六面體可展機構(gòu)自由度與運動特性分析

劉文蘭 馬鵬飛 閔 為 許允斗 郭金偉 趙永生

(1.蘭州理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院， 蘭州 730050； 2.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004)

0 引言

作為空間可展機構(gòu)中的一類，多面體可展機構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析是目前研究熱點之一[1-7]。多面體可展機構(gòu)的運動鏈間存在耦合，目前國際上尚未形成多環(huán)耦合機構(gòu)系統(tǒng)的自由度分析理論。AGRAWAL等[8]用移動副代替多面體邊線設(shè)計了多種單自由度多面體可展機構(gòu)，基于Grübler-Kutzbach公式(簡稱G-K公式)分析了這種僅含移動副的多面體機構(gòu)的自由度，但采用G-K公式計算一般多面體機構(gòu)的自由度時，機構(gòu)階的求解存在較大困難。文獻[9-11]基于PRRP運動鏈和一種對稱8桿機構(gòu)綜合了一系列具有徑向往復(fù)運動的過約束可展多面體機構(gòu)，并根據(jù)機構(gòu)所含關(guān)節(jié)數(shù)和約束矩陣的秩之間的關(guān)系，分析了多面體機構(gòu)的自由度，但是當機構(gòu)中關(guān)節(jié)較多時，求解高階約束矩陣的秩難度較大。楊毅等[12]基于單閉環(huán)7桿機構(gòu)提出了一種四棱錐可展機構(gòu)，并將其拆分為一個三閉環(huán)機構(gòu)和一個二連桿運動鏈，通過分析三閉環(huán)機構(gòu)得到了四棱錐機構(gòu)的自由度，但并不是所有的多面體機構(gòu)都能拆分為一個與原機構(gòu)自由度等價的機構(gòu)和一個只引入虛約束的運動單鏈。文獻[13-15]研究了Hoberman魔球機構(gòu)的自由度和運動特性。許允斗等[16]針對一種四面體可展機構(gòu)的自由度問題，提出了一種拆桿等效法，該四面體機構(gòu)耦合度較低，拆除一個串聯(lián)運動鏈后的機構(gòu)恰好可看作并聯(lián)機構(gòu)，當機構(gòu)耦合度更高時，此方法是否可行未作進一步說明。文獻[17-18]分別采用拆分桿組法和拓展多面體框架的自由度分析方法，分析了一種六面體可展機構(gòu)的自由度。劉婧芳等[19-20]提出了多環(huán)耦合機構(gòu)自由度分析的等效法和獨立運動分流標記法，并應(yīng)用于一種類正四面體機構(gòu)[21]和二十面體可展機構(gòu)[22]中。文獻[23]采用獨立運動分流標記法分析了一種六面體可展機構(gòu)的自由度。這兩種方法中獨立運動單元的拆分是關(guān)鍵，若原機構(gòu)耦合度較高，拆分的獨立運動單元仍為多環(huán)耦合運動鏈時，其等效串聯(lián)鏈的建立是個難點。此外，WOHLHART[24-26]也對多面體可展機構(gòu)的構(gòu)型、運動分析等展開了研究。

本文在文獻[16]的基礎(chǔ)上，以一種多環(huán)耦合六面體機構(gòu)[17-18,23]為研究對象，提出一種自由度分析方法。先將機構(gòu)中部分耦合運動鏈視作動平臺，基于螺旋理論建立動平臺的等效串聯(lián)支撐分支；然后逐漸釋放動平臺中的構(gòu)件，建立變化后動平臺的等效串聯(lián)分支；最后構(gòu)建僅由一個連桿組成的等效并聯(lián)機構(gòu)，進而采用并聯(lián)機構(gòu)自由度分析方法得到原多面體機構(gòu)的自由度。借助仿真軟件驗證六面體機構(gòu)自由度理論分析結(jié)果的正確性，并分析該機構(gòu)的運動特性和折疊比。

