中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)分析教學(xué)的指導(dǎo)作用

徐凱 葉妍 付銳鋒 錢筱月 朱雪蓮

摘 要：本文主要通過(guò)梳理了高中數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)分析的知識(shí)線，尋找二者之間的聯(lián)系，期望能 通過(guò)學(xué)生們熟知的高中知識(shí)自然過(guò)渡到大學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生更好理解數(shù)學(xué)分析中較為抽象 的定義定理，能更熟練的應(yīng)用知識(shí)。從而做好初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接，做好大學(xué)數(shù) 學(xué)才學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)分析 銜接方式 才法學(xué)法

1引言

數(shù)學(xué)是一門緊密聯(lián)系實(shí)際而發(fā)展起來(lái)的學(xué)科，不論是小學(xué)的雞兔同籠問(wèn)題，亦或者 高中的三角函數(shù)問(wèn)題，乃至大學(xué)的微積分問(wèn)題，都是可以在現(xiàn)實(shí)中找到問(wèn)題的原型。這么 一門與生活實(shí)際相關(guān)的學(xué)科，在各個(gè)階段的銜接應(yīng)當(dāng)是非常流暢的。但實(shí)際情況卻迥然。 不少同學(xué)從高中數(shù)學(xué)向大學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)渡時(shí)出現(xiàn)斷層的現(xiàn)象，找不到兩者之間的聯(lián)系。因此， 從高中知識(shí)出發(fā)，找到貫穿數(shù)學(xué)分析的線索，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析從整體上有一個(gè)更為親 切的把握是必要的。針對(duì)斷崖，希望能有一個(gè)好的過(guò)渡。因此在講數(shù)學(xué)分析的時(shí)候，如何 能把高中數(shù)學(xué)的環(huán)境號(hào)到大學(xué)課堂，使得學(xué)生不至于很快脫離原情境，從而快速適應(yīng)高 校課堂是本文的一個(gè)核心。

2中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系

2.1中學(xué)數(shù)學(xué)

中學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)主要是一種靜態(tài)問(wèn)題的研究。其內(nèi)容以函數(shù)為主線，從兩個(gè)方向具 體展開(kāi)。其一，以函數(shù)為研究主體，首先號(hào)出了函數(shù)概念，初等函數(shù)及其性質(zhì)；繼而介紹 了兩種特殊的函數(shù)：具有周期性的函數(shù)一一三角函數(shù)，以正整數(shù)集或其有限子集為定義 域的函數(shù)一一數(shù)列。從正面出發(fā)讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念及其性質(zhì)有一個(gè)多方面、多角度的 深刻理解。其二，以函數(shù)為研究工具，把其他知識(shí)（方程、不等式、線性規(guī)劃等）納入其 中，從側(cè)面出發(fā)讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)思想的重要性，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活實(shí)際問(wèn)題。

2.2數(shù)學(xué)分析

數(shù)學(xué)分析表現(xiàn)在橫向、縱向交錯(cuò)；內(nèi)在層次、外在層次相互重疊，形成層層層疊疊的 多層次型的知識(shí)結(jié)構(gòu)。從橫的方向看，是以極限為工具研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積 性，構(gòu)成號(hào)論、微分學(xué)、積分學(xué)三大知識(shí)系統(tǒng)。從縱的方向看，是以一元函數(shù)的研究結(jié)果 為基礎(chǔ)，研究多元函數(shù)的性態(tài)，從而得到相應(yīng)的多元函數(shù)的微分學(xué)一一積分學(xué)。縱的方 向還包括對(duì)級(jí)數(shù)理論的研究，它是以極限、微分、積分的知識(shí)為基礎(chǔ)的。

2.3高中數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系

從培養(yǎng)目標(biāo)來(lái)看，不論是高中數(shù)學(xué)還是大學(xué)數(shù)學(xué)，其立足點(diǎn)都是著重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思 維的發(fā)展；根本的途徑都是基于對(duì)基本定理的理解即課本中的本原思想的理解，研究具 體題目與基本定理的聯(lián)系。

從知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，數(shù)學(xué)分析是高中數(shù)學(xué)知識(shí)研究到一定階段的必然產(chǎn)物。數(shù)學(xué)分析 的一些基本概念都是在研究初等數(shù)學(xué)有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)之上提出的。比如導(dǎo)數(shù)，是從代數(shù) 運(yùn)算直線斜率的基礎(chǔ)上，號(hào)入極限的思想，發(fā)展成為研究曲線某點(diǎn)切線斜率的工具；再如 積分，是在代數(shù)運(yùn)算直線或特殊曲線所圍成的平面圖形面積的基礎(chǔ)上，號(hào)入極限的思想， 發(fā)展成為求一般曲線所圍成面積的方法；無(wú)窮級(jí)數(shù)求和同樣也是在用代數(shù)運(yùn)算求有限項(xiàng) 之和的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。

