也進(jìn)一步與除法的意義建立聯(lián)系。

縱觀整節(jié)課，我們以整體的眼光，以比是表示一種對(duì)應(yīng)關(guān)系將同類量的比和不同類量的比系統(tǒng)認(rèn)知，并借助對(duì)比值的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步把聯(lián)系更深入。同時(shí)借助比值把比與除法的關(guān)系自然聯(lián)系。在比的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解中，并不僅僅浮于表面的認(rèn)識(shí)，而是在學(xué)生借助圖，圍繞大問(wèn)題“這個(gè)比表示什么意思，根據(jù)這個(gè)比可以怎么??？”開(kāi)展自主探究活動(dòng)，在觀察、比較、討論中發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的函數(shù)對(duì)應(yīng)思想。