一種同步時(shí)鐘偏差和傳感器位置誤差存在下的TDOA定位新方法

王鼎，尹潔昕,*，高路，楊賓

1. 中國(guó)人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州 450001 2. 國(guó)家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，鄭州 450002 3. 北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京 100076

眾所周知，輻射源定位在無(wú)線通信、目標(biāo)監(jiān)測(cè)、電子對(duì)抗、導(dǎo)航遙測(cè)等工程領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景。輻射源定位觀測(cè)量涵蓋空、時(shí)、頻、能量等多域參數(shù)，其中到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)是應(yīng)用較頻繁的一類觀測(cè)量。隨著現(xiàn)代通信技術(shù)和TDOA測(cè)量技術(shù)的不斷發(fā)展，基于多個(gè)傳感器的TDOA定位技術(shù)已經(jīng)成為最為主流的輻射源定位手段之一，該類定位體制適用于寬帶信號(hào)，能夠獲得較高的定位精度。

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一系列TDOA定位方法，從計(jì)算方式上可分為參數(shù)搜索類方法、迭代類方法以及閉式類方法3大類。參數(shù)搜索類方法包括網(wǎng)格逐點(diǎn)搜索方法和重要性采樣方法等。迭代類方法包括凸優(yōu)化方法、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)迭代方法、約束總體最小二乘(Constrained Total Least Squares，CTLS)估計(jì)方法以及約束加權(quán)最小二乘(Constrained Weighted Least Squares，CWLS)估計(jì)方法等。雖然參數(shù)搜索類方法和迭代類方法的定位精度都能逼近克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)，但前者計(jì)算量比較龐大，后者大都對(duì)迭代初值較敏感，易導(dǎo)致局部收斂。相比較而言，閉式類方法具有更高的計(jì)算效率，其中包括球面內(nèi)插(Spherical-Interpolation，SI)方法、總體最小二乘(Total Least Squares,TLS)估計(jì)方法、兩步加權(quán)最小二乘(Two Step Weighted Least Squares，TSWLS)估計(jì)方法以及加權(quán)多維標(biāo)度(Weighted Multidimensional Scaling，WMDS)方法等。SI方法和TLS方法的定位性能難以達(dá)到CRLB。TSWLS方法的定位精度雖然能夠逼近CRLB，但是該方法產(chǎn)生“門(mén)限效應(yīng)”的誤差閾值相對(duì)較小，在大觀測(cè)誤差條件下的定位誤差會(huì)大幅增加。WMDS方法利用了標(biāo)量積矩陣的維度和特征結(jié)構(gòu)信息，對(duì)大觀測(cè)誤差具有更強(qiáng)的魯棒性，能夠獲得漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的定位精度，是本文研究的重點(diǎn)。

上述TDOA定位方法均假定傳感器位置精確已知，當(dāng)傳感器安放在艦載或機(jī)載平臺(tái)，又或是傳感器隨機(jī)布設(shè)時(shí)，其位置精確值通常無(wú)法獲知，其中會(huì)包含先驗(yàn)觀測(cè)誤差，該誤差會(huì)嚴(yán)重影響TDOA定位精度。為了抑制此類誤差的影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了3種方法。第1種方法將傳感器位置先驗(yàn)觀測(cè)誤差和TDOA觀測(cè)誤差同等看待，通過(guò)重新設(shè)置各類估計(jì)器中的加權(quán)矩陣來(lái)提高定位魯棒性。第2種方法將輻射源位置與傳感器位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。第3種方法利用位置精確已知的標(biāo)校源信息實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位。研究結(jié)果表明，第3種方法的定位精度最高，但需要標(biāo)校源TDOA信息，這在實(shí)際中難以獲得，而第2種方法不僅可以獲得更準(zhǔn)確的傳感器位置估計(jì)值，還比第1種方法具有更高的誤差閾值。因此本文主要針對(duì)第2種方法展開(kāi)研究。

