線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用簡析

韋艷剛

摘要：《高等數(shù)學(xué)》與《線性代數(shù)》均是高等院校中許多專業(yè)的必修課程，作為高等數(shù)學(xué)的一個重要分支，線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，提高學(xué)生在高等數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用線性代數(shù)方法的能力，不僅能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、加深學(xué)生對于高等數(shù)學(xué)知識的理解，而且還能有效培養(yǎng)學(xué)生形成良好的綜合數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、推動學(xué)生將線性代數(shù)知識和高等數(shù)學(xué)知識融會貫通，從而減小學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生對于這兩門課程的求知和探索熱情。為此，有必要分析線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用策略，并探討提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)問題能力的措施，力求使學(xué)生發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)的相同之處，增強(qiáng)線性代數(shù)及高等數(shù)學(xué)教學(xué)實效性。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)方法;高等數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用

作為高等數(shù)學(xué)的一個重要分支，線性代數(shù)所解決的問題主要是線性之間的關(guān)系，其與高等數(shù)學(xué)之間存在著極其密切的聯(lián)系[1]。比如，線性代數(shù)中對于“線性”的定義是“未知變量的次數(shù)為一次”，在高等數(shù)學(xué)中也有類似定義，如一階線性微分方程等[2]。當(dāng)前，高等院校在進(jìn)行這兩門課程的教學(xué)時，采取的主要方法是分開授課，并不注重實現(xiàn)兩門課程的相互滲透，因而未能充分發(fā)揮線性代數(shù)方法對于提高學(xué)生解決高等數(shù)學(xué)實際問題能力的積極促進(jìn)作用。針對這一狀況，本文主要結(jié)合具體實例，分析線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用領(lǐng)域及相關(guān)應(yīng)用策略，并探討提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)問題能力的措施。

一、線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用策略

（一）應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)中二次曲面方程問題

應(yīng)用線性代數(shù)中的“正交變換”，可以有效解決高等數(shù)學(xué)中的二次曲面方程間題。二次曲面方程是一類三元二次方程，使用線性代數(shù)中而得正交變換方法，可以有效地將二次曲面方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而為判定二次曲面的形狀提供便利。線性代數(shù)的正交變換方法較高等數(shù)學(xué)中所給出的旋轉(zhuǎn)或平移化簡方法而言具有顯著優(yōu)勢，因此可以應(yīng)用正交變換來有效化簡二次曲面方程。例如，對于“將二次曲面方程3x+5y+5z+4xy-4xz-10yz=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程”這道高等數(shù)學(xué)題，就可以先根據(jù)其特征根方程求出其特征根，再確定與其特征根相對應(yīng)的曲面主方向X：Y：Z，然后應(yīng)用正交變換求出這三各個主徑面的標(biāo)準(zhǔn)方程，再依據(jù)所得主徑面標(biāo)準(zhǔn)方程作坐標(biāo)變換，分別解出x，y，z的值，然后將x，y，z代入原二次曲面方程，將原二次曲面方程進(jìn)行化簡，從而判斷出原二次曲面方程所代表的圖形。

（二）應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)中的極限問題

在高等數(shù)學(xué)的數(shù)列部分中有一類較難的求數(shù)列極限問題，應(yīng)用線性代數(shù)方法可以方便快捷地解決數(shù)列的極限問題。比如，在求解“設(shè)m和m均大于0，a和a均為已知常數(shù)且a+a不等于零而數(shù)列{a}滿足a=ma +2，試求”這道高等數(shù)學(xué)中的數(shù)列極限題目時就可以使用線性代數(shù)方法來解答。

（三）應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)中的極梢問題

應(yīng)用線性代數(shù)中的“二次型定理”，結(jié)合最大特征值和最小特征值的具體定義，可以有效解決高等數(shù)學(xué)中的極值問題。具體做法是先根據(jù)二次型定理確定最大特征值和最小特征值，然后列出二次型矩陣，以此求函數(shù)的極值，或者求函數(shù)達(dá)到最大值和最小值時函數(shù)中各變量的具體取值。例如，求f（m，n）=m-n+3（m+y-3x）的極值這道高等數(shù)學(xué)函數(shù)極值題目時，就可以使用二次型定理及其推導(dǎo)定理來求出其駐點以及矩陣A，再根據(jù)矩陣類型判斷函數(shù)的極值取值。

