基于SVD的雷達(dá)嵌入式通信波形設(shè)計方法

李保國，張澄安,*，徐建秋

1. 國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，長沙 410073 2. 中國人民解放軍31103部隊，南京 210000

隨著無線電技術(shù)的進(jìn)步，無線通信已經(jīng)取得長足發(fā)展。但對于軍事無線通信而言，其應(yīng)用可能面對2個挑戰(zhàn)，一是由于傳統(tǒng)無線通信的開放性和廣播性，電磁信號極易被捕獲、識別和干擾，在戰(zhàn)場條件下，大量的指令、情報等關(guān)鍵信息通過無線通信傳輸，極易造成情報泄露，尤其是面對現(xiàn)代無源定位技術(shù)的進(jìn)步，傳統(tǒng)無線通信注定不能適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)場需求；二是在未來信息化戰(zhàn)場條件下，指令傳輸、情報共享的數(shù)據(jù)將是海量的，如何提高頻譜資源的利用效率，也是未來軍事通信必須面對的問題。

2013年，美國國防預(yù)研計劃局(Defense Advanced Research Projects Agency，DARPA)啟動了名為“雷達(dá)與通信的頻譜接入共享”(Shared SPectrum Access for Radar and Communications，SSPARC)的項目研究，旨在開發(fā)軍用雷達(dá)和軍事通信系統(tǒng)之間的頻譜共享技術(shù)。作為SSPARC項目有力競標(biāo)者之一，雷達(dá)嵌入式通信(Radar-Embedded Communication, REC)能夠在實現(xiàn)雷達(dá)和通信共享頻譜的同時滿足軍事通信隱蔽性的需求。

REC的工作原理如圖1所示，首先，REC工作區(qū)域被友方或敵方雷達(dá)照射，友方目標(biāo)和合作接收機都可以收集到雷達(dá)信號；其次，友方目標(biāo)攜帶可以對雷達(dá)信號進(jìn)行感知的射頻(Radio Frequency，RF)標(biāo)簽，RF標(biāo)簽可以對雷達(dá)信號進(jìn)行采集，生成具有隱蔽特性的通信信號，與雷達(dá)散射回波同步發(fā)送，而RF標(biāo)簽周圍的局部散射回波則作為通信信號的隱藏載體；最后，合作接收機已知通信信號的設(shè)計方式，可以實現(xiàn)對通信信號的有效提取，恢復(fù)出友方目標(biāo)所嵌入的通信信息，完成隱蔽通信。

圖1 REC工作原理圖[5]Fig.1 Diagram of REC working principle[5]

在圖1的REC工作過程中，由RF標(biāo)簽嵌入的通信信號與雷達(dá)后向散射回波信號同時同頻，且在功率上遠(yuǎn)低于雷達(dá)回波信號，因此REC具有實現(xiàn)雷達(dá)與通信頻譜共享和抗截獲隱蔽通信的雙重作用。

在隱蔽通信概念中，低檢測概率(Low Probability of Detection, LPD)特性指通信信號難以被截獲接收機檢測到的特性，低截獲概率(Low Probability of Intercept, LPI)特性指通信信號在被檢測到的情況下，難以被截獲接收機分類識別的特性。傳統(tǒng)的隱蔽通信技術(shù)主要包括直接序列擴頻技術(shù)、跳頻技術(shù)、跳時技術(shù)、噪聲通信技術(shù)以及各種加密算法等。其中，除直接序列擴頻技術(shù)外，其余隱蔽通信技術(shù)在信號層是可檢測的，因此不具有LPD特性，只具有LPI特性，而面對敵方無源定位等先進(jìn)的探測技術(shù)時將會導(dǎo)致目標(biāo)位置等敏感信息的暴露，帶來極大的安全隱患。而直接序列擴頻技術(shù)與REC技術(shù)的隱蔽原理相似，都是將低功率的通信信號淹沒在背景信號中，都同時具有LPD和LPI特性，但直接序列擴頻通信的帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于被傳輸?shù)脑夹畔⒌膸挘焕谔岣哳l譜利用效率，且其提出較早，已經(jīng)有很多成熟的檢測方法，因此在未來信息化戰(zhàn)場條件下，REC相較于其他隱蔽通信在隱蔽性能上具有獨特的優(yōu)勢。

