電熔鎂砂熔煉過程電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制

富 月 李 寶

電熔鎂砂熔煉過程如圖1 所示,首先,將菱鎂礦石運送至原礦倉,然后,經(jīng)電振給料機將菱鎂礦石加入電熔鎂爐中,通過供電系統(tǒng)供電,使A、B 和C 三相電極末端產(chǎn)生電弧,菱鎂礦石吸收電弧放出的熱量融化,形成熔池.電流控制系統(tǒng)通過產(chǎn)生電流以控制電機,使三相電極上下移動,進而使三相電極電流跟蹤其設(shè)定值,隨著菱鎂礦石的不斷加入以及不斷融化,熔池液面的高度不斷上升,當(dāng)熔池的上表面達到爐口時,熔煉過程結(jié)束.最后,使用工具車將電熔鎂爐的爐體脫離熔煉工位,進行冷卻和處理,從而獲得電熔鎂砂產(chǎn)品[1].

圖1 電熔鎂砂熔煉過程Fig.1 Fused magnesia smelting process

電熔鎂砂熔煉過程以三相電機轉(zhuǎn)動方向與頻率為輸入,以三相電極電流為輸出,采用埋弧方式,即將三相電極埋入原礦中,邊熔化邊加料,具有工藝機理復(fù)雜、關(guān)鍵參數(shù)不能測量、受原料成分和生產(chǎn)條件等不確定因素干擾、熔煉過程動態(tài)變化等綜合復(fù)雜性.針對電熔鎂砂熔煉過程,文獻[1]根據(jù)能量守恒定律,建立了電極電流動態(tài)模型.

該模型是一類具有未知參數(shù)的仿射型離散時間非線性模型,針對該類模型,從上個世紀(jì)90 年代開始,隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯等智能工具的引入,很多學(xué)者開展了相關(guān)控制方法的研究.文獻[2?3]為最早將多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯引入到離散時間非線性仿射系統(tǒng)控制問題的文獻.在此基礎(chǔ)上,文獻[4] 基于一定的假設(shè)條件,提出了新的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法,并給出了收斂性結(jié)果;文獻[5?6]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃的近似最優(yōu)控制方法;文獻[7]提出了基于單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限水平單網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法;文獻[8]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間最優(yōu)控制方法;文獻[9] 提出了一種新穎的非策略交錯式Q 學(xué)習(xí)算法,并證明了收斂性;文獻[10?11]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的容錯控制方法;文獻[12?13]提出了自適應(yīng)模糊控制方法;文獻[14]利用兩種模糊規(guī)則仿真網(wǎng)絡(luò)建立系統(tǒng)動態(tài)模型,提出了一種自適應(yīng)控制方法;文獻[15]利用直接補償法,提出了一種多開關(guān)自適應(yīng)線性化模糊控制算法,用于延遲非嚴(yán)格反饋系統(tǒng),等等.上述基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯的非線性控制方法,算法復(fù)雜,很難在電熔鎂爐等復(fù)雜的工業(yè)過程中進行實際應(yīng)用.為了實現(xiàn)電熔鎂爐的自動控制,文獻[1]設(shè)計了帶輸出補償?shù)腜ID 控制方法.該方法根據(jù)電熔鎂砂熔煉過程電極電流對象模型,首先將其在平衡點附近線性化,得到由線性模型和未知高階非線性項組成的控制器設(shè)計模型,然后根據(jù)該控制器設(shè)計模型設(shè)計帶輸出補償?shù)腜ID 控制器,最后用一步最優(yōu)前饋控制律和一步最優(yōu)調(diào)節(jié)律設(shè)計控制器參數(shù).由于沒有考慮實際電機轉(zhuǎn)動頻率的約束,并且控制器設(shè)計模型和對象模型之間具有較大的誤差,使得電流跟蹤其設(shè)定值的誤差較大.

本文通過引入中間變量并轉(zhuǎn)化控制目標(biāo),將電熔鎂砂熔煉過程三相電極電流的復(fù)雜非線性控制問題簡化為線性控制問題,提出了一種簡化的電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制方法.“一步最優(yōu)控制”與“一步預(yù)報”相對應(yīng),基于“一步預(yù)報”的控制即為“一步最優(yōu)控制”[16].經(jīng)典的一步最優(yōu)控制算法不能應(yīng)用于具有飽和約束并且存在外部干擾的實際非線性過程.本文通過引入拉格朗日乘子向量和松弛向量驗證了該方法的最優(yōu)性.此外,當(dāng)考慮電熔鎂砂熔煉過程中存在的不可測外部干擾時,在上述簡化的電極電流飽和約束算法的基礎(chǔ)上設(shè)計了高階干擾觀測器,提出了具有高階干擾觀測器的簡化算法.