二、提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)問題能力的具體措施

（一）培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和逆向思維能力

要想學(xué)生在高等數(shù)學(xué)解題過程中高效應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解題方法，教師就必須著力培養(yǎng)學(xué)生形成抽象思維能力和逆向思維能力[3]，只有這樣學(xué)生才能全面理解線性代數(shù)中的抽象概念和知識，比如向量組、矩陣、線性方程組等。同時，也只有當(dāng)學(xué)生具備抽象思維能力和逆向思維能力之后，他們才能理解這些抽象概念之間的復(fù)雜關(guān)系，從而順利完成應(yīng)用和解題。為此，教師應(yīng)注意結(jié)合線性代數(shù)的相關(guān)知識創(chuàng)設(shè)問題情境，重視引導(dǎo)學(xué)生對所提出的問題進(jìn)行獨立思考，比如“通過學(xué)習(xí)二次型定理在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，你對二次型定理有了什么全新認(rèn)知？”“通過使用線性代數(shù)方法求數(shù)列極限，你對于數(shù)列極限有了怎樣的全新體會？”等，讓學(xué)生從解題結(jié)果反思解題過程，有效培養(yǎng)學(xué)生思維。

（二）重視對經(jīng)典高等數(shù)學(xué)題進(jìn)行線性代數(shù)方法應(yīng)用分析

在明確線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用策略后，教師就可以多選取一些經(jīng)典例題，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生一同對這些經(jīng)典例題展開分析，探討其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維和線性代數(shù)法應(yīng)用思路。比如教師可以有針對性地選取二次曲面方程、數(shù)列極限和函數(shù)極值例題，在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生一同從線性代數(shù)的角度出發(fā)對這些例題進(jìn)行分析，比較線性代數(shù)方法和高等數(shù)學(xué)一般方法之間存在的不同，讓學(xué)生感受線性代數(shù)方法的優(yōu)越性。此外，教師還需要有意識地多為學(xué)生布置這幾類高等數(shù)學(xué)題，增加學(xué)生實踐和應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高數(shù)問題的機(jī)會，促使學(xué)生在應(yīng)用中全面把握這些高等數(shù)學(xué)題的線性代數(shù)解決方法。

（三）重視幫助學(xué)生建構(gòu)線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)知識體系

學(xué)習(xí)遷移理論強(qiáng)調(diào)在整合現(xiàn)有知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識并遷移應(yīng)用舊知識，因此教師要重視幫助學(xué)生建構(gòu)線性代數(shù)整體知識體系和高等數(shù)學(xué)整體知識體系，在此基礎(chǔ)上再實現(xiàn)線性代數(shù)知識和高等數(shù)學(xué)知識的銜接和轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生更好地把握兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而在解決高等數(shù)學(xué)問題時拓展解題思路，不局限于某一特定方法，而嘗試不同的解題思路和解題方法。

三、結(jié)束語

總而言之，線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的主要應(yīng)用領(lǐng)域是空間解析幾何中的二次曲面方程以及求函數(shù)極值、數(shù)列極限。為了提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)方法解決高等數(shù)學(xué)問題的能力，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生形成逆向思維和抽象思維能力，并多分析有代表性的經(jīng)典高等數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生舉一反三、觸類旁通，同時重視幫助學(xué)生建構(gòu)線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)知識體系，拓寬學(xué)生的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]向文，黃友霞.淺談《高等數(shù)學(xué)》與《線性代數(shù)》課程的相通性[J].教育教學(xué)論壇，2016（32）：196-197.

[2]吳建強(qiáng).用“升階法”求解一類一階線性微分方程——兼談逆向思維能力的培養(yǎng)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016（3）：26-28.

[3]賴景東.高等數(shù)學(xué)解題采用線性代數(shù)方法的探討[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2016（1）：39-40.