解析幾何的本源方法與潛在的不變性

陳桂虎

摘? ?要：在解析幾何教學(xué)中，引入直角坐標(biāo)系后，學(xué)生就可以精確地刻畫點的運動，點在運動中的不變性恰好是運動所具有的性質(zhì)，這些不變性也可以稱之為解析幾何中的潛在性質(zhì)。坐標(biāo)法就是研究解析幾何問題的本源方法，也是挖掘解析幾何中“變”中的“不變”利器。解析幾何中的這些潛在的不變性也體現(xiàn)了事物“偶然”中孕育的“必然”，“特殊與一般”的哲學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解析幾何;坐標(biāo)法;不變性;定值;定點

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2019）32-0027-03

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題，這種研究幾何的方法稱為坐標(biāo)法也叫解析法。具體地講，把幾何對象放置到直角坐標(biāo)系中，然后確定曲線的方程，這樣幾何對象就可以完全用數(shù)和代數(shù)術(shù)語來表達，幾何運算也就轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。

解析幾何的產(chǎn)生是出于對數(shù)學(xué)方法的追求，學(xué)者可從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程以及Descartes和Fermat創(chuàng)立解析幾何的心路歷程來發(fā)現(xiàn)這一點。比如Descartes研究數(shù)學(xué)的目的，是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法，他認為歐氏幾何中沒有一種普遍適用的方法，幾乎每一種證明都是新的且具有一定的技巧性;而代數(shù)的方法雖然受制于許多公式和法則有些機械，但是具有一定的規(guī)律性和一般性。代數(shù)與幾何應(yīng)互相取長補短，他提出了一個計劃，“任何問題——數(shù)學(xué)問題——代數(shù)問題——方程求解”。其探索如何用代數(shù)的方法解決幾何問題的過程，創(chuàng)立了解析幾何。Fermat在數(shù)論和代數(shù)方面成就卓著，他明確地使用了坐標(biāo)的概念，他提出只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個未知量，就會得到一個軌跡。教師了解這些的目的，是為了在教學(xué)解析幾何時把握住解析幾何的精髓，解決問題時更具有開創(chuàng)性和思辨性，而不是做了許多問題卻不知所云。

舉例，若問AB=2，AC=BC，三角形面積的最大值是多少？（答案是2）

【分析】題目本身說明了“變”中蘊含著“不變”。單從代數(shù)方法上思考，可將面積表示成關(guān)于某一邊長的函數(shù)，然后求函數(shù)的最大值，不過有一定的運算量;若用解析法的思想去思考，三角形面積之所以有最大值，原因是三角形的形狀在變化，也即頂點C在變化，那么點C的軌跡是怎樣的呢？以線段AB所在直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求得動點C的軌跡方程，獲知點C的軌跡是一個圓，然后數(shù)形結(jié)合，問題便迎刃而解。

學(xué)會用代數(shù)的方法（解析法）解決幾何問題的方法，這是解析幾何的本質(zhì)所在，學(xué)習(xí)者應(yīng)該樹立這樣的意識。筆者在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，解析幾何問題中有的題目也可以單從幾何的角度分析求解，因為解析幾何問題首先是個幾何問題，故可以從所涉及的幾何圖形的性質(zhì)去做分析，比如圓的直徑所對圓周角是直角。但不要引導(dǎo)學(xué)生總是用幾何方法去思考解析幾何，因為學(xué)生的思維模式一旦形成，就對解析幾何有了一定的“偏見”，就背離了解析幾何的本質(zhì)。

引入直角坐標(biāo)系后，學(xué)生就可以精確地刻畫點的運動，點在運動中的不變性恰好是運動所具有的性質(zhì)。所以解析幾何中定點、定值以及最值問題就成了解析幾何考試的重點問題。換句話說，解析幾何在高考中的經(jīng)典問題多數(shù)是圍繞這些問題去考查的。這些不變性也可以稱之為解析幾何中的“潛在性質(zhì)”。在平時的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探索這些“潛在性質(zhì)”，這有助于學(xué)生深刻理解解析幾何，有助于拓展學(xué)生的思維。