2.4小結(jié)

從上述分析，我們提出了“以題應(yīng)知”的想法。受益于高中“題海戰(zhàn)術(shù)”的訓(xùn)練，初 入大學(xué)的學(xué)生對(duì)高中的典型例題還是較為熟悉的，那么我們是否可以用高中知識(shí)為題干 的題目出發(fā)，通過(guò)解題的方式，帶領(lǐng)學(xué)生完成從高中思維至大學(xué)思維的轉(zhuǎn)變，號(hào)出數(shù)學(xué)分 析中的本源知識(shí)的應(yīng)用。

3高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)分析的作用

3.1極限概念的應(yīng)用

在高中極限法只要是解選擇題或填空題的一種有效方法，根據(jù)題干條件，考慮極端 情況，有助于縮小選擇面，并能避開(kāi)抽象復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，降低結(jié)題難度；而在 大學(xué)極限法研究函數(shù)連續(xù)性，可微性，可積性的一個(gè)重要工具，數(shù)學(xué)分析之所以能解決初 等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題，如求瞬時(shí)速度、曲邊形面積等，正是因?yàn)樗捎昧藰O限的方法。 那么如何對(duì)二者進(jìn)行聯(lián)系呢？

例1 設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1， 和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則a的取值范圍是多少？

分析 構(gòu)造四面體ABCD，AB = AC = BD = CD = 1，BC = ，AD=a.

證法一：此題可看做繞BC旋轉(zhuǎn)時(shí)，求AD的取值范圍問(wèn)題，且旋轉(zhuǎn)是連續(xù)的，可以采用極限法研究其極限位置的取值，所以本題的處理方法如下：

已知當(dāng)A D，a 0；當(dāng)AM （M 為正方形BMCD的頂點(diǎn)，即△ABC與△BCD共面）時(shí)，a ，求得0

證法二：由這個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)特征可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，取底邊BC的中點(diǎn)E，連接AE和DE，得，則，AE = DE = ，設(shè)∠AED = θ，則有余弦定理得AD = f （θ） = （0<θ<π），因?yàn)樾D(zhuǎn)是連續(xù)的所以求得的函數(shù)也是連續(xù)，這道題本質(zhì)上研究的是連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限值就等于在該點(diǎn)處的函數(shù)值。

，

又因?yàn)閱握{(diào)遞增，可求出0

3.2函數(shù)方面應(yīng)用

3.2.1連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的介值性定理是函數(shù)的連續(xù)性這部分內(nèi)容的一個(gè)核心定理。對(duì)其做如下號(hào)

入設(shè)計(jì)：

例2 解不等式 .

分析 這是一個(gè)典型的解不等式問(wèn)題，高中的基本思路為平方展開(kāi)后解二次不等式。

解法一：兩邊平方化簡(jiǎn)后可得：

即：

即 ：

從而原不等式的解集為：

上述解法較為冗雜，我們至此給學(xué)生號(hào)進(jìn)新的解法二，介紹介值性定理。

分析 將上述不等式轉(zhuǎn)化為方程，然后構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用介值性定理確定解的區(qū) 間即可。

解法二 原式的定義域?yàn)閇?1，3]，令

那么f （x） = 0的兩個(gè)解為：

由此可以將定義域分為三個(gè)區(qū)間：

取0 ∈ I1， 1 ∈ I2， 2 ∈ I3，可得：f （0） > 0， f （1） < 0， f （2） < 0

從而原不等式的解集為：

3.2.2可微性

拉格朗日微分中值定理是函數(shù)的可微性這一塊知識(shí)中的一個(gè)重難點(diǎn)。由于定理是較 為抽象的，很多學(xué)生學(xué)完這部分的內(nèi)容仍然無(wú)法理解其本質(zhì)，最后將這個(gè)難懂而又重要 的定理以記英文單詞的方式記憶下來(lái)，看似掌握，實(shí)貝難以運(yùn)用。于是，我們?cè)O(shè)計(jì)以如下 例題號(hào)入：

例3 已知X>0，求證

證法一：記

對(duì)三個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)，可以得到：

觀察三個(gè)導(dǎo)函數(shù)，我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x > 0時(shí)

由（1）、（2）兩式可得；

證畢。

上述解法完全是基于高中的知識(shí)。作為剛從高中升入大學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是熟悉的。至此，號(hào)出另一種與拉格朗日微分中值定理相關(guān)的解法。

證法二： 記

由f （x）在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理，故?b ∈ （0， x），使得：

即

由0 < b < x 知：

那么

再由x>0，知

證畢。

通過(guò)創(chuàng)設(shè)這種熟悉的問(wèn)題情景，讓學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更好的去應(yīng)用。

3.2.3圖像

例5 畫(huà)出函數(shù) 的圖象，其中x ∈ R

分析 在高中時(shí)，對(duì)于函數(shù)圖像，我們可以通過(guò)L：，以及f ?。▁）來(lái)確定函數(shù)的大致位置

與增減性，從而知曉函數(shù)的大概圖像，對(duì)于更精確圖像，只能通過(guò)選點(diǎn)確定函數(shù)值來(lái)一一確定。

由法一：

1. 確定定義域：（?∞， 0） （0， +∞）.