本文的主要創(chuàng)新點如下:

1) 針對電熔鎂砂熔煉過程三相電極電流的復(fù)雜非線性控制問題,通過引入中間變量并轉(zhuǎn)化控制目標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為線性控制問題;

2) 通過引入拉格朗日乘子向量和松弛向量,提出了一種簡化的電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制方法,解決了電熔鎂砂熔煉過程中電極電流的飽和約束控制問題;

3) 設(shè)計高階干擾觀測器,提出了基于高階干擾觀測器的飽和約束一步最優(yōu)控制方法,解決了電熔鎂砂熔煉過程中存在不可測干擾的電極電流飽和約束控制問題.

1 控制問題描述及控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化

針對電熔鎂砂熔煉過程,文獻[1]根據(jù)能量守恒定律,建立了如下電極電流動態(tài)模型:

采用歐拉法對模型(1) 進行離散化[17],由于Fi(·)和Qi(·) 隨時間變化緩慢,因此可假設(shè)其為常數(shù),由此產(chǎn)生的建模誤差由電流的變化率 ?yi(k) 來補償,故式(1)的離散化模型可表示為式(2)[1]:

其中,σt=1 s為采樣時間,?=1?z?1,z?1為單位后移算子.

電熔鎂砂熔煉過程中電極電流動態(tài)模型的輸入變量ui(k),即三相電機轉(zhuǎn)動方向和頻率在實際運行過程中會受到執(zhí)行器的飽和約束.本文的目標(biāo)為針對電熔鎂砂熔煉過程電極電流動態(tài)模型(2),設(shè)計飽和約束一步最優(yōu)控制器,使得電極電流跟蹤其設(shè)定值,并且控制器輸出滿足飽和約束,即|ui(k)|≤m,其中m>0 為電機轉(zhuǎn)動方向與頻率的上界,并且已知.不失一般性,首先針對式(2),做如下假設(shè):

表1 電極電流動態(tài)模型中參數(shù)的符號及物理意義Table 1 Symbols and meanings of parameters in dynamic model of electrode current

假設(shè) 1.系統(tǒng)輸出電極電流yi(k)0.

式(2)為仿射型非線性模型,通過觀察,我們發(fā)現(xiàn)將式(2)等號左右兩邊同時除以,經(jīng)過整理可以得到:

2 飽和約束一步最優(yōu)控制

針對式(4),為了實現(xiàn)系統(tǒng)輸出漸近跟蹤其設(shè)定值,盡可能降低控制輸入幅值,使其滿足飽和約束,同時消除ai對系統(tǒng)輸出的影響,現(xiàn)引入一步超前最優(yōu)性能指標(biāo):

其中,P(z?1)、R(z?1)、Q(z?1)和S(z?1) 為加權(quán)多項式.P(z?1)和Q(z?1) 的選擇保證了閉環(huán)系統(tǒng)在輸入飽和約束下的穩(wěn)定性,通過選擇R(z?1) 來消除跟蹤誤差,通過選擇S(z?1) 實現(xiàn)對ai的靜態(tài)補償.為了表述方便,我們令其中求解飽和約束一步最優(yōu)控制律,就是求解如下帶不等式約束的條件極值問題:

采用拉格朗日松弛法,通過引入拉格朗日乘子參數(shù)α ≥0和β ≥0 以及松弛參數(shù)μ和v,將條件極值問題轉(zhuǎn)化為如下不帶約束的極值問題:

其中,J′=J+α[ui(k)?m+μ2]+β[?ui(k)?m+v2] .

定理 1.飽和約束一步最優(yōu)控制律為:

其中,D=Fbi+Q0,通過下式計算:

證明.引入Diophantine 方程:

其中,F為常數(shù),G(z?1) 為1 階多項式.用F乘以式(4)等號左右兩邊,并利用式(10),可以得到:

于是由式(7)和式(11)得J′對ui(k) 的偏導(dǎo)為:

令D=Fbi+Q0,并將式(11)代入式(12),則

J′對α、β、μ和v的偏導(dǎo)分別為:

令式(13a)～ (13e)為零,則可以得到:

證明.考慮如下兩種情況:

為了實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)跟蹤,由式(15a)可知,需要選擇S(z?1),使Q(z?1)?S(z?1)bi=0,并選擇R(z?1)使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益為1.

