平面向星知識點(diǎn)津

端木彥

現(xiàn)實(shí)生活中，有些量（如距離、身高、質(zhì)量等）在取定單位后可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示，我們稱之為數(shù)量.但在生活中，我們還會遇到一些不同的量，例如，“飛機(jī)從東向西位移30 000 km”，“提起某物體需要300N向上的力”等等.選用合適的數(shù)學(xué)模型來刻畫這些量，繼而研究這個(gè)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)和應(yīng)用，這些就是《平面向量》一章的內(nèi)容.本文就其中一些重要知識進(jìn)行透析.

一、數(shù)量與向量的區(qū)別與聯(lián)系

向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.不同的是，有向線段具有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向和長度.而本章學(xué)習(xí)的向量是平面內(nèi)的自由向量，它們僅由方向和大小確定，與起點(diǎn)位置無關(guān).因此，認(rèn)識向量從它的方向和長度這兩個(gè)要素人手即可.如“零向量”、“單位向量”，顧名思義，僅規(guī)定了大小，方向是任意的.“平行向量”、“共線向量”僅規(guī)定了方向，大小是任意的，且因與起點(diǎn)無關(guān)，故此二者為同一概念.“相等向量”、“相反向量”則同時(shí)對大小和方向提出要求.可見，數(shù)量與向量、0與零向量、1與單位向量、平行線與平行向量等概念既有區(qū)別義有聯(lián)系.所以，向量的運(yùn)算與數(shù)量的運(yùn)算之間必然具有相關(guān)性.于是我們進(jìn)而從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面研究了向量的加法、減法和數(shù)乘這三種運(yùn)算及其運(yùn)算律.這三種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，它們算的結(jié)果都是向量.

二、向量數(shù)量積的幾何意義

設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，夾角是θ，我們把數(shù)量| a | | b | cosθ叫做向量a和b的數(shù)量積，記作a.b.數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律.其中，| b | cosθ叫做向量b在a方向上的投影，它是數(shù)量.由此可知a·b的幾何意義是：a的長度| a |（如圖1中線段OA的長度）與b在a方向上的投影| b | cosθ（如圖1中有向線段OB1的數(shù)量）的乘積.

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，我們發(fā)現(xiàn)：如圖2，如果向量b，c在向量a上的投影相等，則a·b=a·c.

這在求解向量數(shù)量積時(shí)十分有用，我們來看兩個(gè)實(shí)例.

例1 在△ABC中，AB=4，AC=3，P是邊BC的垂直平分線上的一點(diǎn)，則AP·BC的值為__

解析 如圖3，設(shè)邊BC的中點(diǎn)為O，則PO上BC，

所以AP與AO在BC方向上的投影相等，

故AP·BC=AO·BC=1/2（AB+AC）·（AC-AB）=1/2（AC2-AB2）=7/2.

例2 如圖4，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），求AM·AN的最大值.

解析 如圖4，AM的大小和方向是確定的，

因此AM·AN可看成AN在AM上的投影與| AM |的乘積，

所以當(dāng)AN在AM上的投影最大時(shí)，AM.AN取得最大值.結(jié)合圖象分析即知，N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)投影最大.故（AM·AN）max=AM·AC=（AD+1/2AB）（AD+AB）=1/2AB2+3/2AB·AD+AD2=9.

可見，數(shù)量積的幾何意義在解決“一定一動(dòng)”兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，有著獨(dú)特的作用.

三、尋找知識之間的聯(lián)系

本章知識結(jié)構(gòu)框圖如下：

從向量概念到基本運(yùn)算，無不體現(xiàn)著向量既是代數(shù)對象義是幾何對象的雙重身份.而平面向量基本定理正是運(yùn)用向量研究問題的理論基礎(chǔ).如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ1e2.定理揭示了平面內(nèi)任一向量均可由該平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量線性表示.它不僅提供了幾何直觀表示，也為向量的坐標(biāo)運(yùn)算打下了基礎(chǔ).進(jìn)一步，我們又發(fā)現(xiàn)，如果e1∥e2，則平面向量基本定理則退化成為，任一向量可以用一個(gè)與它共線的非零向量來線性表示，且這種表示是唯一的，即向量共線定理，從這里我們發(fā)現(xiàn)，一維情形下的向量共線定理，推廣得到二維情形下的平面向量基本定理，今后還能進(jìn)一步推廣得到三維情形下的空間向量基本定理.

借用平面向量的相關(guān)知識，我們還將在后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用向量視角處理三角函數(shù)的相關(guān)問題.相信在不久的將來，我們也會用向量的眼光觀察世界，用向量的語言表達(dá)世界，用向量的方法解決現(xiàn)實(shí)世界中的一些問題.