2. 單調(diào)性：對(duì)f （x）求導(dǎo)，得：

令

（1） 當(dāng)x ∈ （?∞， ?1） （1， +∞）時(shí)， ，即f （x）為增函數(shù)。

（2） 當(dāng)x ∈ [?1， 0） （0， 1]時(shí)， ，即f （x）為減函數(shù)。

3. 值域 （?∞， ?2] [2， +∞）.

4. 奇偶性

故為奇函數(shù)。

5.描點(diǎn)

至此，我們可以確定出f （x）的大致圖像：

不難發(fā)現(xiàn)，在高中階段畫(huà)一個(gè)函數(shù)圖象較為復(fù)雜，并且精度也不高。至此，我們引入了函數(shù)圖像凹凸性、駐點(diǎn)、拐點(diǎn)、極值條件等知識(shí)。

畫(huà)法二：

所以，f （x）在x1處取極小值，此時(shí)f （1） = 2；在x2處取極大值，f （?1） = ?2；且f （x）在

（?∞， ?1）和（1， +∞）上增，在（?1， 0） 和（0， 1）上減。

2.

因?yàn)?恒不為0，故沒(méi)有拐點(diǎn)，從而f （x）在（0， +∞）為凹函數(shù)，在（?∞， 0）上為凸函數(shù)。

基于以上特征，我們可以得到一個(gè)較精確的函數(shù)圖象。

3.3 數(shù)列方面的應(yīng)用

例6 設(shè)函數(shù) ，若當(dāng) 時(shí)， ，求a的取值范圍。

分析 觀察發(fā)現(xiàn)，?1 ? x ? 這是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，我們可以利用其號(hào)出數(shù)學(xué)分析中級(jí)數(shù)部分的知識(shí)。

解法一：

，當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)等號(hào)成立。故 ，從而當(dāng) ，即 時(shí)， ，于是當(dāng) 。由 ，從而當(dāng) 時(shí)， ，故當(dāng) 時(shí)， ，而 ，于是 時(shí)， ，綜合得a的取值范圍為 。

對(duì)于這道題我們同樣可以從級(jí)數(shù)的方面出發(fā)：

在 處的泰勒級(jí)數(shù)是 ，在題目中我們運(yùn)用級(jí)數(shù)方面的知識(shí)， 帶入原函數(shù)中 ，a的取值范圍為 時(shí)，這是一個(gè)嚴(yán)格增函數(shù)，滿足題目中的條件；當(dāng) 時(shí)， 。在0的右領(lǐng)域內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)中的 ，都是 ，所以 。也就是當(dāng) 時(shí)，在0 的右領(lǐng)域內(nèi)，f （x） < 0。

在這道題目中，我們通過(guò)對(duì) 泰勒級(jí)數(shù)的分析，初步估計(jì)出了滿足題目條件的a的范圍，最后根據(jù)數(shù)學(xué)分析中知識(shí)，證明了我們所求a的范圍的正確性。

4結(jié)吾

如何處理好學(xué)生從高中數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)度是每一位數(shù)學(xué)才育研究者該思考的問(wèn)題，這一問(wèn)題的研究不僅能構(gòu)建學(xué)生連貫的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還能深化數(shù)學(xué)分析的才學(xué)質(zhì)量。可以說(shuō)這是數(shù)學(xué)才育創(chuàng)新改革的核心內(nèi)容與提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的關(guān)鍵，還需進(jìn)一步 的探索。

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作者簡(jiǎn)介：

第一作者簡(jiǎn)介：徐凱（1998.8），男，漢族，浙江溫州人，江蘇師范大學(xué)在讀。

第二作者簡(jiǎn)介：葉妍（1998.6），女，漢族，江蘇鹽城人，江蘇師范大學(xué)在讀。

第三作者簡(jiǎn)介：付銳鋒（1998.5），男，漢族，江蘇南京人，江蘇師范大學(xué)在讀。

第四作者簡(jiǎn)介：錢筱月（1998.2） 女 ，漢族，江蘇無(wú)錫人，江蘇師范大學(xué)在讀 。

第五作者簡(jiǎn)介：朱雪蓮（1997.12） 女，漢族，江蘇昆山人，江蘇師范大學(xué)在讀。