1 結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1 結(jié)構(gòu)簡介

圖1為完全相同的24個連桿(記作L1～L24)和36個轉(zhuǎn)動副(R)組成的一種六面體機構(gòu)[17-18,23]，其第i(i=1,2,…,6)個面上的4個轉(zhuǎn)動副Ri1、Ri2、Ri3和Ri4軸線相互平行且垂直于該平面，連接相鄰兩面的轉(zhuǎn)動副軸線平行于兩平面的交線， 六面體各頂點處3個轉(zhuǎn)動副軸線相交于一點，記為oj(j=1, 2, …, 8)。該機構(gòu)具有對稱結(jié)構(gòu)，選取連桿L1為機架，在頂點o1建立參考坐標系o1xyz，其中，x軸與轉(zhuǎn)動副RA1的軸線重合，z軸與轉(zhuǎn)動副R12的軸線重合，y軸根據(jù)右手定則確定。

圖1 六面體機構(gòu)Fig.1 Hexahedral mechanism

1.2 自由度分析

圖1為六面體機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖，若將任意1個連桿(不含機架桿L1)視作動平臺，則連接動平臺和機架的支撐分支間耦合關(guān)系錯綜復(fù)雜，對該六面體機構(gòu)進行自由度分析難度較大。本文先將N1(1

圖2為六面體機構(gòu)的自由度分析流程，具體分析過程如下：

選取四連桿機構(gòu)R21R22R23R24、R61R62R63R64和R41R42R43R44依次通過轉(zhuǎn)動副RC1和RC3串聯(lián)而成的運動鏈整體為動平臺1，如圖3所示。動平臺1又通過轉(zhuǎn)動副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3與機構(gòu)剩余部分相連，故動平臺1與機架桿L1之間存在8個支撐分支。

圖2 六面體機構(gòu)自由度分析流程Fig.2 DOF analysis procedure of hexahedral mechanism

圖3 動平臺1Fig.3 Moving platform No.1

圖4 拆除動平臺1后的運動鏈Fig.4 Part of dismantling moving platform No.1

但動平臺1的8個分支之間存在耦合鏈，為便于建立動平臺1的8個運動等效串聯(lián)分支，先將動平臺1從原機構(gòu)中拆除，剩余部分如圖4所示。在圖4中，與轉(zhuǎn)動副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3相連的桿件分別為機架L1、連桿L20、L9、L11、L18、L10、L17和L3，基于螺旋理論分別分析這些連桿相對于機架的自由度數(shù)目和性質(zhì)，從而建立其與機架之間的等效串聯(lián)運動鏈，如表1所示。

表1 連桿L9、L10、L11、L20、L17、L18、L3與機架之間的等效串聯(lián)鏈
Tab.1 Equivalent series chains between base and linksL9, L10, L11, L20, L17, L18and L3

表1中 Pe1為軸線與轉(zhuǎn)動副R31和連桿L9的中心軸線均垂直的移動副，Pe2為軸線與轉(zhuǎn)動副R52和連桿L20的中心軸線均垂直的移動副，Pe3為軸線與轉(zhuǎn)動副R12和連桿L2的中心軸線均垂直的移動副。表1中等效串聯(lián)鏈結(jié)合轉(zhuǎn)動副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3可得動平臺1的8個運動等效串聯(lián)分支分別為RA1、R11RA4R52RB1、R12RA2R31RB2、R12RA2R32RB3、R11RA4R51RB4、R12RA2Pe1RC2、R11RA4Pe2RC4和Pe3RA3。動平臺1、機架及8個等效串聯(lián)分支構(gòu)成的并聯(lián)機構(gòu)如圖5所示。

圖5 動平臺1、機架以及8個等效串聯(lián)分支構(gòu)成的并聯(lián)機構(gòu)Fig.5 PM composed of moving platform No.1, base and eight equivalent series limbs

圖5的機構(gòu)又可視作以四連桿閉環(huán)機構(gòu)R61R62R63R64整體為動平臺2、含4個支撐分支的并聯(lián)機構(gòu)，其中，分支1和分支2如圖6所示，分支3和分支4分別為動平臺1的等效串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12和RC4Pe2RA4R11。

圖6 動平臺2的分支1和分支2Fig.6 Two limbs of moving platform No.2

圖7 動平臺2的分支1拓撲結(jié)構(gòu)Fig.7 Topological structure of the first limb of moving platform No.2