除了TDOA觀測(cè)誤差和傳感器位置誤差外，影響TDOA定位精度的另一個(gè)因素是不同傳感器之間的同步時(shí)鐘偏差。在無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)(Wireless Sensor Network，WSN)節(jié)點(diǎn)定位領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出一系列聯(lián)合定位與時(shí)鐘同步的有效方法。在一個(gè)WSN中，錨節(jié)點(diǎn)(位置精確已知或者近似已知)與源節(jié)點(diǎn)(位置未知)之間進(jìn)行單向或者雙向通信，基于此可以建立這2類傳感節(jié)點(diǎn)位置參數(shù)與時(shí)鐘同步參數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)定位與時(shí)鐘同步的聯(lián)合處理。

在上述研究中，一些方法假設(shè)傳感器時(shí)鐘偏差完全一致(即完全同步)，另一些方法假設(shè)各個(gè)傳感器時(shí)鐘偏差互不相同(即完全不同步)。然而，這2種建模方式可能與實(shí)際情況都不相符。事實(shí)上，對(duì)于空域中廣泛分布的傳感器，若2個(gè)傳感器間距較遠(yuǎn)，在采集信號(hào)時(shí)參考的局部時(shí)鐘易出現(xiàn)差異，但是若2個(gè)傳感器間距較近，時(shí)鐘同步則容易得到滿足。對(duì)此，文獻(xiàn)[27]提出一種新的定位觀測(cè)模型，其依據(jù)傳感器之間的距離大小將傳感器分成若干組，每組傳感器共用相同時(shí)鐘偏差，但不同組之間的時(shí)鐘偏差互不相同?；谠摱ㄎ挥^測(cè)模型，文獻(xiàn)[27]還提出一種基于TSWLS原理的TDOA定位方法，該方法基于最小二乘估計(jì)框架依次給出輻射源位置、傳感器位置以及時(shí)鐘偏差的估計(jì)值。為了提高該方法在大觀測(cè)誤差條件下的定位精度，文獻(xiàn)[28]提出基于Taylor級(jí)數(shù)迭代的輻射源位置、傳感器位置以及時(shí)鐘偏差聯(lián)合估計(jì)方法，該方法發(fā)生“門(mén)限效應(yīng)”的誤差閾值更高，但需要更多計(jì)算量，并且易受迭代初始值的影響，可能出現(xiàn)迭代發(fā)散和局部收斂等問(wèn)題。

為了進(jìn)一步提高定位性能，本文在同步時(shí)鐘偏差和傳感器位置誤差同時(shí)存在下提出一種基于WMDS原理的TDOA定位方法。該方法的TDOA觀測(cè)模型借鑒文獻(xiàn)[27]中的觀測(cè)模型，但是定位方法與文獻(xiàn)[27]中的方法截然不同，其并不是基于最小二乘估計(jì)框架衍生出的，而是根據(jù)多維標(biāo)度分析原理提出的，可以提高對(duì)大觀測(cè)誤差的魯棒性。新方法首先通過(guò)構(gòu)造消元矩陣消除同步時(shí)鐘偏差的影響；然后基于WMDS原理構(gòu)建定位關(guān)系式，由此獲得輻射源位置與傳感器位置的估計(jì)值；最后利用最大似然估計(jì)準(zhǔn)則得到同步時(shí)鐘偏差的估計(jì)值。所提方法實(shí)現(xiàn)了時(shí)鐘偏差參數(shù)與位置參數(shù)的解耦合估計(jì)，可以有效抑制時(shí)鐘偏差和傳感器位置誤差的影響。最后，本文對(duì)新方法的定位精度給出理論性能分析，結(jié)果表明其對(duì)全部參數(shù)的估計(jì)精度均能逼近CRLB。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證新方法的優(yōu)越性和理論性能分析的有效性。

表1 本文使用的矩陣等式和不等式Table 1 Matrix equality and inequality used in this paper

1 定位觀測(cè)模型與問(wèn)題形成

關(guān)于輻射源RDOA的觀測(cè)模型可以表示為

(1)

(2)

式中：

(3)

其中：觀測(cè)誤差服從均值為0、協(xié)方差矩陣為的高斯分布；表示同步距離偏差向量。

由于主站位于第1組，所有RDOA觀測(cè)量均以主站為參考，因此式(1)中第1組等式對(duì)應(yīng)的同步時(shí)鐘偏差等于0。

(4)