REC可分為脈間REC和脈內(nèi)REC。20世紀(jì)90年代，脈間REC首先被提出并成功應(yīng)用于合成孔徑雷達(dá)，其原理是在多個雷達(dá)后向散射回波信號中傳遞雷達(dá)信號的相移序列，并且傳輸一個通信波形要用到多個雷達(dá)脈沖(通常數(shù)百個)，因此傳輸速率很低。2007年，脈內(nèi)REC由美國堪薩斯大學(xué)Blunt教授團隊首次提出，可以在一個雷達(dá)脈沖回波中嵌入一個通信波形，大大提高了REC的通信速率。為了便于表達(dá)，本文下述REC技術(shù)均指脈內(nèi)REC技術(shù)。

文獻(xiàn)[5]率先對REC進(jìn)行了系統(tǒng)建模，并提出了REC波形設(shè)計的3種方法：非主空間特征向量作為通信波形(Eigenvectors-as-Waveforms，EAW)、非主空間特征向量加權(quán)(Weighted-Combining，WC)和主空間投影(Dominant Projection，DP)。此外，文獻(xiàn)[5]還提出了2種REC接收算法：匹配濾波器(MF)和去相關(guān)濾波器(DF)，用于REC合作接收方接收機設(shè)計。2009年，文獻(xiàn)[14]研究了多徑衰落對ERC性能的影響，對EAW、WC和DP這3種通信波形在多徑信道下的魯棒性能進(jìn)行了分析，并得出結(jié)論：DP波形具有良好的抗多徑特性。文獻(xiàn)[15-16]將信道信息引入REC波形設(shè)計，采用時間反轉(zhuǎn)技術(shù)來實現(xiàn)通信信號的空間聚集，提高了通信可靠性和LPI特性。2010年，文獻(xiàn)[17]提出了一種基于歸一化相關(guān)系數(shù)來評價REC抗截獲性能的定量評價方法，使REC的LPI特性得到量化。2011年，文獻(xiàn)[18]提出了一種基于紐曼-皮爾遜(Neyman-Pearson, NP)準(zhǔn)則的兩級REC接收方法，可以實現(xiàn)REC通信信號的恒虛警檢測。2015年，文獻(xiàn)[19]提出了2種新的REC波形設(shè)計方法：成型主空間投影(Shaped Dominant Projection，SDP)和注水成型(Shaped Water-Filling，SWF)波形設(shè)計方法，具有更好的LPD特性。2020年，文獻(xiàn)[20]又提出了一種逆成型主空間(Inverse Shaped Dominant Projection，ISDP)波形設(shè)計方法，降低了通信信號對雷達(dá)系統(tǒng)的干擾。

除了Blunt教授團隊對REC做出了主要工作外，該領(lǐng)域還引起了許多國內(nèi)外其他學(xué)者的關(guān)注和研究。2015年，意大利學(xué)者Ciuonzo等提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的波形設(shè)計方法，該方法可以靈活在通信可靠性和隱蔽性之間進(jìn)行權(quán)衡。2016年，麥超云等針對稀疏雷達(dá)波形進(jìn)行了REC波形的設(shè)計，提高了通信信號的頻帶利用率。2017年，Sahin等將連續(xù)相位調(diào)制(Continuous Phase Modulation, CPM)技術(shù)引入REC系統(tǒng)，并提出了一種可以降低算法復(fù)雜度的波形設(shè)計方法。2019年，Nusenu等提出了一種基于頻率分集多輸入多輸出(Frequency Diverse Multiple-Input Multiple-Output, FD-MIMO)的REC方案，進(jìn)一步拓展了REC的應(yīng)用范圍。

