中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索

朱滿華

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的起點，是進行邏輯推理和運算的保證。對概念的理解模糊不清，就會出現(xiàn)運算不靈、邏輯推理錯誤的現(xiàn)象。例如，在“實數(shù)的平方根”這個概念的教學(xué)中，學(xué)生沒有真正理解 “實數(shù)的平方根” 的概念，很容易出現(xiàn) 16 的平方根表示為或的錯誤，一旦學(xué)生對此概念的錯誤理解未能得到有效的糾正，他們將會在以后的學(xué)習(xí)中延續(xù)同樣的錯誤。因此，我們要重視中學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)概念教學(xué)

概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦中抽象、概括的反映。一個概念的形成過程通常是按感覺—知覺—表象—概念的過程。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特征在思維中的反映。數(shù)學(xué)概念的形成也要通過人的感官形成感覺、知覺，通過大腦加工—比較、分析、綜合、概括—形成。因此完成一個概念的教學(xué)，不能平鋪直敘，或簡單地要求學(xué)生死記條文、定義，而是讓學(xué)生了解概念的來龍去脈，理解概念，才能使他們做到學(xué)以致用。這就要求老師必須根據(jù)概念的特點和學(xué)生的知識水平，認真設(shè)計概念的引入，明確其定義，然后深化概念的理解，最后還要加強概念的鞏固。

一、認真設(shè)計概念的引入，明確其定義

概念在其形成的過程中逐漸明朗化。任何一個概念的產(chǎn)生都有它的實際過程，在概念的形成過程中，認識它的必要性和合理性，可以達到理解概念訓(xùn)練思維的目的。

1. 提供數(shù)學(xué)模型，通過觀察、比較、分析、歸納概念的定義

（1）通過對實例的比較、分析、歸納概念的定義

中學(xué)數(shù)學(xué)概念中，如映射、等差數(shù)列、等比數(shù)列等，都是從實例中歸納總結(jié)出來的。如在新教材（第一冊（下））里學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”時，先列出三個數(shù)列：

讓學(xué)生觀察數(shù)列①②與數(shù)列③的異同之處，學(xué)生很容易得出這樣的結(jié)論：對于①和②兩個數(shù)列，從第二項起，每一項與前一項的比都是一個不為零的常數(shù)。由此，我們很容易導(dǎo)出等比數(shù)列的概念。通過對比，學(xué)生可很快掌握等比數(shù)列的概念和本質(zhì)屬性。

（2）通過觀察圖形，引出概念，歸納其定義

在教學(xué)過程中，有些概念是可以結(jié)合圖形進行闡述的。如在講授函數(shù)的單調(diào)性時，可先呈獻如下兩圖。引導(dǎo)學(xué)生觀察兩圖中的相同點和不同點。學(xué)生容易得出這樣的結(jié)論： ①兩個函數(shù)圖象都是連續(xù)的，因而這兩個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。②圖1從左至右是下降的圖象，y隨x的增大而減少；圖2從左至右是上升的圖象，y隨x的增大而增大。

2. 提出問題，引導(dǎo)探究，得出定義

第一，提出問題，通過實驗操作進行探究。如在高二解析幾何橢圓的概念教學(xué)中，先提出“到兩個定點的距離之和等于定長的軌跡是什么？”根據(jù)此問題，可讓學(xué)生準備一根無彈性的繩子和圓規(guī)，引導(dǎo)學(xué)生按繩子長分別小于、等于、大于兩定點距離三種情況，進行畫圖，學(xué)生容易得到繩子長小于兩定點距離時不能作圖即沒有軌跡，等于時軌跡是兩點間的線段、大于時軌跡是一個橢圓，從而得出橢圓定義。

第二，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展需要，提出問題，得出定義。如在實數(shù)范圍內(nèi)方程x2+1=0的解是什么？學(xué)生顯然很容易知道此方程沒有實數(shù)解，為了使它有解，就引入一個新數(shù)i，i滿足x2=-1，它和實數(shù)在一起可以按四則運算法則進行運算，由此引入復(fù)數(shù)的概念，于是方程x2+1=0就有解了。

二、充分揭示概念的內(nèi)涵和外延，深化概念的理解

第一，用集合的觀點闡明概念間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻揭示概念的內(nèi)涵和外延，從而深化概念的理解。例如數(shù)的概念中，從自然數(shù)到有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、再到復(fù)數(shù)，構(gòu)成了復(fù)數(shù)這一完整的整體?？梢粤幸粋€數(shù)系圖如下。

第二，抓住概念的本質(zhì)特征，從概念的內(nèi)涵和外延上作深入的剖析，從而深化概念的理解。如三角函數(shù) ，可這樣揭示正弦函數(shù)的值的本質(zhì)是一個“比值”，它是α終邊上任一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，由于y≤r，因此是一個不超過1的數(shù)值；這個比值與點在角的終邊上的位置無關(guān)，這個比值的大小隨的變化而變化，當(dāng)α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與它對應(yīng)。如此以函數(shù)為基本線索，從中找出自變量、函數(shù)以及對應(yīng)法則，從而對正弦函數(shù)理解就比較深刻了。經(jīng)這內(nèi)涵分析后，指出角的終邊上任意一點P（x、y）一經(jīng)確定，就涉及x、y、r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且只有六個，因此基本三角函數(shù)只有六個。這樣對三角函數(shù)的外延就揭示得十分清楚了，從而對三角函數(shù)的概念有一個既有“質(zhì)”又有“量”的完整統(tǒng)一的認識和理解。

第三，充分利用圖形，使抽象的概念直觀化、具體化，深刻揭示概念的內(nèi)涵和外延，從而深化概念的理解。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，通過揭示概念的形狀與其意義之間的聯(lián)系，使學(xué)生加深對概念的理解和掌握。因此，在教學(xué)中應(yīng)特別重視數(shù)學(xué)概念幾何意義的揭示，數(shù)學(xué)概念的幾何意義對概念作出了直觀的解釋，它使概念更直觀、更易于理解。在高中數(shù)學(xué)教材中有許多概念，如橢圓、雙曲線、拋物線的概念，熟悉圖形可得出焦點、準線、對稱軸、中心、離心率、長短軸、實虛軸以及漸近線等概念，對加深理解概念的性質(zhì)與記憶概念很有幫助。

三、加強概念的鞏固

心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固的主要手段是應(yīng)用和歸納總結(jié)。

1. 在應(yīng)用中鞏固概念

我們選擇習(xí)題時，可選具有概念性、典型性的。如學(xué)習(xí)了反函數(shù)有關(guān)概念之后，設(shè)函數(shù) ，求f -1（2）的值。一般的思路是先求出反函數(shù)f -1（x），再求f -1（2）的值。但是如果直接應(yīng)用反函數(shù)的概念，所求f -1（2）的值就是原函數(shù)f （x）函數(shù)值等于2時所對應(yīng)的自變量的值，即方程 的解，這樣就比一般的思路快捷多了。

2.歸納總結(jié)，加強概念的鞏固

在某些章節(jié)講完之后，老師可以引導(dǎo)學(xué)生進行歸納總結(jié)，以鞏固對概念的理解。例如：在講完圓錐曲線這一章后，可把有關(guān)的圖形和性質(zhì)，根據(jù)它們的內(nèi)在聯(lián)系，列成一個完整的知識表，具體如下。

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，提高認知水平，培養(yǎng)思維能力有重要意義。教學(xué)時，輔以靈活多樣的教法使學(xué)生牢固掌握概念的實質(zhì)及概念彼此間的聯(lián)系與區(qū)別，理清概念的脈絡(luò)和體系。

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