式中：表示先驗(yàn)觀測(cè)誤差，其服從均值為0、協(xié)方差矩陣為的高斯分布，并且與誤差向量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。為了便于表述，對(duì)先驗(yàn)觀測(cè)誤差進(jìn)行分塊，即

(5)

在上述建模過(guò)程中，由于RDOA和傳感器位置均來(lái)自觀測(cè)，因此應(yīng)將RDOA觀測(cè)誤差和傳感器位置誤差建模成隨機(jī)型誤差，而同步時(shí)鐘偏差并沒(méi)有先驗(yàn)觀測(cè)，其是完全未知的參數(shù)，因此應(yīng)按照固定的系統(tǒng)偏差對(duì)其進(jìn)行建模?；谶@2類誤差模型的差異性，本文將向量和劃分成一組參數(shù)，將向量單獨(dú)作為另一組參數(shù)，并且實(shí)現(xiàn)這2組參數(shù)的解耦合估計(jì)。

2 新方法的計(jì)算原理與步驟

2.1 新方法的原理概述

針對(duì)觀測(cè)模型式(2)的代數(shù)特點(diǎn)，新方法的求解原理可概述為以下4點(diǎn)：

1) 線性消元。由于式(2)是部分線性模型，因此可以通過(guò)矩陣變換構(gòu)造矩陣的正交補(bǔ)子空間，從而消除同步距離偏差向量的影響，并形成新的降維觀測(cè)模型。

2) 多維標(biāo)度分析。消元后的觀測(cè)模型仍然具備距離差結(jié)構(gòu)形式，因此可引入多維標(biāo)度分析方法，構(gòu)造標(biāo)量積矩陣，形成定位關(guān)系式，并獲得位置估計(jì)值。

3) 信息補(bǔ)償。由于在多維標(biāo)度分析中引入了輔助變量，其與位置向量和相關(guān)，因此構(gòu)建約束優(yōu)化模型對(duì)這部分信息進(jìn)行有效補(bǔ)償，以獲得漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的定位結(jié)果。

4) 最大似然估計(jì)。在獲得位置向量和的估計(jì)結(jié)果之后，回到最初的最大似然估計(jì)模型中對(duì)線性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以實(shí)現(xiàn)多類型參數(shù)的解耦合估計(jì)。

基于上述原理概述，本文將新方法的計(jì)算過(guò)程劃分成3個(gè)階段(分別稱為階段a、階段b以及階段c)，圖1描述了其總體技術(shù)路線。

下面依次闡述每個(gè)階段的計(jì)算原理，并最終給出全部計(jì)算步驟。

圖1 本文新方法的總體技術(shù)路線示意圖Fig.1 Schematic diagram of overall technical route of new method proposed in this paper

2.2 階段a的計(jì)算原理

階段a首先構(gòu)建消元矩陣以消除同步時(shí)鐘偏差的影響；接著針對(duì)每一組傳感器構(gòu)造標(biāo)量積矩陣，并利用標(biāo)量積矩陣的性質(zhì)形成定位關(guān)系式；然后通過(guò)一階誤差分析方法推導(dǎo)定位關(guān)系式中的誤差協(xié)方差矩陣，用于確定加權(quán)矩陣；最后基于定位關(guān)系式和加權(quán)矩陣同時(shí)獲得輻射源位置與傳感器位置的估計(jì)值。

2.2.1 構(gòu)建消元矩陣

式(2)是關(guān)于向量的線性觀測(cè)模型，可利用消元矩陣消除其影響，根據(jù)矩陣的結(jié)構(gòu)可將消元矩陣寫(xiě)為

=blkdiag(,,…,)∈(-)×(-1)

(6)

(7)

式中：=(,)；=。顯然，觀測(cè)誤差服從均值為0、協(xié)方差矩陣為=的高斯分布。

(8)

式中:=()。式(8)的證明見(jiàn)附錄B，該式對(duì)于本文的理論性能分析至關(guān)重要。

為了便于描述，進(jìn)行向量分塊

(9)

結(jié)合式(7)和式(9)可得

1≤≤

(10)

式中:

其中：

由于向量仍具有距離差的結(jié)構(gòu)形式，因此利用多維標(biāo)度分析方法對(duì)向量和進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。