自REC的概念被提出以來，通信波形設(shè)計一直是REC的關(guān)鍵技術(shù)，許多學(xué)者也對此進(jìn)行了研究。然而，過去所有的波形設(shè)計方法都是對雷達(dá)信號進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，然后通過特征值分解進(jìn)行波形設(shè)計，其并沒有直接針對雷達(dá)信號進(jìn)行研究。這樣會帶來一些問題，一是所設(shè)計的REC通信波形與雷達(dá)信號相似程度下降，通信隱蔽性能會有所損失；二是無法對雷達(dá)回波和REC通信波形之間的相似程度進(jìn)行量化，不能在通信隱蔽性和可靠性之間進(jìn)行權(quán)衡；三是所設(shè)計的通信波形并不完全正交，這會導(dǎo)致通信性能的損失。針對這3個問題，本文提出了一種基于奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的REC波形設(shè)計方案，可以很好地解決上述傳統(tǒng)REC波形設(shè)計缺陷，增加REC波形的通信可靠性和抗截獲性能。

本文的貢獻(xiàn)主要有以下幾點：

1) 基于SVD分解提出了一種具有更高通信可靠性和更低被截獲概率的REC波形生成算法，給出了算法的具體步驟。

2) 從數(shù)學(xué)上對SVD波形和雷達(dá)波形的相似度進(jìn)行了推導(dǎo)計算，為進(jìn)行通信波形的隱蔽性和可靠性權(quán)衡提供了參考。

3) 對SVD的通信可靠性進(jìn)行了進(jìn)一步分析，并與傳統(tǒng)3種REC波形通信可靠性進(jìn)行了比較。

4) 對SVD波形的LPI特性進(jìn)行了仿真分析，證明了SVD波形具有更好的抗截獲性能。

5) 對SVD波形的計算復(fù)雜度進(jìn)行了理論分析，并與傳統(tǒng)3種波形設(shè)計方法進(jìn)行了對比。

1 系統(tǒng)模型構(gòu)建

1.1 REC信道模型

REC信道建模如圖2所示，其信號傳輸路徑可以分為前向鏈路和后向鏈路，前向鏈路為雷達(dá)照射鏈路，后向鏈路為收發(fā)鏈路。雷達(dá)信號經(jīng)過雷達(dá)照射鏈路照射REC工作區(qū)域，環(huán)境和友方目標(biāo)會對雷達(dá)信號進(jìn)行散射而產(chǎn)生散射回波，而友方目標(biāo)所攜帶的RF標(biāo)簽則會對雷達(dá)信號進(jìn)行感知，對雷達(dá)信號進(jìn)行重構(gòu)生成具有LPI特性的REC通信波形，與雷達(dá)后向散射回波同步發(fā)送給合作接收機。合作接收機接收到的信號為雷達(dá)回波、REC通信信號和環(huán)境噪聲三者的混合信號：

()=()*()+()*()+()

(1)

圖2 REC信道模型Fig.2 REC channel model

式中：()為合作接收機接收到的混合信號；()為雷達(dá)信號；()表示環(huán)境散射樣本；()代表信道多徑響應(yīng)；()表示第個通信波形被嵌入；表示()的功率約束因子；()為環(huán)境噪聲。其中，雷達(dá)后向散射回波信號建模為雷達(dá)信號()和環(huán)境散射樣本()的卷積。

進(jìn)一步將式(1)離散化，定義為滿足雷達(dá)信號奈奎斯特采樣準(zhǔn)則的采樣點數(shù)，為過采樣因子。因此雷達(dá)信號可以被離散地表示為

=[,,…,]

(2)

式中：,,…,為雷達(dá)過采樣數(shù)據(jù)。通過對進(jìn)行循環(huán)移位構(gòu)建托普利茲矩陣：

(3)

式中：∈×(2-1)。則卷積過程()*()可以近似離散表示為

·=

(4)

式中：為后向散射樣本()的離散化；∈2-1。不考慮信道多徑，式(1)可被離散化為

=·++

(5)