從圖6可以看到，分支1和分支2亦屬于空間多閉環(huán)耦合機構(gòu)，圖7給出了分支1的拓撲關(guān)系，分支2的拓撲關(guān)系與分支1的類似。為建立分支1的等效串聯(lián)分支，先分析分支1中連桿L7相對于機架的自由度。連桿L7與機架相連的兩個支鏈之間存在耦合，基于螺旋理論分析連桿L6和L8受到的約束螺旋系可得其與機架之間的運動等效串聯(lián)鏈分別為R21RA1和R22RA1，進而可得連桿L7的兩個獨立運動等效串聯(lián)支鏈為R24R21RA1和R23R22RA1。求等效串聯(lián)支鏈R24R21RA1和R23R22RA1施加給連桿L7的約束螺旋系的反螺旋，可得在參考坐標系o1xyz下表示的連桿L7的運動螺旋系為

(1)

式中 (l1,m1,n1)——點o5在坐標系o1xyz中的坐標

式(1)表明連桿L7具有與轉(zhuǎn)動副R22的軸線和直線o1o5均垂直方向的移動自由度和繞轉(zhuǎn)動副RA1軸線的轉(zhuǎn)動自由度，從而可得圖6中分支1的運動等效串聯(lián)分支為RC1Pe4RA1，其中，Pe4表示軸線與轉(zhuǎn)動副R22的軸線和直線o1o5均垂直的移動副。

同理，可得動平臺2的分支2中連桿L15的運動螺旋系為

(2)

式中 (l2,m2,0)——點o2在坐標系o1xyz中的坐標

綜上可得動平臺2、機架、等效串聯(lián)分支RC1Pe4RA1和RC3Pe5RA3Pe3、分支3以及分支4組成的并聯(lián)機構(gòu)，如圖8所示。

圖8 動平臺2、機架和4個等效串聯(lián)分支組成的并聯(lián)機構(gòu)Fig.8 PM composed of moving platform No.2, base and four equivalent series limbs

在圖8的機構(gòu)中，把連桿L22視作動平臺3，其上有3個轉(zhuǎn)動副，分別為RC2、R62和R63，故動平臺3通過3個分支與機架L1相連。一個分支為獨立串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12，另外兩個分支間存在耦合?；诼菪碚摽赏频昧硗鈨蓚€耦合分支的運動等效串聯(lián)分支為R62Pe4Pe6和R63Pe4Pe6，其中，Pe6表示軸線與轉(zhuǎn)動副R22軸線平行的移動副。因此，動平臺3、機架、分支RC2Pe1RA2R12、分支R62Pe4Pe6和分支R63Pe4Pe6組成一個含三分支的并聯(lián)機構(gòu)。

求等效串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12、R62Pe4Pe6和R63Pe4Pe6施加給連桿L22的約束螺旋系的反螺旋，可得連桿L22的運動螺旋系為

(3)

式(3)表明連桿L22具有3個自由度，分別為繞z軸的轉(zhuǎn)動和與轉(zhuǎn)動副RB2軸線垂直的兩個移動自由度，從而可得原六面體機構(gòu)的自由度為3，與文獻[17-18,23]結(jié)論一致。

六面體機構(gòu)在一般位形下(圖1)，每個面上的4個轉(zhuǎn)動副Ri1～Ri4的軸線始終相互平行且垂直于該平面，相鄰兩個面之間的轉(zhuǎn)動副軸線平行于兩個面的交線，每個頂點處的3個轉(zhuǎn)動副軸線相交于一點，即所有轉(zhuǎn)動副的相對位置和方向與上述分析位形下的相同。因此，該六面體可展機構(gòu)的3個自由度具有全周性。

2 運動特性

2.1 驅(qū)動副選取

當機構(gòu)輸入數(shù)目與機構(gòu)自由度數(shù)目相等時，機構(gòu)一般可實現(xiàn)確定的運動，但對自由度大于2的多自由度機構(gòu)來說，即使輸入數(shù)目與機構(gòu)自由度數(shù)目相等，若驅(qū)動副選擇不合適，機構(gòu)也會發(fā)生輸入干涉[27]。根據(jù)上文分析可知，圖1所示六面體機構(gòu)具有3個自由度，故需要添加3個獨立的驅(qū)動使其實現(xiàn)確定的運動。該六面體機構(gòu)的每個面由4個連桿和4個軸線相互平行的轉(zhuǎn)動副組成，如圖9所示，顯然，該平面四桿機構(gòu)具有1個自由度。此外，由于六面體機構(gòu)的結(jié)構(gòu)對稱性，相對的兩平面四桿機構(gòu)始終具有相同的運動。因此，3個獨立的驅(qū)動副應(yīng)分別在相鄰的3個平面四桿機構(gòu)或位于六面體邊線并交于同一頂點的3個轉(zhuǎn)動副中選擇。