2.2.2 構(gòu)造標(biāo)量積矩陣及定位關(guān)系式

在多維標(biāo)度分析中需要構(gòu)造標(biāo)量積矩陣，文中的定位場(chǎng)景包含組傳感器，因此應(yīng)構(gòu)造個(gè)標(biāo)量積矩陣。借鑒文獻(xiàn)[11,17]中的WMDS定位方法，這里針對(duì)第組傳感器，首先定義復(fù)坐標(biāo)向量

(11)

式中：j表示虛數(shù)單位，其滿足j=-1;1=0。利用復(fù)坐標(biāo)向量進(jìn)一步定義復(fù)坐標(biāo)矩陣

(12)

(13)

由式(13)可知，針對(duì)組傳感器構(gòu)造了個(gè)標(biāo)量積矩陣{}1≤≤，利用它們可以建立定位關(guān)系式，首先有結(jié)論1。

分別定義實(shí)向量和實(shí)矩陣

(14)

(15)

×11≤≤

(16)

結(jié)論1的證明見(jiàn)附錄C。基于結(jié)論1不妨定義矩陣

(17)

將式(17)代入式(16)中，并且由向量的定義可知

1≤≤

(18)

將式(18)中的個(gè)等式進(jìn)行合并可得

(19)

式中：

(20)

式(19)為最終獲得的定位關(guān)系式，利用式(19)可以構(gòu)建輻射源定位準(zhǔn)則。

注意到式(7)中包含-個(gè)觀測(cè)方程，但是式(19)中卻包含個(gè)觀測(cè)方程，這意味著式(19)是有冗余的，這種冗余性易導(dǎo)致誤差協(xié)方差矩陣出現(xiàn)秩虧損現(xiàn)象，文獻(xiàn)[11]提出利用正則化技術(shù)使其恢復(fù)為滿秩矩陣，但這僅僅是一種近似處理方式，本文提出利用矩陣正交變換使誤差協(xié)方差矩陣恢復(fù)為滿秩矩陣，并且通過(guò)理論性能分析證明這種處理方式能夠獲得漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)精度。

2.2.3 一階誤差擾動(dòng)分析

(21)

(22)

(23)

(24)

基于式(19)可以定義誤差向量為

(25)

(26)

式中:

(27)

(28)

利用誤差矩陣Δ的表達(dá)式可以將式(28)右邊第1項(xiàng)寫(xiě)成關(guān)于觀測(cè)誤差和的線性函數(shù)，即

(29)

式中：

其中：

(30)

(31)

(32)

式(29)的證明見(jiàn)附錄E。基于誤差矩陣Δ的表達(dá)式可以將式(28)右邊第2項(xiàng)寫(xiě)成關(guān)于觀測(cè)誤差和的線性函數(shù)，即

(33)

式中:

其中:

(34)

(35)

(36)

式(33)的證明見(jiàn)附錄F。

()=()≈()+

()

(37)

在注釋5中指出，由于定位關(guān)系式存在冗余性，易導(dǎo)致協(xié)方差矩陣()出現(xiàn)秩虧損現(xiàn)象，因而無(wú)法對(duì)該矩陣直接進(jìn)行求逆運(yùn)算，下面提出利用矩陣正交變換技術(shù)解決該問(wèn)題。

首先對(duì)矩陣進(jìn)行分解可得

(38)

(39)

由式(39)可知，誤差向量的協(xié)方差矩陣為

(40)

2.2.4 估計(jì)準(zhǔn)則及其最優(yōu)估計(jì)值

(41)

式中:

(42)

基于式(41)可以獲得階段a中的估計(jì)準(zhǔn)則，即

(43)

式中:

()=

(44)

式(43)中的(())可以看成是加權(quán)矩陣，其作用在于抑制觀測(cè)誤差和的影響，式(43) 的最優(yōu)估計(jì)值為

(45)

(46)

(47)

2.2.5 理論性能分析

(48)

(49)

將式(42)中的第2式和式(49)代入式(48)中可得

(50)

式中

(51)

(52)

