在理性分析中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

丁益民

摘要：引導(dǎo)學(xué)生做好運(yùn)算分析，幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是很有現(xiàn)實(shí)意義的。尤其是在解析幾何題的解決中，應(yīng)該重視運(yùn)算的節(jié)點(diǎn)分析，做好運(yùn)算微觀思考;重視運(yùn)算的過(guò)程分析，養(yǎng)成運(yùn)算監(jiān)控意識(shí);重視運(yùn)算的算理分析，總結(jié)運(yùn)算基本經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 解析幾何 解題教學(xué)

研究表明，我國(guó)高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不盡如人意，特別是在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，運(yùn)算的問(wèn)題更加突出，主要表現(xiàn)為畏懼運(yùn)算、算不到底、不會(huì)巧算等。究其原因，一方面是教師只重視解題方法的傳授，而忽視對(duì)運(yùn)算的深度分析，缺乏對(duì)運(yùn)算的示范與指導(dǎo)，特別是缺少對(duì)運(yùn)算的預(yù)估、調(diào)整與優(yōu)化;另一方面則是學(xué)生自身對(duì)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)積累和方法改進(jìn)不夠重視，運(yùn)算的水平依舊停留在小學(xué)或初中階段，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到學(xué)習(xí)解析幾何所需要的能級(jí)要求。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的定位：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果?！薄巴ㄟ^(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)能力;有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題;通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神?！?/p>

因此，引導(dǎo)學(xué)生做好運(yùn)算分析，幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是很有現(xiàn)實(shí)意義的。本文嘗試借助幾道解析幾何題的解決，談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的一些想法，敬請(qǐng)指正。

一、重視運(yùn)算的節(jié)點(diǎn)分析，做好運(yùn)算微觀思考

對(duì)于解析幾何題，教師往往在分析完思路后，便急匆匆地板演過(guò)程或讓學(xué)生自己演算。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生體驗(yàn)的更多的是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，而幾乎沒(méi)有新的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。此時(shí)，應(yīng)該慢下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有算法設(shè)計(jì)中的每個(gè)運(yùn)算節(jié)點(diǎn)進(jìn)行慢鏡頭式的分析，對(duì)每個(gè)運(yùn)算節(jié)點(diǎn)可能遇到的思維障礙、路徑選擇等進(jìn)行剖析，并給出合理的改進(jìn)措施與優(yōu)化方案。

例1如圖1，已知橢圓C：x24+y2=1上的兩點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，P是橢圓C上異于M、N的任意一點(diǎn)，直線PM、PN分別與x軸交于點(diǎn)R、S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OR·OS為定值。

本題的算法設(shè)計(jì)（思路分析）如下：

1. 設(shè)出點(diǎn)P、M、N坐標(biāo)（x0，y0）、（x1，y1）、（x1，-y1），并表示直線PM、PN的方程;

2. 求得直線PM、PN與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xR、xS;①

3. 計(jì)算xR·xS。②

在此基礎(chǔ)上，可以對(duì)其中的運(yùn)算節(jié)點(diǎn)做進(jìn)一步的剖析：

節(jié)點(diǎn)①是提升學(xué)生運(yùn)算能力的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)。首先，在計(jì)算xR時(shí)，對(duì)-y0=y0-y1x0-x1·（x-x0），既可以直接展開(kāi)后合并同類(lèi)項(xiàng)，也可以先觀察等號(hào)兩邊的展開(kāi)項(xiàng)，再按照某個(gè)字母的降冪順序依次書(shū)寫(xiě)系數(shù)。兩種運(yùn)算方式對(duì)學(xué)生思維的要求不同：前者是常規(guī)的展開(kāi)運(yùn)算，是單向的線性思維體現(xiàn);而后者是對(duì)等式進(jìn)行整體考量后的運(yùn)算，是雙向的整體思維表現(xiàn)。其次，在計(jì)算xS時(shí)，習(xí)慣上會(huì)運(yùn)用“同理可得”，但是實(shí)際上，很多學(xué)生并沒(méi)有真正理解“同理”的“理”在何處，因此，在最初運(yùn)用“同理可得”時(shí)，教師應(yīng)該講清楚“理”，并盡可能地讓學(xué)生自己完成，從而讓他們體會(huì)到如何進(jìn)行坐標(biāo)替換的思維操作。

在節(jié)點(diǎn)②處，可以著重引導(dǎo)學(xué)生觀察式子xR·xS=x21y20-x20y21y20-y21中字母出現(xiàn)的一致（如分子中的x21y20和x20y21）與差異（如分式中出現(xiàn)的縱坐標(biāo)多，橫坐標(biāo)少），從而形成消元的方向與決策。