式中：,∈，分別代表通信信號和環(huán)境噪聲的采樣值。

1.2 雷達(dá)回波特征提取模型

REC系統(tǒng)需要生成與雷達(dá)后向散射回波具有相關(guān)性的通信波形來保證系統(tǒng)LPI特性，因此要首先對雷達(dá)后向散射回波進(jìn)行特征提取。

以雷達(dá)信號為LFM脈沖信號為例，假設(shè)后向散射樣本為高斯噪聲，通過式(4)構(gòu)建的雷達(dá)后向散射回波的頻譜如圖3所示。將雷達(dá)回波頻譜可以分為通帶成分和過渡帶成分，其中過渡帶成分主要是由于環(huán)境散射而造成的頻譜擴展。

圖3 雷達(dá)后向散射回波的頻譜圖Fig.3 Spectrogram of radar backscatter echo

由式(4)，環(huán)境后向散射為托普利茲矩陣列向量加權(quán)，因此可以對矩陣進(jìn)行左奇異值分解來提取環(huán)境后向散射回波特征：

=

(6)

式中：∈×為酉矩陣；=diag(,,…,)為對角陣，≥≥…≥≥0；表示的共軛轉(zhuǎn)置。

同樣以雷達(dá)信號為LFM脈沖信號為例，取=100，分別取2和4，對應(yīng)的特征值曲線如圖4所示。進(jìn)一步將根據(jù)特征值大小定義前個特征值對應(yīng)的特征向量成分為后向散射回波的主空間，后-個特征值對應(yīng)的特征向量成分為后向散射回波的非主空間，分別對應(yīng)雷達(dá)回波頻譜的通帶成分和過渡帶成分。因此將式(6)進(jìn)一步表示為

(7)

式中：∈×由前個主空間特征向量組成；∈×(-)由-個非主空間特征向量組成；∈×為前個主空間特征值對角陣；∈(-)×(-)為-個非主空間特征值組成的對角陣。

圖4 雷達(dá)后向散射回波特征值曲線Fig.4 Eigenvalue of radar backscatter echo

2 傳統(tǒng)REC波形設(shè)計方法與接收策略

REC波形設(shè)計的目的是構(gòu)造出一組含有個波形的波形集，每個波形可代表log位二進(jìn)制比特信息。這一節(jié)主要對傳統(tǒng)的REC波形設(shè)計方法和REC接收機算法進(jìn)行介紹，并進(jìn)一步對傳統(tǒng)REC波形的正交性進(jìn)行分析。

2.1 傳統(tǒng)REC波形設(shè)計方法

基于第1節(jié)建立的模型，傳統(tǒng)的REC波形設(shè)計方法主要有3種：EAW、WC、DP，下面介紹這3種波形設(shè)計方法。

1) EAW

EAW方法直接使用非主空間的特征向量作為REC波形，即

==1,2,…,

(8)

式中：∈為非主空間矩陣的列向量。

2) WC

WC方法對非主空間的特征向量進(jìn)行加權(quán)，即

==1,2,…,

(9)

式中：∈-是由合作發(fā)送方和合作接收方共同約定的權(quán)值列向量，其可以為隨機向量，但必須為收發(fā)方已知。

3) DP

DP方法考慮通過投影的方式來產(chǎn)生通信波形。其算法過程為

產(chǎn)生投影矩陣

(10)

式中：投影矩陣∈×；為×的單位矩陣。然后將投影矩陣和收發(fā)方已知的列矢量相乘得到第1個REC通信波形

=

(11)

式中：通信波形∈;列矢量∈，其也可以為隨機矢量，但必須為收發(fā)方已知。通過投影操作產(chǎn)生的通信波形與主空間正交，與非主空間相關(guān)，非主空間占據(jù)雷達(dá)散射回波非主要成分，因此通信波形和雷達(dá)散射回波呈現(xiàn)弱相關(guān)狀態(tài)。

為了更好地接收性能，REC通信波形之間要盡量正交，因此在設(shè)計第2個通信波形時將加入矩陣中形成新矩陣

(12)