2.3 階段b的計(jì)算原理

向量中的元素間存在約束關(guān)系，該約束關(guān)系會(huì)使得誤差向量Δ服從等式約束。階段b首先基于多維標(biāo)度分析中引入的輔助變量，構(gòu)建關(guān)于誤差向量Δ的約束優(yōu)化模型，然后基于此模型對(duì)誤差向量Δ進(jìn)行估計(jì)，最后利用其估計(jì)值對(duì)階段a中的定位結(jié)果進(jìn)行更新，以獲得漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的估計(jì)結(jié)果。

首先推導(dǎo)誤差向量Δ所服從的等式約束。由向量中的第3+個(gè)元素的定義可知

1≤≤

(53)

1≤≤

(54)

將式(54)中的個(gè)等式進(jìn)行合并，可以得到關(guān)于誤差向量Δ的線性等式，即

(55)

式中:

(56)

式(55)為誤差向量Δ所應(yīng)滿足的等式約束，其是線性等式約束。根據(jù)誤差向量Δ所服從的高斯分布特性，可以建立估計(jì)誤差向量Δ的約束優(yōu)化模型，即

(57)

利用拉格朗日乘子技術(shù)可知，式(57)的最優(yōu)估計(jì)值為

(58)

聯(lián)合式(47)和式(58)可以得到誤差向量Δ和Δ的估計(jì)值分別為

(59)

于是輻射源位置向量和傳感器位置向量在階段b的估計(jì)結(jié)果為

(60)

2.4 階段c的計(jì)算原理與新方法的計(jì)算步驟

(61)

式(61)是關(guān)于向量的二次優(yōu)化問(wèn)題，其估計(jì)值可以表示為

(62)

結(jié)合階段a～階段c中的描述，下面總結(jié)新方法的計(jì)算步驟，如圖2所示。

圖2 本文新方法的計(jì)算流程圖Fig.2 Computational flow chart of new method proposed in this paper

下面針對(duì)圖2中描述的定位方法給出2點(diǎn)注釋：

階段a中的循環(huán)計(jì)算主要用于更新加權(quán)矩陣(())，以提高對(duì)大觀測(cè)誤差的穩(wěn)健性，其每次循環(huán)中無(wú)需設(shè)置迭代步長(zhǎng)和收斂準(zhǔn)則，并且循環(huán)次數(shù)是確定的。事實(shí)上，現(xiàn)有定位方法很多都需要通過(guò)循環(huán)計(jì)算來(lái)更新加權(quán)矩陣，以提高定位方法在大觀測(cè)誤差條件下的性能。

新方法的第1步通過(guò)消元矩陣消除了同步距離偏差向量的影響，從而實(shí)現(xiàn)了該向量與位置向量和的解耦合估計(jì)。采用這種求解方式的原因在于：① 只有首先在觀測(cè)模型中消除向量的影響，才能利用多維標(biāo)度分析方法對(duì)輻射源位置和傳感器位置進(jìn)行估計(jì)；② 解耦合估計(jì)方法比多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)方法的計(jì)算復(fù)雜度更低，在求解過(guò)程中可以避免多參數(shù)之間的相互影響，具有更高的穩(wěn)健性。

3 新方法的理論性能分析

3.1 估計(jì)值的均方誤差及其漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性分析

3.1.1 估計(jì)均方誤差

首先將式(57)中的等式約束代入式(58)中可得

(63)

(64)

(65)

3.1.2 漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性分析

(66)

首先結(jié)合式(65)和表1第4個(gè)矩陣等式可得

(67)

(68)

于是有

(69)

由此可知

(70)

將式(70)代入式(67)中，并且利用表1第3個(gè)矩陣等式可得

(71)

基于結(jié)論3還可以進(jìn)一步得到結(jié)論4。

首先結(jié)合式(50)和式(66)可得

(72)

將式(51)代入式(72)中的各個(gè)子矩陣塊中，并且利用式(G3)和式(G4)可知

((,))()(,)

(73)

((,))()(,)

(74)

((,))()(,)+()

(75)

將式(73)～式(75)代入式(72)中，并且結(jié)合式(8)可知結(jié)論4成立。證畢。

3.2 估計(jì)值的均方誤差及其漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性分析

3.2.1 估計(jì)均方誤差

首先將式(2)代入式(62)中可得

(-(,)Δ-(,)Δ)?Δ=

(76)

(())+(())()·

()(())--

(77)

