以圓為馬，量數(shù)學(xué)尺寸

陳慶紅

摘要：從浙江麗水市近九年中考數(shù)學(xué)中所出的關(guān)于圓的試題出發(fā)，分析試題的類型和出題方式，并結(jié)合課標(biāo)與考試要求考查主要考點(diǎn)。展示了學(xué)生的典型解法，簡析學(xué)生暴露出來的問題：一是學(xué)生對圓的相關(guān)知識只是停留在表面，沒有理解滲透;二是對問題的解決比較單一，不能舉一反三。簡析上述要素，旨在幫助教師明確教學(xué)方向，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：圓;試題研究;典型問題

教師是教學(xué)的引導(dǎo)者，數(shù)學(xué)教師如何呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，如何設(shè)計(jì)證明方式、展示解題過程，關(guān)系到學(xué)生對知識的掌握和能力的培養(yǎng)。教師在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)應(yīng)該吃透課標(biāo)與考試要求，掌握對學(xué)生知識和能力所提出的教學(xué)目標(biāo);通過分析考試題目，尤其是中考這類大型考試中相關(guān)題型的呈現(xiàn)和變化，結(jié)合平常習(xí)題訓(xùn)練或考試中學(xué)生的典型解法，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，推動學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和把握，使學(xué)生理清解題思路，提高解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

一、“圓”來如此——概況分析

（一）圓的出題類型和出題方式

從分值來看，在近九年麗水?dāng)?shù)學(xué)中考試卷中，圓的試題分值一直比較穩(wěn)定。除了2011年出了兩道解答題，分值達(dá)到了23分外，其余年份圓的試題分值一直保持在12分左右?？梢?，圓這一塊知識點(diǎn)屬于麗水中考?？嫉膬?nèi)容，學(xué)生應(yīng)該重點(diǎn)把握。

從題目設(shè)置來講，近九年來，麗水中考數(shù)學(xué)圓的知識每年都有一道選擇或填空題、一道解答題?？傮w來看，考試所涉及的知識點(diǎn)較為常規(guī)，并且強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。如2010年選擇題第9題、2013年第8題、2018年第16題、2019年第14題分別以小丑帽子、排水管、弓箭和簡易測傾儀設(shè)立解題背景，引導(dǎo)學(xué)生在生活情境中調(diào)動所學(xué)的關(guān)于圓的知識解決問題。填空題和選擇題所考查的圓的知識比較明確，學(xué)生只需要從具體情境中分辨出考查的知識點(diǎn)，就能解決問題。解答題的知識點(diǎn)難度略有提升，但仍處于中檔水平。比如，解答題的?？贾R點(diǎn)有切線性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、圓周角推論。除了以上?？贾R，2013年解答題考查了弧長計(jì)算，2014年考查了中位線定理，2015年考查了弓形面積的計(jì)算以及互余性質(zhì)，2017年、2018年考查了勾股定理?？疾榈闹R點(diǎn)的翻新和變化，一定程度上給學(xué)生帶來了解題困難，但在能力層級上仍然是穩(wěn)定不變的：要求學(xué)生綜合運(yùn)用學(xué)過的性質(zhì)和定理來解題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力。

（二）圓的主要考點(diǎn)

1.課標(biāo)分析。根據(jù)2011年課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的關(guān)于圓的課程內(nèi)容，在九上學(xué)段，學(xué)生接觸到的概念有圓、弧、弦、圓心角、圓周角、三角形的內(nèi)心和外心等。學(xué)生需要掌握這些概念及其性質(zhì)，了解它們之間的相互關(guān)系。學(xué)生需要學(xué)習(xí)的定理有垂徑定理、圓周角定理及其推論。此外，學(xué)生還要進(jìn)行弧長、扇形面積的計(jì)算;了解正多邊形及正多邊形與圓的關(guān)系。在九下學(xué)段，學(xué)生要把握切線的性質(zhì)和切線長的定理，理解切線與過切點(diǎn)的半徑的關(guān)系。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》還將“探索并證明垂徑定理”“探索切線長定理”列在了選學(xué)內(nèi)容里，這主要是出于控制考試難度的考慮，同時(shí)又能為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的空間。

九上和九下分別要求學(xué)生掌握點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，比較典型地體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，滲透了數(shù)形思想。

2.考試要求分析。仔細(xì)的教師會發(fā)現(xiàn)，考綱中的要求更細(xì)致地對課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容做了逐條解釋。歷年試題在考查學(xué)生掌握的圓的基本知識時(shí)，也考查學(xué)生運(yùn)用這些知識的技能和能力。以課標(biāo)中“知道三角形的內(nèi)心和外心”這一條為例，考試要求提出了更為詳細(xì)的方向，不僅要求學(xué)生知道三角形內(nèi)心、外心的性質(zhì)，在能力方面還要求學(xué)生能夠根據(jù)兩者的性質(zhì)解決簡單的幾何問題。由此看來，考試要求將課程內(nèi)容與課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決等目標(biāo)結(jié)合起來，充分體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的理念以及中考試題的基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性。

3.對題分析。從近九年麗水中考數(shù)學(xué)試題看，關(guān)于圓的解答題緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的課程內(nèi)容，在形式上、結(jié)構(gòu)上、知識點(diǎn)和難度上都相對穩(wěn)定。比如，小問題的數(shù)量為兩到三個，讓學(xué)生從題目的已知條件出發(fā)，逐步推理得出結(jié)論。這些試題以課程標(biāo)準(zhǔn)中圓的課程內(nèi)容為基礎(chǔ)，結(jié)合考試要求中對學(xué)生能力的具體要求，讓學(xué)生在掌握這些知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用圓的相關(guān)定理，通過分析、綜合、推理等數(shù)學(xué)思維方法解決問題。由此可知，關(guān)于圓的解答題不是單純考查學(xué)生對知識點(diǎn)的記憶，而是知識與技能的雙重考量。