則新矩陣∈×2，同樣對其進(jìn)行特征值分解:

(13)

式中：特征值矩陣∈×;酉矩陣∈×,類似于式(7),可以把分為主空間和非主空間:

(14)

其中：∈×(+1),∈×(--1)。則新的投影矩陣為

(15)

式中：∈×。則可以構(gòu)造第2個REC通信波形為

=

(16)

式中：∈、∈與類似為收發(fā)方已知的矢量。

按照步驟1和步驟2依次產(chǎn)生個REC通信波形。

2.2 REC接收機設(shè)計

現(xiàn)有的REC接收機主要分為3種：匹配濾波器(Matched Filter, MF)、去相關(guān)接收機(Decorrelating Filter, DF)和對角加載的去相關(guān)(Diagonally Loaded Decorrelating, DLD)接收機。

2.2.1 MF接收機

MF接收機是將接收到的信號和REC波形集中的波形逐個進(jìn)行匹配濾波，然后將相關(guān)性最高的波形視作接收到的波形。其判決公式可表示為

(17)

2.2.2 DF接收機

進(jìn)一步考慮到在實際中影響MF接收機性能的主要是雷達(dá)回波信號對相關(guān)判決的干擾，基于最大似然估計理論，設(shè)計出了可以去除REC信號和雷達(dá)回波信號相關(guān)性的DF接收機，其設(shè)計原理如下。類似與式(12)，首先將個REC通信波形向量加入矩陣中形成矩陣

(18)

然后生成個去相關(guān)濾波器：

(19)

類似于式(17)，判決表達(dá)式為

(20)

DF接收機可以有效去除REC通信信號和雷達(dá)回波之間的相關(guān)性，因此具有更好的判決性能。

2.2.3 DLD接收機

進(jìn)一步，DLD對去相關(guān)濾波器做出如下改進(jìn)：

(21)

式中:為非主空間中最大的特征值。其判決過程類似：

(22)

DLD接收機性能優(yōu)于前2種接收機，其對角加載項方便于分析濾波器提供的處理增益，并且能夠應(yīng)對一些不良情況。

3 基于SVD的REC波形設(shè)計方法

本節(jié)突破基于特征值分解理論進(jìn)行REC通信波形設(shè)計的限制，提出了一種基于SVD理論來提取矩陣特征，進(jìn)而構(gòu)建REC通信波形的設(shè)計方法。其算法步驟如下：

對進(jìn)行SVD分解

(23)

式中：∈×和∈(2-1)×(2-1)分別為與和的特征值對應(yīng)的特征向量組成的酉矩陣;∈×(2-1)為奇異值矩陣;=diag(,,…,)為對角陣，≥≥…≥>0為矩陣的個正奇異值;為矩陣的秩。

主空間特征值置零

類似于DP波形生成算法，定義前個較大奇異值對應(yīng)的特征向量空間為主空間，后-個奇異值對應(yīng)的特征向量空間為非主空間。為標(biāo)簽和合作接收機共同約定。

將奇異值矩陣中主空間對應(yīng)的奇異值全部置零，可以得到一個新的矩陣為

(24)

式中：=diag(+1,+2,…,)為非主空間特征值構(gòu)成的對角陣。

構(gòu)造REC生成矩陣

矩陣已經(jīng)可以被用來構(gòu)造通信波形，但是為了構(gòu)造相互正交的通信波形集，需進(jìn)一步對進(jìn)行處理生成可以構(gòu)造正交通信波形的REC生成矩陣。同樣假設(shè)有個通信波形需要生成，考慮生成個不同的REC生成矩陣，每一個REC生成矩陣為矩陣保留非主空間一部分奇異值、其余奇異值置零所得到的矩陣，保留的奇異值應(yīng)該遵循下面原則：