式中：

=(())()·

()(())

(78)

3.2.2 漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性分析

在一階誤差分析理論框架下，滿足=(-1)×(-1)。

首先根據(jù)線性參數(shù)估計(jì)理論和式(48)可得

Δ≈-((()))(())=

(79)

然后結(jié)合式(60)和式(63)可知

(80)

將式(39)和式(79)代入式(80)中，并且利用關(guān)系式=可得

(81)

由式(81)可知

(82)

式中第2個(gè)等號(hào)利用了關(guān)系式=(-)×(-1)。最后將式(82)代入式(78)中可得=(-1)×(-1)。證畢。

將=(-1)×(-1)代入式(77)中，并且結(jié)合式(A3)和結(jié)論4可知

(())()·

()

(83)

由于最大似然估計(jì)器同樣具有漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性，因此這里有必要討論文中的新方法與最大似然估計(jì)方法之間的關(guān)系。首先，階段c中向量的估計(jì)值正是基于最大似然估計(jì)準(zhǔn)則所獲得的。其次，向量和的估計(jì)值并不是直接由最大似然估計(jì)準(zhǔn)則所產(chǎn)生，而是通過(guò)對(duì)原觀測(cè)模型進(jìn)行變換處理后所獲得。根據(jù)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理理論可知，對(duì)原始觀測(cè)量進(jìn)行代數(shù)變換后，在不損失觀測(cè)信息并且合理設(shè)置加權(quán)矩陣的條件下，能夠得到與最大似然等價(jià)的估計(jì)結(jié)果，這正是本文所采取的處理方式。因此，文中的新方法可以看成是最大似然估計(jì)方法的一種近似實(shí)現(xiàn)方式。另一方面，由于原觀測(cè)模型式(2)的非線性特征，2種方法的理論性能分析中都不可避免需要進(jìn)行一階近似，當(dāng)“門(mén)限效應(yīng)”尚未產(chǎn)生時(shí)，一階近似誤差是可以忽略的，但是當(dāng)“門(mén)限效應(yīng)”產(chǎn)生時(shí)，一階近似誤差的影響就會(huì)逐漸顯現(xiàn)，但何時(shí)產(chǎn)生“門(mén)限效應(yīng)”尚無(wú)完備的理論支撐，每種方法的主要區(qū)別在于產(chǎn)生“門(mén)限效應(yīng)”時(shí)的誤差閾值大小。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

表2 傳感器3維位置坐標(biāo)Table 2 3D position coordinate of sensors

將輻射源位置向量設(shè)為=[6 000, 6 000, 6 000]m，將同步距離偏差向量設(shè)為=[0, 50, 70]m，并令20lg()=0 dBm和20lg=5 dBm，下面利用文中的新方法對(duì)輻射源進(jìn)行定位，并且進(jìn)行5 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，圖3給出了輻射源定位結(jié)果散點(diǎn)圖與定位誤差橢圓曲線，圖中的橢圓曲線是利用文獻(xiàn)[31]中的方法計(jì)算所得。

從圖3中可以看出，定位結(jié)果散點(diǎn)圖形狀與定位誤差橢圓形狀一致，并且大概率對(duì)應(yīng)大面積橢圓，小概率對(duì)應(yīng)小面積橢圓，驗(yàn)證了新方法的有效性。

圖3 輻射源定位結(jié)果散點(diǎn)圖與定位誤差橢圓曲線Fig.3 Scatter diagram of emitter location result and ellipse curve of location error

這里將本文新方法與文獻(xiàn)[17]中的WMDS定位方法、文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法以及文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法(實(shí)質(zhì)上就是最大似然估計(jì)方法)進(jìn)行比較，用于驗(yàn)證新方法的優(yōu)越性。需要指出的是，文獻(xiàn)[17]中的WMDS定位方法并未考慮同步時(shí)鐘偏差的影響，而且該方法僅給出了輻射源位置估計(jì)結(jié)果，所以無(wú)法與其比較傳感器位置和同步距離偏差的估計(jì)精度。此外，與新方法相類似，文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法和文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法也具有漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性，因此需要在大觀測(cè)誤差條件下比較參數(shù)估計(jì)精度。將輻射源位置向量設(shè)為=[8 600, 9 200, 8 500]m，將同步距離偏差向量設(shè)為=[0, 150, 180]m，首先令20lg=20 dBm，圖4分別給出了輻射源位置、傳感器位置以及同步距離偏差估計(jì)均方根誤差隨著參數(shù)的變化曲線；然后令20lg=15 dBm，圖5分別給出了輻射源位置、傳感器位置以及同步距離偏差估計(jì)均方根誤差隨著參數(shù)的變化曲線。