以橢圓為例，看一下如何用代數(shù)術(shù)語描述橢圓的一些性質(zhì)。

回顧橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和（記作2a）等于定長（2a>F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。這種定義方法是通過數(shù)進行度量描述橢圓。

以焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準方程 +=1導(dǎo)出主要思路分析：

由定義可得

PF1PF2=2a

+=2a

a2-cx=a? ==e（這是橢圓第二定義：平面內(nèi)到定點（c，0）的距離與到定直線x=之比是常數(shù)的點的軌跡是橢圓）

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）令a2-c2=b2

+=1（a>b>0）

=1-=? ·=-

=1-=? ·=-

（斜率之積是常數(shù)）

從以上的運算流程來看，通過理解每一個代數(shù)等式所表達的幾何意義時，可以發(fā)現(xiàn)橢圓中的某些不變性。聯(lián)想圓的定義和圓的性質(zhì)，比如圓的直徑所對圓周角是直角。當(dāng)把圓視為橢圓的特殊情形時，那么在橢圓中，長軸或短軸所對的“圓周角”顯然不是直角，也不是定值。但通過坐標(biāo)法可以發(fā)現(xiàn)，橢圓上的點與長軸（或短軸）兩端點的連線的斜率的乘積是定值，這就是幾何性質(zhì)可用代數(shù)表達。

a）橢圓+=1（a>b>0）上的點P與橢圓長軸兩端點A1（a，0）、A2（-a，0）連線的斜率之積是定值，定值為-（=e2-1）即kPA1·kPA2（若a=b時，值為-1）（證明略）。

若將上述性質(zhì)的條件弱化，結(jié)論依然成立。

b）橢圓+=1（a>b>0）上的點P是異于橢圓上M，N的兩點，且M，N關(guān)于原點對稱，則有kPM·kPN=-，我們再去聯(lián)想圓中的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦（平分弦的直徑也垂直于弦）。在橢圓中，利用坐標(biāo)法相應(yīng)地有這樣的不變性。

c）設(shè)AB是橢圓+=1（a>b>0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則kOM·kAB=-.（在圓中為OM⊥AB，kOM·kAB=-1）。

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）則有

+=1，+=1

作差得：+=0

+=0

kAB==-=-=-

kOM·kAB=-.

對于雙曲線是否具由類似的性質(zhì)呢？

若橢圓改為雙曲線，相應(yīng)的性質(zhì)是kOM·kAB=-（焦點在x軸上）。

一般地，設(shè)是圓錐曲線E：mx2+ny2=1的弦，且P（x0，y0）是弦的中點，則kAB·kOP=-.

舉個例子說明如何用以上這些潛在性質(zhì)思考解決問題。

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，M、N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

求證：對任意k>0，PA⊥PB

【分析】∵kBA·kPB=-=-易證kPA=2kAB，

∴kPA·kPB=-1故證得PA⊥PB

若取AB中點Q，kPB=kOQ可用性質(zhì)b）證得.

d）已知橢圓+=1（a>b>0）A，B是橢圓上的兩動點，M為橢圓上的任意一點，滿足=λ+μ且λ2+μ2=1，則kOM·kAB=-.

證明：設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）又=λ+μ，則x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2又點M在橢圓上，

則+=+=1

整理得到λ2（+）+μ2（+）+

2λμ（）=1

又點A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，所以+=1，+=1，則+=0

∴=-故kOA·kOB=-.

e）過橢圓（a>0，b>0）上任一點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B，C兩點，則直線BC有定向且kBC=（常數(shù)）.

設(shè)AB：y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0

y=kx+y0-kx0+=1（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x

+a2（y0-kx0）-b2=0

x0+xB=xB

B，同理C，

∴=.

坐標(biāo)法就是研究解析幾何問題的本源方法，也是挖掘解析幾何中“變”中的“不變”利器。解析幾何中的這些潛在的不變性也體現(xiàn)了“特殊與一般”的哲學(xué)思想。教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生多發(fā)現(xiàn)和探索解決問題的方向或思路，找出簡捷、合理的解題途徑。