每個非主空間奇異值只能被保留一次。后面將會看到，這一條件保證了構(gòu)造的REC通信波形之間的正交性。

每一個REC生成矩陣都要盡可能選擇較大的奇異值。這一條件可以保證每個REC通信波形的性能。

個REC生成矩陣保留的奇異值個數(shù)應(yīng)該相近，并且較大奇異值應(yīng)均勻分布于各生成矩陣之中。這一條件可以保證每一個REC通信波形相互平衡，進(jìn)一步保證通信的可靠性。

生成REC通信波形

REC通信波形生成根據(jù)

==1,2,…,

(25)

式中：∈為REC通信波形;∈2-1為加權(quán)列向量，其由收發(fā)方共同約定。

為了與傳統(tǒng)REC波形進(jìn)行區(qū)分，把這種基于SVD理論生成的REC波形稱為SVD波形。

4 仿真與性能分析

本節(jié)對SVD波形的通信可靠性、LPD特性、LPI特性和算法時間復(fù)雜度進(jìn)行分析，并進(jìn)行相應(yīng)的仿真實驗進(jìn)行驗證。

4.1 SVD波形可靠性分析與仿真

影響REC性能的一個重要方面是REC波形的正交性，REC波形之間的正交性越高，則REC波形之間的相互影響越小，通信可靠性就越高。文獻(xiàn)[22]對傳統(tǒng)REC波形的正交性進(jìn)行了分析，并通過添加一定的約束，保證傳統(tǒng)REC波形之間具有弱的相關(guān)性，但是始終沒有辦法保證REC波形之間的完全正交，這在一定程度上制約了REC性能的提高。

下面對SVD波形進(jìn)行正交性分析。考慮任意2個不同的SVD波形和，其中,∈，,≤且≠，對應(yīng)的REC生成矩陣分別為和。計算和的內(nèi)積為

(26)

式中：和為不同的列向量；根據(jù)酉矩陣定義有

==

(27)

此外，由第3節(jié)步驟3中原則1可以證明：

(28)

因此式(26)可以進(jìn)一步推導(dǎo)為

(29)

可以得出結(jié)論，SVD波形是完全正交的，這很好地解決了傳統(tǒng)WC和DP波形不正交的問題，可以進(jìn)一步提高通信的可靠性。

下面通過仿真進(jìn)行驗證。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射信號為LFM信號，雜波和環(huán)境噪聲服從高斯分布，合作接收機為DLD接收機。信干比(Signal-to-Interference Ratio, SIR)定義為REC信號和雷達(dá)回波信號的功率比，分別設(shè)置SIR為-25 dB和-30 dB進(jìn)行可靠性仿真分析。其他各參數(shù)設(shè)置為：=100，=2，=100，=4。

圖5分別為SIR=-25 dB和SIR=-30 dB功率約束下SVD波形誤碼率SER和信噪比SNR曲線?？梢钥吹?，圖5(a)中，SVD波形相較DP波形始終有1 dB左右的SNR增益，與WC波形可靠性能基本相當(dāng)。圖5(b)中，在SER為10時，SVD波形相較DP波形有1 dB左右的SNR增益，而較WC波形有3 dB左右的SNR增益。這些增益可以歸因于SVD波形的正交性及SVD波形與雷達(dá)回波局部相似性的降低(局部相似性將在4.2節(jié)中介紹)，因此SVD波形通信可靠性性能優(yōu)于傳統(tǒng)的WC和DP波形。同時也可以看到，傳統(tǒng)EAW波形通信可靠性優(yōu)于另外3種REC波形，但后面4.3節(jié)將會看到，EAW波形并不具有LPI特性，因此EAW波形不可用于REC系統(tǒng)。

圖5 通信可靠性比較Fig.5 Comparison of communication reliability

4.2 LPD性能仿真與相似度計算

與4.1節(jié)相同，假設(shè)雷達(dá)信號為LFM信號，雜波和環(huán)境噪聲服從高斯分布，參數(shù)設(shè)置為=100，=2，=100，=4。圖6對傳統(tǒng)EAW、WC、DP及SVD波形的頻譜特性進(jìn)行了仿真對比，并與雷達(dá)回波頻譜進(jìn)行了比較。