從圖4和圖5中可以看出：① 新方法的定位精度明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[17]中的WMDS定位方法，這是因?yàn)楹笳卟⑽纯紤]同步時(shí)鐘偏差的影響，而同步時(shí)鐘偏差屬于系統(tǒng)偏差，當(dāng)該偏差出現(xiàn)時(shí)會(huì)使得文獻(xiàn)[17]中的定位觀測(cè)模型失配，從而使其定位方法變成有偏估計(jì)方法，并最終導(dǎo)致估計(jì)性能急劇下降，甚至失效；② 在大觀測(cè)誤差情形下,新方法的估計(jì)精度高于文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法，前者產(chǎn)生“門(mén)限效應(yīng)”的誤差閾值更高，這正是多維標(biāo)度分析方法所帶來(lái)的性能增益；③ 當(dāng)文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法取隨機(jī)值作為迭代初始值時(shí)，其在大觀測(cè)誤差情形下的估計(jì)誤差要明顯大于新方法，這里的隨機(jī)值是指在真實(shí)值的基礎(chǔ)上疊加一定的高斯隨機(jī)誤差；④ 當(dāng)文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法取真實(shí)值作為迭代初始值時(shí)，其估計(jì)精度與新方法接近，但是將真實(shí)值作為迭代初始值在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)，而新方法并不存在此問(wèn)題，并且計(jì)算復(fù)雜度更低(見(jiàn)表3)；⑤ 新方法的參數(shù)估計(jì)均方根誤差能夠逼近相應(yīng)的CRLB，從而驗(yàn)證第4節(jié)理論性能分析的有效性。

圖4 輻射源位置、傳感器位置和同步距離偏差的估計(jì)均方根誤差隨參數(shù)σ1的變化曲線Fig.4 Curves of RMSE of emitter position, sensor position and synchronization distance bias estimation as a function of σ1

本節(jié)的最后將文中的新方法與文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法以及文獻(xiàn)[28]中的定位迭代方法的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較，用于間接說(shuō)明3種定位方法的計(jì)算復(fù)雜度。仿真軟件為MATLAB R2020a，仿真程序在安裝有i7-3520 CPU的PC機(jī)上運(yùn)行，令20lg=15 dBm和20lg=20 dBm，其余條件不變，并進(jìn)行5 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。表3給出了3種定位方法的平均運(yùn)行時(shí)間。從表3中可以看出，新方法的計(jì)算復(fù)雜度略高于文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法，但是明顯低于文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法。

圖5 輻射源位置、傳感器位置和同步距離偏差估計(jì)均方根誤差隨參數(shù)σ2的變化曲線Fig.5 Curves of RMSE of emitter position, sensor position and synchronization distance bias estimation as a function of σ2

表3 3種定位方法的平均運(yùn)行時(shí)間Table 3 Average running time of three localization methods

5 結(jié) 論

本文在同步時(shí)鐘偏差和傳感器位置誤差同時(shí)存在的條件下研究了TDOA定位問(wèn)題，主要結(jié)論包括：

1) 提出了一種基于加權(quán)多維標(biāo)度分析的TDOA定位新方法，并利用一階誤差性能分析方法推導(dǎo)了新方法的參數(shù)估計(jì)性能，證明了其估計(jì)性能能夠漸近逼近CRLB。

2) 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新方法的有效性和漸近統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性。

3) 新方法的性能與初始值為真實(shí)值的迭代方法接近(以文獻(xiàn)[28]中的迭代定位方法為比較對(duì)象)，相比于文獻(xiàn)[27]中的閉式定位方法，其產(chǎn)生“門(mén)限效應(yīng)”的誤差閾值更高，對(duì)于大觀測(cè)誤差具有更強(qiáng)的魯棒性。