余弦的“余怨”

彭向陽

我是余弦，我不滿，很是不滿.

本來三角函數(shù)家族里，我們正弦、余弦和正切是一脈同胞——都源白角α終邊上一點的坐標(biāo)（x，y）的比值sin α=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（其中r=√x2+y2）——地位相同，各有特色，互補(bǔ)共進(jìn)，各司其職.然而在一個數(shù)學(xué)老師手里，我卻完全被埋沒了，這個數(shù)學(xué)老師專寵正弦，將我余弦拋諸腦后，還告誡學(xué)生，只要掌握了正弦和正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦都可以轉(zhuǎn)化為正弦來處理.他的根據(jù)就是那個可恨的誘導(dǎo)公式：sin（x+π/2）=cosx.

用圖象變換來解釋就是：將它正弦函數(shù)的圖象向左邊平移號個單位，就得到我余弦函數(shù)的圖象，在這個公式的掩蓋下，我余弦沒有出頭之日，只能躲在正弦的陰影里，你說我能不怨恨嗎？既生它正弦，義何必生我余弦？

首先，從性質(zhì)上講，讓我成為正弦的附庸，置于可有可無的境地：

記住正弦函數(shù)的這些性質(zhì)，求解余弦函數(shù)的性質(zhì)時，只要將對應(yīng)的區(qū)間、直線或者點向左邊平移π/2即可.

其次，在化簡求函數(shù)解析式時，有的老師竟然強(qiáng)調(diào)全部化為正弦的形式，將我擱在被人遺忘的角落里.例如：

至此，學(xué)生都遵照那個“嫌棄”我余弦的數(shù)學(xué)老師的教導(dǎo)，化為正弦，得到f（x）=sin（2x+π/3），再來解決下面的問題，我真的生氣了，難道化為我余弦來解答就不能解決問題？不信請看：

（1）最小正周期為2π/2=兀.

這是2017年北京高考試題，用我余弦來解，也很簡單，很快捷吧！再如：

（1）求f（x）的值.

（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

這可是2017年浙江省高考題，用我余弦來解答也一樣方便快捷吧！

于是我將自己的怨恨寫信給這個老師，沒過幾天就收到了他的回信：親愛的余弦（函數(shù)）：

我要向你說聲對不起，不是我“嫌棄”你，也不是我“拋棄”你.與其讓學(xué)生死記硬背你，倒不如類比聯(lián)想記憶你——緊扣你同“正弦”的形同特點——只需平移關(guān)系，這樣學(xué)生對你的印象不是削弱了，反而更加強(qiáng)了，感覺你更生動，更形象，更有活力了.其實數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程也是一個類比聯(lián)想的過程，抓住知識點或數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)，就綱舉目張，一通百通，舉一反三.在三角函數(shù)大家庭里，你們?nèi)值?，是相互?lián)系、血肉相連的，這一點從你們的定義和同角三角函數(shù)之間的關(guān)系也可以看出來，已知你們中的一個就可以求出另外兩個，特別是你與正弦，更是唇齒相依的關(guān)系——如果唇亡，則一定齒寒，在許多實際問題的解答中也是需要你們相互配合，緊密相扣的.我舉個例子吧.

如圖1，某廣場中間有一塊扇形狀綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，半徑為1，∠AOB=π/2.廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在AB上選一點C，過C修建與OB平行的小路CD，與OA平行的小路CE.問C點應(yīng)選在何處，才能使得修建的道路CD與CE的總長最大，并說明理由.

解 如圖1，將扇形放入平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)∠AOC=α，（OE=r，則C（ cos α，sin α），E（rcosπ/3，rsinπ/3），即E（1/2r，√3/2r）.

于是有√3/2r=sin α，所以r=2sinα/√3.

于是CD+CE=r+ cos α-1/2r=1/2r+COS α=sinα/√3+cosα=2/√3sin（a+π/3）.

由于0<α<π/3，所以π/3<α+α/3<2π/3，當(dāng)a+π/3=π/2，即α=π/6時，也就是C為AB的中點時，修建的道路CD與CE的總長最大，為2√3/3.

你看，這個例題中離開了你余弦，能夠解答嗎？至少解答很不容易吧.所以每個數(shù)學(xué)概念都是數(shù)學(xué)大廈的一塊基石，在人類構(gòu)筑現(xiàn)代文明社會時都不可或缺.

我看后，滿臉慚愧，再也沒有抱怨了，我也是數(shù)學(xué)大家庭中重要的一員，我要和正弦一起，和數(shù)學(xué)大家庭中的每一位成員一起，和睦相處，為數(shù)學(xué)作出自己的貢獻(xiàn).