從圖6可以看到，REC波形功率主要集中在雷達(dá)回波過渡帶，這樣設(shè)計的目的是使REC信號避開高功率的雷達(dá)通帶區(qū)域，防止雷達(dá)信號對通信的干擾以及通信信號對雷達(dá)的干擾。相對于傳統(tǒng)3種REC波形，SVD波形與雷達(dá)回波頻譜在過渡帶有著更加相似的變化趨勢，截獲接收機在截獲到含有SVD波形的雷達(dá)回波中更難以發(fā)現(xiàn)通信信號的存在，其將會更加容易將截獲到的信號判定為雷達(dá)回波而不是通信信號。另外，看到SVD波形在局部細(xì)節(jié)上其實與雷達(dá)波形相似度有所降低，但實際中SVD波形功率低于雷達(dá)回波功率20 dB以上，并受到噪聲影響，局部的不相似性并不會在頻譜上明顯顯現(xiàn)，而反過來局部相似性的降低使雷達(dá)回波對通信信號的干擾程度降低，會進(jìn)一步增強通信可靠性。因此相較于傳統(tǒng)的REC波形，SVD波形有著更好的LPD特性及通信可靠性。

圖6 REC波形頻譜Fig.6 Spectrum of REC waveform

與基于特征值分解構(gòu)造REC波形相比，基于SVD進(jìn)行REC波形構(gòu)建的另一個優(yōu)勢是可以計算每個SVD波形與雷達(dá)波形之間的相似程度。由式(4)、式(23)和式(25)可以看出，雷達(dá)回波信號矢量和SVD波形矢量分別為=和對隨機矢量的線性變換，因此可以通過計算矩陣和之間的相似度來度量任意一個SVD波形和雷達(dá)波形的相似程度。這里采用歐式距離來度量相似度，因此任意一個SVD波形和雷達(dá)波形的相似程度定義為

(30)

根據(jù)矩陣F范數(shù)的性質(zhì)，式(30)可以計算為

(31)

式中：tr(·)表示矩陣的跡。

根據(jù)矩陣跡的性質(zhì)將式(31)進(jìn)一步化簡為

(32)

式中：和都為對角矩陣，相似度可以進(jìn)一步寫為

(33)

由于和對角矩陣，因此式(33)計算是簡便的。

相似度的量化計算可以為SVD波形帶來2個明顯的優(yōu)勢：

1) 可以用相似度指標(biāo)準(zhǔn)確衡量LPD特性，的值越小，則代表SVD波形和雷達(dá)回波的相似程度越高，波形性能越好。這樣LPD特性就不再依賴于人眼來觀察頻譜，使得LPD特性得以量化，解決了REC系統(tǒng)中LPD特性的分析問題；

2) 通過調(diào)整第3節(jié)步驟3中所保留的非主空間奇異值，可以靈活控制生成的SVD波形和雷達(dá)回波之間的相似程度，從而為可靠性和隱蔽性之間的權(quán)衡提供參考。

4.3 LPI性能分析

REC的另一個評價指標(biāo)是LPI性能。由于REC是在高能量的雷達(dá)散射回波之中嵌入通信信號來實現(xiàn)隱蔽通信功能，因此傳統(tǒng)的基于信號能量來測量抗截獲性能的方法已不再適用。

本文假設(shè)截獲接收機已知REC的設(shè)計原理、雷達(dá)信號參數(shù)、時寬帶寬積以及過采樣因子，因此截獲接收機可以對雷達(dá)信號進(jìn)行特征值分解，并通過估計主空間大小，將接收向量投影到非主空間來提取整個非主空間波形成分，然后將截獲接收機截獲到的波形與原始REC波形進(jìn)行歸一化相關(guān)度量來評估LPI性能。

(34)

式中：∈×。用對截獲信號進(jìn)行投影處理可以得到估計的通信波形為

(35)

(36)