圖9 平面四桿機構(gòu)簡圖Fig.9 Schematic of planar four-bar mechanism

選取轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31為驅(qū)動副，采用文獻[27]中多自由度并聯(lián)機構(gòu)的輸入選取準則，檢驗轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31為驅(qū)動副的合理性。

假設(shè)將轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31剛化，六面體機構(gòu)中平面四桿機構(gòu)R11R12R13R14、R21R22R23R24和R31R32R33R34將失去自由度，原六面體機構(gòu)變?yōu)閳D10所示機構(gòu)。將圖10中閉環(huán)運動鏈R61R62R63R64整體視作動平臺，其通過轉(zhuǎn)動副RC1、RC2、RC3和RC4最終與機架相連。連桿L5、L6、L7、L8整體通過轉(zhuǎn)動副RA1與機架相連，通過轉(zhuǎn)動副RB2與連桿L9相連，而連桿L9、L10、L11、L12整體又通過轉(zhuǎn)動副RA2與機架相連，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，其形成的含3個轉(zhuǎn)動副的閉環(huán)運動鏈不具有自由度。因此，動平臺R61R62R63R64通過轉(zhuǎn)動副RC1和RC2與機架相連的等效串聯(lián)分支分別為RC1和RC2，其余2個分支結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖10 剛化驅(qū)動副后的六面體機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic of hexahedral mechanism after fixing driving joints

基于圖2的自由度分析，可得圖11中連桿L15和連桿L17相對于機架的自由度為零，則動平臺R61R62R63R64通過轉(zhuǎn)動副RC3和RC4與機架相連的等效串聯(lián)分支分別為RC3和RC4，從而可得動平臺R61R62R63R64和其4個等效串聯(lián)分支以及機架構(gòu)成的并聯(lián)機構(gòu)如圖12所示。

圖11 動平臺R61R62R63R64的另外兩個分支結(jié)構(gòu)簡圖Fig.11 Schematic of two other limbs of moving platform R61R62R63R64

圖12 動平臺R61R62R63R64、4個等效串聯(lián)分支和機架組成的并聯(lián)機構(gòu)Fig.12 PM composed of moving platform R61R62R63R64, base and four equivalent series limbs

圖12的多閉環(huán)機構(gòu)中，獨立的平面四桿機構(gòu)R61R62R63R64具有1個自由度，當其4個連桿分別通過轉(zhuǎn)動副RC1、RC2、RC3和RC4與機架相連時，每個轉(zhuǎn)動副提供的3個約束力和2個約束力偶限制了原平面四桿機構(gòu)R61R62R63R64的自由度。因此，圖12的等效機構(gòu)自由度為零，從而可得剛化驅(qū)動副R12、R22和R31后六面體機構(gòu)自由度為零，則根據(jù)文獻[27]中多自由度并聯(lián)機構(gòu)的輸入選取準則，可以選取六面體機構(gòu)的轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31作為3個驅(qū)動副。需要注意，轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31并不是該六面體機構(gòu)驅(qū)動副的唯一選擇。

2.2 仿真分析

建立六面體機構(gòu)的仿真模型如圖13所示，驅(qū)動副R12、R22和R31的角位移分別為θ1、θ2和θ3，根據(jù)該六面體機構(gòu)的結(jié)構(gòu)對稱性，取0°≤θk≤90°(k=1, 2, 3)分析其運動特性。

給轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31施加相同的驅(qū)動：θ1=θ2=θ3=(90-5t)°，其中，t表示時間。仿真10 s，測得機構(gòu)運動過程中轉(zhuǎn)動副的角位移如圖14所示。改變轉(zhuǎn)動副R12、R22和R31的驅(qū)動值：θ1=(90-4t)°、θ2=(90-5t)°、θ3=(90-6t)°。仿真10 s，測得機構(gòu)運動過程中轉(zhuǎn)動副的角位移如圖15所示。