由式(15a)可知,為了使輸出xi(k) 能夠穩(wěn)定跟蹤設(shè)定值,多項式S(z?1) 和R(z?1) 必須滿足:

當(dāng)系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時,式(15a)可以寫為:

注 1.不難看出,控制器(8)實際上是飽和約束控制的解析形式.控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示.可以看出,該控制系統(tǒng)由常規(guī)控制器、飽和約束控制器及被控對象三部分構(gòu)成,其中常規(guī)控制器由前饋控制和反饋控制兩部分組成,飽和約束控制器由拉格朗日乘子向量和飽和約束組成,反饋信號為虛擬變量 .xi(k)

圖2 飽和約束一步最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of one-step optimal control with saturation constraint

3 基于高階干擾觀測器的飽和約束一步最優(yōu)控制

在電熔鎂砂熔煉過程中,通常會受到原料成分和生產(chǎn)條件等不確定性的外部干擾影響,導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差.當(dāng)考慮不可測外部干擾di(k) 時,經(jīng)過整理可以得到與式(4)相對應(yīng)的電熔鎂砂熔煉過程對象模型如下:

其中,N為正整數(shù),是高階干擾觀測器的階次,為k時刻系統(tǒng)的干擾估計,為k時刻系統(tǒng)的輸出估計,Lj ∈R 是常數(shù),其中j=0,1,2,···,N,

假設(shè)2.未知干擾di(k) 有界,并且其變化率滿足?di(k)<1.

定理 3.若假設(shè)2 成立,并且存在常數(shù)Lj,j=0,1,2,···,N,使得對于任意的|z|>1,不等式則對于任意小的正數(shù)ε>0,存在正整數(shù)N0,當(dāng)N>N0時,干擾估計誤差其中,E

證明.對于任意k時刻的干擾di(k),可以將其擴展為:

將式(19)和式(18a)相減,整理,可以得到:

由式(17)和式(18b)可以得到:

將式(21)代入式(20),可以得到:

令E(z?1)=1+?+···+?N,T(z?1)=L0+L1?+···+LN?N,則式(22)可寫為:

根據(jù)第2 節(jié)飽和約束一步最優(yōu)控制設(shè)計過程可以得到基于高階干擾觀測器的飽和約束一步最優(yōu)控制方程為:

4 仿真驗證

4.1 飽和約束一步最優(yōu)控制仿真

與文獻[1]相同,以A相電極為例,在式(25)上疊加如圖3 所示的均值為0,方差為的隨機噪聲信號,并且將其作為對象仿真模型.

圖3 隨機噪聲信號Fig.3 Random noise signal

其中,a1=?7.4099×10?5,b1=?2.4453×10?3.分別采用本文提出的飽和約束一步最優(yōu)控制方法、文獻[1]所描述的帶輸出補償?shù)腜ID 控制方法以及文獻[21]所描述的數(shù)據(jù)驅(qū)動PID 控制方法,進行對比仿真實驗.

與文獻[1]相同,我們的控制目標(biāo)為:

首先采用本文提出的飽和約束一步最優(yōu)控制方法進行仿真實驗.選擇根據(jù)式(10)、式(16a)和式(16b)可以得到A 相電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制器的參數(shù)如下:

得到如圖4 所示的A 相電極電流輸出曲線.

圖4 采用本文控制方法時A 相電極電流y1Fig.4 A-phase electrode current y1 using the control method in this paper

然后將文獻[1]所述的帶輸出補償?shù)腜ID 控制方法應(yīng)用到式(25),得到如圖5 所示的A 相電極電流輸出曲線.