不難看出，通過(guò)慢鏡頭式的算法分析，學(xué)生的思維訓(xùn)練將由淺入深、從粗到細(xì)逐步展開(kāi)，其中既有對(duì)已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的強(qiáng)化與調(diào)整，也有借鑒已有結(jié)果的反思與模仿，還有對(duì)代數(shù)式觀察、運(yùn)算對(duì)象監(jiān)控等多重的思維訓(xùn)練。由此，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都將得到相應(yīng)的提升。

二、重視運(yùn)算的過(guò)程分析，養(yǎng)成運(yùn)算監(jiān)控意識(shí)

解析幾何運(yùn)算讓很多學(xué)生望而生畏的一個(gè)重要原因是，對(duì)影響運(yùn)算長(zhǎng)度、速度等因素的預(yù)判容易出問(wèn)題，具體表現(xiàn)為不能估測(cè)到選擇的運(yùn)算方向?qū)?huì)產(chǎn)生怎樣的運(yùn)算，以及難以估計(jì)到已有算法設(shè)計(jì)與自身運(yùn)算水平的差異而導(dǎo)致的運(yùn)算速度的差異。教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有算法設(shè)計(jì)中的運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行分析，做好運(yùn)算監(jiān)控。

例2如下頁(yè)圖2，已知A、B分別為橢圓E：x24+y2=1的左、右頂點(diǎn)，C為（1，0），圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P在x軸的上方，直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連接PB、DC。

（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S;

（2）設(shè)直線PB、DC的斜率存在且分別為k1、k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

本題第（2）問(wèn)有多種運(yùn)算方向（算法設(shè)計(jì)），其中一種如圖3所示。

在上述算法設(shè)計(jì)中，至少有三處運(yùn)算可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)判與調(diào)整：

在①處，一般而言，橢圓上的點(diǎn)有兩種設(shè)法：直角坐標(biāo)（x0，y0）和三角參數(shù)形式（acosα，bsinα）。兩種設(shè)法各有特點(diǎn)。應(yīng)該讓學(xué)生感受到不同設(shè)法的運(yùn)算長(zhǎng)度不同：設(shè)成直角坐標(biāo)（x0，y0）簡(jiǎn)單明了，但可能因?yàn)樽兞浚ㄗ帜福┹^多，后續(xù)消元時(shí)較易迷失方向，導(dǎo)致運(yùn)算受阻;而設(shè)成三角參數(shù)形式（acosα，bsinα）變量較少，化簡(jiǎn)方向不會(huì)亂，但對(duì)三角恒等變換的運(yùn)算要求較高，可能因?yàn)閷?duì)三角恒等變換的不熟練，導(dǎo)致運(yùn)算受阻。同時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)自身水平合理選擇設(shè)點(diǎn)方式，由此形成相應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在②處，對(duì)已有直線之間斜率關(guān)系觀察的差異將影響運(yùn)算的長(zhǎng)度。若不能發(fā)現(xiàn)兩直線垂直的斜率關(guān)系，而先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再表示k1，則會(huì)大大增加運(yùn)算量。應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)到通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)斜率之間的關(guān)系對(duì)運(yùn)算長(zhǎng)度的影響。

在③處，運(yùn)算速度的差異體現(xiàn)在對(duì)常見(jiàn)代數(shù)結(jié)構(gòu)信息反饋的差異上。若能注意到齊次分式而采取分離常數(shù)的運(yùn)算操作，則比較容易獲得結(jié)果。否則，會(huì)逗留于此，延緩運(yùn)算速度。

由此可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)解題過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)的運(yùn)算實(shí)施監(jiān)控，學(xué)生能體會(huì)到預(yù)判運(yùn)算長(zhǎng)度、速度等的真正意義，實(shí)時(shí)地改進(jìn)運(yùn)算的策略和方向。這從根本上提高了運(yùn)算的可控性，增加了運(yùn)算的合理性。久而久之，學(xué)生將形成良好的運(yùn)算意識(shí)和理性的運(yùn)算習(xí)慣。

三、重視運(yùn)算的算理分析，總結(jié)運(yùn)算基本經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)常常會(huì)變成追求速度、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練，讓學(xué)生疲于“死算”，忙于“瞎算”。這樣的訓(xùn)練方式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是不利的。數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的一種形式，離不開(kāi)算理的支撐。算理是客觀存在的規(guī)律，能為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供正確的思維方式，從而保證運(yùn)算的合理性和正確性。實(shí)際上，每個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)中都蘊(yùn)含著相應(yīng)的“算理”，我們應(yīng)該幫助學(xué)生分析這些算理，從而指導(dǎo)運(yùn)算;讓學(xué)生體會(huì)到算理是進(jìn)行一類(lèi)運(yùn)算的客觀規(guī)律，進(jìn)而提高運(yùn)算的嚴(yán)密性和可操作性。