式中：,∈[0, 1]。雖然歸一化相關(guān)系數(shù)度量不能直接代表截獲概率，但其可以有效度量截獲接收機提取雷達(dá)中通信波形的準(zhǔn)確程度，為LPI性能提供有效參考。,值越大，則代表截獲接收機估計的REC通信波形準(zhǔn)確程度越高，LPI性能越差。

圖7對SVD波形的LPI性能進(jìn)行了仿真，SIR分別設(shè)置為-25 dB和-35 dB，SNR設(shè)置為-5 dB，其他各參數(shù)設(shè)置為：=100，=2，=100，=4。通過與EAW、WC和DP波形的對比可以發(fā)現(xiàn)，SVD波形的LPI性能優(yōu)于其他3種波形的LPI性能，這是因為SVD波形與雷達(dá)回波的相似程度更高，雷達(dá)波形對截獲接收機分離通信波形的干擾程度更大，這與4.2節(jié)的結(jié)論相吻合。

圖7 SVD波形LPI特性仿真Fig.7 LPI performance of SVD waveform

通過對比圖7(a)和圖7(b)還可以發(fā)現(xiàn)，SIR越高，LPI曲線包絡(luò)面積更小，LPI性能越差，這是由于SIR越大，通信信號能量相對越高，被截獲的概率也就越大。

4.4 時間復(fù)雜度分析

REC波形生成算法的時間復(fù)雜度不僅影響RF標(biāo)簽應(yīng)答系統(tǒng)的復(fù)雜程度，而且影響REC系統(tǒng)的響應(yīng)延遲和嵌入通信信號的時間準(zhǔn)確度，進(jìn)而影響LPD性能。本節(jié)對EAW、WC、DP和SVD這4種波形生成算法的時間復(fù)雜度進(jìn)行考量，分析并對比SVD波形生成算法的時間復(fù)雜度性能。

對于EAW波形生成算法，其只需要進(jìn)行一次特征值分解，其算法時間復(fù)雜度可以表示為

=(())

(37)

對于WC波形生成算法，其需要進(jìn)行一次特征值分解并將非主空間矩陣∈×(-)與權(quán)值向量∈-進(jìn)行次相乘，因此其時間復(fù)雜度可以計算為

=(()+×(-))=

(()+()-)

(38)

對于DP波形生成算法，其需要進(jìn)行次特征值分解、由式(10)生成個投影矩陣、并將∈×與隨機向量∈進(jìn)行次相乘，因此其時間復(fù)雜度可以計算為

=(()+()+()·

(-))=(2()-())

(39)

對于SVD波形生成算法，其需要進(jìn)行一次奇異值分解，復(fù)雜度為

(×(2-1))=(4())

(40)

式(25)中生成個SVD波形計算復(fù)雜度為

(×(2-1)+×2)=

(4())

(41)

因此SVD波形生成算法時間復(fù)雜度為

=(4(+1)())

(42)

通常，?，因此SVD波形算法與傳統(tǒng)3種REC波形生成算法在時間復(fù)雜度上都為=(())量級，SVD算法并不會過多增加算法復(fù)雜度，RF標(biāo)簽依然可以滿足算法運算需求。

5 結(jié) 論

為了實現(xiàn)更高的通信可靠性和更低的截獲概率，本文提出了一種基于SVD的REC波形生成算法，并對SVD波形的性能進(jìn)行了仿真和分析。通過與傳統(tǒng)REC波形的對比發(fā)現(xiàn)，SVD波形相較于傳統(tǒng)的WC和DP波形具有更可靠的通信性能和更低的截獲概率，其高可靠性主要來源于波形之間的正交性，低截獲性來源于SVD波形與雷達(dá)回波總體的更高相似性。此外，雷達(dá)和通信信號頻譜局部相似性的降低也有利于減小干擾，提高可靠性。其次，SVD波形和雷達(dá)回波之間的相似性可以進(jìn)行量化計算，從而可以為波形設(shè)計提供參考。最后，相較于傳統(tǒng)REC波形生成算法，SVD波形方法并沒有增加過多算法復(fù)雜度，RF標(biāo)簽依然可以滿足其運算需求。