圖5 采用文獻[1]控制方法時A 相電極電流y1Fig.5 A-phase electrode current y1 using the control method in [1]

最后采用文獻[21]所述的數(shù)據(jù)驅(qū)動PID 控制方法進行仿真實驗.針對式(25),設(shè)計如下控制器:其中,KP(k)、KI(k)和KD(k) 為 PID 的時變參數(shù),利用CHR (Chien,Hrones and Reswick) PID 參數(shù)整定方法得到各參數(shù)初始值為:KP(0)=?1.181,KI(0)=1.012,KD(0)=?0.324,通過最速下降法在線校正PID 參數(shù).將上述控制器應(yīng)用到式(25),得到如圖6 所示的A 相電極電流輸出曲線.由圖5和圖6 可知,當(dāng)采用文獻[1]和文獻[21]所述的控制方法時,雖然A 相電極電流能夠圍繞其設(shè)定值上下波動,同時也沒有超出飽和約束范圍,但是跟蹤誤差較大,由圖4 可以看出,當(dāng)采用本文所提出的控制方法時,跟蹤誤差明顯降低.

圖6 采用文獻[21]控制方法時A 相電極電流y1Fig.6 A-phase electrode current y1 using the control method in [21]

利用如下式(30a)和式(30b)所示的均方誤差(Mean squared error,MSE)[22]和誤差絕對值積分(Integrated absolute error,IAE)[1],對以上三種控制方法進行比較,得到如表2 所示的性能評價表.

根據(jù)表2 可以得到,當(dāng)采用文獻[1]的方法時,電極電流的 MSE 為 0.4502×106,IAE 為 0.2787×106,當(dāng)采用文獻[21]的方法時,電極電流的 MSE 為0.6631×106,IAE 為 0.2115×106,而當(dāng)采用本文方法時,電極電流的 MSE 為 0.1294×106,IAE 為 0.0679×106.將本文方法與文獻[1]方法對比,得到電極電流的MSE和 IAE 分別降低了 71.27% 和 75.64% ;將本文方法與文獻[21]方法對比,得到電極電流的 MSE 和IAE分別降低了 80.48% 和 67.89% .該結(jié)果說明本文方法相較于文獻[1]和文獻[21]所提出的方法,能夠較好地將電極電流控制在目標(biāo)范圍之內(nèi).

表2 采用文獻[1]控制方法、文獻[21]控制方法和本文控制方法時A 相電極電流 y1 的性能評價Table 2 Performance evaluating of A-phase electrode current y1 using the control method proposed in this paper and described in [1] and [21]

為了進一步體現(xiàn)本文所提方法的優(yōu)越性,繪制如圖7 和圖8 所示的A 相電極電流誤差經(jīng)驗概率分布圖.從圖7 和圖8 可以看出,當(dāng)采用本文所提出的控制方法時,電極電流誤差超出控制目標(biāo)(26)誤差范圍的概率更小.

圖7 采用文獻[21]控制方法時A 相電極電流誤差概率分布Fig.7 Error probability distribution of A-phase electrode current using the control method in [21]

圖8 采用本文控制方法時A 相電極電流誤差概率分布Fig.8 Error probability distribution of A-phase electrode current using the control method in this paper

4.2 基于高階干擾觀測器的一步最優(yōu)控制仿真

同第4.1 節(jié)所述,以A相電極為例,在式(25)上疊加如圖3 所示的隨機噪聲信號和不可測干擾d1(k),并將其作為被控對象仿真模型:

為進行比較,首先采用第2 節(jié)不考慮不可測干擾的飽和約束一步最優(yōu)控制方法進行仿真實驗.運行時間從k=1到k=500,控制目標(biāo)如式(26),控制器參數(shù)的選擇如式(28),采用控制器式(8)進行仿真驗證,得到如圖9 所示的電極電流輸出曲線,如圖10 所示的控制器輸出曲線.

圖9 加入不可測干擾時A 相電極電流y1Fig.9 A-phase electrode current y1 when unmeasurable disturbance is introduced

圖10 加入不可測干擾時控制器輸出u1Fig.10 Controller output u1 when unmeasurable disturbance is introduced

利用式(30a)和式(30b)計算得到A 相電極電流的MSE=0.4970×106,IAE=0.0854×106,與第4.1 節(jié)沒有加入干擾時A 相電極電流的 MSE 和IAE 值相比增大,因此,有必要對未知干擾進行處理.

首先,采用本文設(shè)計的高階干擾觀測器式(18)對干擾d1(k) 進行估計.根據(jù)定理3,選擇高階干擾觀測器的階次N=2,L0,L1和L2分別為:

則 1?z?1E(z?1)+z?1T(z?1)=0 的零點:

滿足定理3 不等式零點在單位圓內(nèi)的要求.其他控制器參數(shù)選擇如式(28).