圖13 六面體機構(gòu)的仿真模型Fig.13 Simulation model of hexahedral mechanism

圖14 相同驅(qū)動下機構(gòu)各轉(zhuǎn)動副的角位移Fig.14 Angular displacements of joints of hexahedral mechanism under the same actuations

圖15 不同驅(qū)動下機構(gòu)各轉(zhuǎn)動副的角位移Fig.15 Angular displacements of joints of hexahedral mechanism under different actuations

圖14表明當六面體機構(gòu)的3個驅(qū)動相同時，6個平面四桿機構(gòu)中的轉(zhuǎn)動副具有相同的運動，位于機構(gòu)12條邊線上的轉(zhuǎn)動副具有相同的運動，即機構(gòu)在任意位形下其6個面形狀完全相同。圖15表明六面體機構(gòu)在3個不同大小驅(qū)動下，相對的兩平面四桿機構(gòu)中轉(zhuǎn)動副始終具有相同的角位移，位于六面體相互平行棱邊的轉(zhuǎn)動副角位移相同，即機構(gòu)在任意位形下相對的兩個面形狀相同，此仿真結(jié)果與理論分析相吻合。

3 折疊性能

六面體機構(gòu)在不同驅(qū)動下的位形變化如圖16所示，從圖16可看到，六面體機構(gòu)在θ1=θ2=θ3=90°時呈現(xiàn)出正方體，在0°<θ1、θ2、θ3<90°時呈現(xiàn)出平行六面體，由于每個桿長恒定，故該六面體機構(gòu)在正方體狀態(tài)的包絡(luò)體積大于平行六面體狀態(tài)的包絡(luò)體積。因連桿間的干涉問題，六面體機構(gòu)實際中只能無限接近圖14中的3種極限位形：(θ1=0°,θ2=θ3=90°)、(θ2=θ3=45°,θ1=90°)和(θ1=θ2=θ3=0°)，為了便于討論六面體機構(gòu)的最小包絡(luò)體積，表2列出了幾種極限位形下六面體機構(gòu)的包絡(luò)體積及驅(qū)動角。

圖16 六面體機構(gòu)在不同驅(qū)動下的位形變化Fig.16 Configuration changes of hexahedral mechanism under different actuations

將六面體機構(gòu)在整個運動空間中的最大包絡(luò)體積與最小包絡(luò)體積之比定義為該機構(gòu)的折疊比，計算式為

(4)

式中η——機構(gòu)折疊比

Vmax——六面體機構(gòu)的最大包絡(luò)體積

Vmin——六面體機構(gòu)的最小包絡(luò)體積

a——θ1=θ2=θ3=90°時六面體機構(gòu)的包絡(luò)正方體邊長

h——θ1=θ2=θ3=0°時六面體機構(gòu)的包絡(luò)圓柱的高

d——θ1=θ2=θ3=0°時六面體機構(gòu)的包絡(luò)圓柱的底面圓直徑考慮機構(gòu)的真實尺寸，因連桿間的干涉問題六面體機構(gòu)的實際折疊比小于12.294 7。

表2 六面體機構(gòu)的包絡(luò)體積及對應(yīng)驅(qū)動角
Tab.2 Envelope volume and corresponding drivingvalues of hexahedral mechanism

4 結(jié)論

(1)對一種六面體可展機構(gòu)的自由度進行了分析?；诓饤U、等效、復(fù)原的思想，不斷選取機構(gòu)動平臺，建立運動等效機構(gòu)，逐漸降低原機構(gòu)的耦合度，最終基于并聯(lián)機構(gòu)自由度分析理論得到了六面體機構(gòu)的自由度。

(2)分析了六面體可展機構(gòu)的運動規(guī)律。機構(gòu)中相對的兩平面四桿機構(gòu)始終具有相同的運動，位于機構(gòu)平行棱邊上的轉(zhuǎn)動副具有相同的角位移。

(3)分析了六面體機構(gòu)的折疊性能。六面體可展機構(gòu)在不同組合的驅(qū)動下可實現(xiàn)多種位形，具有較大的折疊比，可適用于不同任務(wù)、不同需求的場合。