例3如圖4，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（1， 0），離心率為22。分別過(guò)O、F的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E（異于A、C兩點(diǎn)），且OE=EF。

（1）求橢圓的方程;

（2）求證：直線AC、BD的斜率之和為定值。

對(duì)于本題第（2）問(wèn)，有學(xué)生這樣解答：

由OE=EF知直線AB、CD的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線AB的方程為y=kx（記為①），直線CD的方程為y=-k（x-1）（記為②），將方程①、②分別與橢圓方程x22+y2=1聯(lián)立，可解得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為±22k2+1，點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為2k2±2（k2+1）2k2+1，所以kAC=yA-yCxA-xC=……kBD=yB-yDxB-xD=……

這里，學(xué)生運(yùn)算受阻的原因是，過(guò)早地出現(xiàn)了含有根式的坐標(biāo)，導(dǎo)致出現(xiàn)分子、分母都含有根式的復(fù)雜分式運(yùn)算。教師可以對(duì)此予以指導(dǎo)，并揭示相應(yīng)的算理：

指導(dǎo)1：不求根，先化簡(jiǎn)再代入策略。

能不能不求根而直接利用韋達(dá)定理？為此，設(shè)出坐標(biāo)是必要之舉，可通過(guò)坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)是優(yōu)化運(yùn)算的重要處理：kAC=yA-yCxA-xC=kxA+k（xC-1）xA-xC=k（xA+xC-1）xA-xC，kBD=yB-yDxB-xD=kxB+k（xD-1）xB-xD=k（xB+xD-1）xB-xD。這里，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：求kBD時(shí)是否可以借鑒kAC的形式將其中的坐標(biāo)換成類(lèi)似的坐標(biāo)？這是一種操作性思維活動(dòng)，即在已有思維成果的基礎(chǔ)上通過(guò)合情推理得到新的思維結(jié)果，無(wú)疑更有利于學(xué)生的思維訓(xùn)練。

接下來(lái)，便是對(duì)上述兩式進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析：變量之間有什么關(guān)系？變量的個(gè)數(shù)能否減少？學(xué)生在引導(dǎo)下，會(huì)發(fā)現(xiàn)A與B、C與D之間是相關(guān)聯(lián)的。而這些發(fā)現(xiàn)又使計(jì)算得以進(jìn)一步優(yōu)化：kAC+kBD=kxA+xC-1xA-xC+-xA+xD-1-xA-xD=k-2x2A-2xCxD+xC+xD（xA-xC）（-xA-xD）。經(jīng)過(guò)優(yōu)化處理，變量之間的關(guān)系變得更加清晰，為進(jìn)一步使用韋達(dá)定理提供了心理暗示。

上述運(yùn)算以分式求和“先化簡(jiǎn)再代入”為算法——這在初中代數(shù)運(yùn)算時(shí)早已學(xué)習(xí)過(guò)。這樣做的好處就是可適當(dāng)減少一些數(shù)據(jù)的干擾和避免過(guò)早出現(xiàn)復(fù)雜分式的困境。這是一種算理的體現(xiàn)，應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到。

指導(dǎo)2：先分后合，局部處理策略。

出現(xiàn)分式結(jié)構(gòu)時(shí)如何避免形式的繁雜呢？實(shí)際上，對(duì)待分式化簡(jiǎn)問(wèn)題，往往可以將分式分解成若干部分后采用局部處理，再將各部分的結(jié)果合成為整體。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，處理分式時(shí)，通常比較容易把握分子的運(yùn)算。因此，可以先從分子入手計(jì)算，即-2x2A-2xCxD+xC+xD=-2×22k2+1-2×2k2-22k2+1+4k22k2+1=0。出現(xiàn)上述結(jié)果是很順利的。倘若結(jié)果不為0，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析（還要計(jì)算分母），也照此運(yùn)算，最后合成得到最終答案。

采用從局部到整體的處理方式，可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相對(duì)容易操作的問(wèn)題進(jìn)行研究，減少運(yùn)算的壓力及多余運(yùn)算的干擾。這同樣是一種算理。學(xué)生充分體會(huì)到各種算法下的算理時(shí)，便能自覺(jué)地產(chǎn)生同化與順應(yīng)，逐步轉(zhuǎn)化為理性運(yùn)算的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張小鴿.高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力調(diào)查和分析研究[J].陜西教育（教學(xué)版），2012（9）.

[2] 陳玉娟.例談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的維度[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（8）.

[3] 石志群.對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)幾個(gè)問(wèn)題的思辨[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（11）.