采用控制器式(24)進行仿真實驗,得到如圖11所示的A 相電極電流輸出曲線,如圖12 所示的控制器輸出曲線,對未知干擾d1的估計如圖13 所示.

圖11 采用高階干擾觀測器控制時A 相電極電流y1Fig.11 A-phase electrode current y1 using the proposed high-order disturbance observer based controller

圖12 采用高階干擾觀測器時控制器輸出u1Fig.12 Controller output u1 using the proposed high-order disturbance observer based controller

圖13 未知干擾 d1 的估計值Fig.13 Estimated value of unknown disturbance d1

為驗證高階干擾觀測器具有較小的響應(yīng)時間,我們做了與文獻[23]所述方法的仿真對比實驗,對比結(jié)果如圖13 所示.圖中d1是干擾的實際值,d?1,1是采用本文設(shè)計的高階干擾觀測器得到的估計值,d?1,2是采用文獻[23]方法得到的估計值.由圖13 可以看到,與采用文獻[23]方法的估計值相對比,得到采用本文設(shè)計的高階干擾觀測器具有較小的響應(yīng)時間.

為了與文獻[24]所述的自抗擾輸出反饋控制方法進行對比,首先將電熔鎂砂熔煉過程輸入輸出模型(31)式轉(zhuǎn)化成如下狀態(tài)空間模型:

其中,z1(k)=y1(k),z2(k)=y1(k+1),并設(shè)計如下輸出反饋控制器:

其中,φ(·) 是分段函數(shù),與文獻[24]中表達式相同.將上述算法應(yīng)用到式(31),得到如圖14 所示的A相電極電流輸出曲線,如圖15 所示的控制器輸出曲線.

圖14 采用文獻[24]控制方法時A 相電極電流y1Fig.14 A-phase electrode current y1 using the control method in [24]

圖15 采用文獻[24]控制方法時控制器輸出u1Fig.15 Controller output u1 using the method in [24]

采用性能評價指標(biāo)MSE 和IAE 對加入不可測擾動時的系統(tǒng)進行性能評價,得到如表3 所示的性能評價表.

表3 采用文獻[24]控制方法和本文控制方法時A 相電極電流 y1 的性能評價Table 3 Performance evaluating of A-phase electrode current y1 using the control method proposed in this paper and described in [24]

根據(jù)表3 可知,當(dāng)加入不可測干擾后,根據(jù)第2 節(jié)提出的電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制方法,計算得到電極電流的 MSE 為 0.4970×106,IAE 為0.0854×106,當(dāng)采用文獻[24]所述的方法時,電極電流的 MSE 為0.5906×106,I AE 為0.2879×106,而當(dāng)采用本文提出的控制方法時,電極電流的MSE 為 0.2951×106,IAE 為 0.0784×106.將本文提出的基于高階干擾觀測器的飽和約束一步最優(yōu)控制方法與本文第2 節(jié)提出的飽和約束一步最優(yōu)控制方法對比,計算得到電極電流的 MSE 和 IAE 分別降低了 40.62% 和 8.20%,將本文所提出的基于高階干擾觀測器的飽和約束一步最優(yōu)控制方法與文獻[24]所描述的控制方法對比,計算得到電極電流的MSE和 IAE 分別降低了 50.03% 和 72.77% .該結(jié)果說明本文方法相較于文獻[24]所提出的方法,具有一定的優(yōu)越性,能夠較好地將電極電流控制在目標(biāo)范圍之內(nèi),并且設(shè)計的高階干擾觀測器可以較好地實現(xiàn)對未知干擾的估計.

5 結(jié)論

本文首先通過引入中間變量將復(fù)雜的電熔鎂砂熔煉過程三相電極電流飽和約束控制問題簡化為線性約束控制問題,提出了一種簡化的電極電流飽和約束一步最優(yōu)控制方法.然后,對熔煉過程可能存在的不可測干擾設(shè)計了高階干擾觀測器,提出了基于高階干擾觀測器的電熔鎂砂熔煉過程簡化控制算法.最后通過理論分析和仿真對比實驗驗證了本文所提方法的有效性和優(yōu)越性.由于本文所提方法針對的是電熔鎂砂的單批加料過程,在接下來的研究工作中,我們會針對多批加料過程考慮如何設(shè)計有效的控制器使電極電流跟蹤其設(shè)定值.