在保持穩(wěn)定的同時(shí)，近九年麗水中考數(shù)學(xué)關(guān)于圓的解答題也穩(wěn)中有變。從九年級試題可以看出來，將不同的知識點(diǎn)融合起來，在考查學(xué)生對基本知識的掌握情況的同時(shí)，也更加注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，對學(xué)生解題思路的清晰性提出了更高要求。

二、“圓”木求魚——典型問題

學(xué)生在考試中出現(xiàn)的問題主要有兩方面，一是基于圓的基礎(chǔ)知識的求解，學(xué)生存在證明或計(jì)算思路不清、對于概念和定理的適用對象也把握得不夠清楚的問題;二是學(xué)生證明的方法比較單一，無法找出更加簡便的方法來。

（一）基于圓的基礎(chǔ)知識的求解，學(xué)生存在證明或計(jì)算思路不清的狀況。

如圖1，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點(diǎn)，AD= AB，AD，BC的延長線相交于點(diǎn)E。

求證：AD是半圓O的切線。

下面是學(xué)生典型解法：

解：∵切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等。

又∵AD= AB，且D在圓上

∴AD是半圓O的切線

該題的正確解題思路是分別連接OD、AO作兩條輔助線，證明△AOB和△AOD全等，然后說明∠ADO為90度，證明OD⊥AD，利用切線性質(zhì)證明AD是半圓O的切線。

稍微分析一下學(xué)生典型解法，就能發(fā)現(xiàn)，學(xué)生沒有真正弄清楚切線長的定理。切線長的定理要成立的條件是過圓外一點(diǎn)所畫的兩條線已經(jīng)是圓的切線，雖然結(jié)合過圓外一點(diǎn)只能作兩條切線這一理由可以推出求證的結(jié)論，但這畢竟不是題上所要考查的內(nèi)容。由典型解法可以看出，學(xué)生對于切線長定理的適用條件和范圍把握不夠充分，思考題目時(shí)也不能迅速地想到應(yīng)該使用切線性質(zhì)求證。由此看來，學(xué)生對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的把握仍然不夠牢靠，雖然能夠記住概念、性質(zhì)和定理，但對于這些知識的適用條件沒有深刻的體會，在具體情境下充分暴露了應(yīng)用短板。

（二）學(xué)生對于需要結(jié)合圓與不規(guī)則形狀面積計(jì)算的題容易找不到思路

如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F。

（1）（略）

（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積。

第二個小問，很多學(xué)生容易找不算陰影面積的思路。也有學(xué)生在作了過OE的輔助線后，找到了正確思路，嘗試通過利用扇形AOE的面積去減△AOE得出剩余的陰影部分的面積。通過互余性質(zhì)證到∠A為45度，進(jìn)而求出△AOE的面積，但在最后關(guān)頭卻弄混了扇形的弧長和面積公式，從而算出錯誤的答案。這一題暴露了學(xué)生在打開思路方面存在問題，不擅于從整體把握局部，從局部走向整體，在分析和綜合能力方面有欠缺;學(xué)生容易弄混相似的公式，區(qū)分不開公式適用的對象。

三、“圓”原非圓——教學(xué)啟示

（一）基礎(chǔ)知識的教學(xué)

對圓的基本性質(zhì)和定理的掌握是解題的前提。這種掌握不只在于知識的理解和記憶方面，也在于知識的靈活運(yùn)用方面。在今后的教學(xué)中，教師在講授基本性質(zhì)和定理時(shí)，就應(yīng)該以知識的實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)和導(dǎo)向，做好學(xué)情預(yù)測，強(qiáng)調(diào)知識的適用和隱含條件。此外，在遇到容易弄混的知識點(diǎn)時(shí)，要著重強(qiáng)調(diào)出來，幫助學(xué)生區(qū)分。

（二）解題思路的探索

每種類型的數(shù)學(xué)題都可以用到不同的思維方式。在圓的證明試題中，主要可以運(yùn)用分析、綜合等思維方法，在具體解題過程中，合情推理和演繹推理也是重要的解題思維。教師在講解分析這一類型的題目時(shí)，應(yīng)該更加重視思考步驟的呈現(xiàn)，以及思考方法的點(diǎn)撥，逐漸培養(yǎng)起學(xué)生在解題過程中審視自己在哪一步用到什么數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)慣;教學(xué)生大膽猜測、合情推理題目所考查的知識點(diǎn)，根據(jù)已知條件、圖形、結(jié)論或者假設(shè)的考查知識點(diǎn)作出演繹推理，在試錯與糾正的良性循環(huán)中培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題思維，做到“一題多證，一題多變”;幫助學(xué)生理清解題思路，使證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理。

總而言之，麗水中考數(shù)學(xué)中關(guān)于圓的試題體現(xiàn)了對學(xué)生知識和技能的雙重考查。在今后的教學(xué)中，教師要更加注重以課標(biāo)和考試要求為導(dǎo)向，以試題研究為突破口，調(diào)整教學(xué)策略和手段，全面提高學(xué)生對圓的基礎(chǔ)知識的掌握和運(yùn)用知識探究問題的能力。

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）