土工參數(shù)概率特性的貝葉斯優(yōu)化估計(jì)

徐志軍 張健 肖昭然 劉軍

摘要：足量精確的土工參數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)是計(jì)算其均值和標(biāo)準(zhǔn)方差的關(guān)鍵，在工程實(shí)際中，受到各種不確定性因素的影響，獲得足量精確的數(shù)據(jù)較為困難?；跀?shù)理統(tǒng)計(jì)方法，建立土工參數(shù)數(shù)據(jù)優(yōu)化處理模型，將數(shù)據(jù)優(yōu)化處理為“好數(shù)據(jù)”和“一般數(shù)據(jù)”，剔除離散性較大的數(shù)據(jù);利用隨機(jī)加權(quán)法將數(shù)據(jù)量較小的“好數(shù)據(jù)”和“一般數(shù)據(jù)”進(jìn)行加權(quán)處理。最后利用貝葉斯方法對(duì)土工參數(shù)概率分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差進(jìn)行優(yōu)化估計(jì)。通過算例分析表明：貝葉斯優(yōu)化后的標(biāo)準(zhǔn)方差大大降低;貝葉斯優(yōu)化后的概率分布均值與“好數(shù)據(jù)”的均值相差很小，但與一般數(shù)據(jù)的均值和所有數(shù)據(jù)的均值相差較大。證明了貝葉斯優(yōu)化后的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差更接近工程實(shí)際，由此估計(jì)出的工程安全性更加科學(xué)合理。

關(guān)鍵詞：土工參數(shù);概率特性;貝葉斯優(yōu)化;均值;標(biāo)準(zhǔn)方差

中圖分類號(hào)：TU413.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000- 1379.2019 .01. 022

土工參數(shù)的概率特性是巖土工程可靠度研究的基礎(chǔ)，參數(shù)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和數(shù)據(jù)樣本的容量決定了概率分布特性[1]。在實(shí)際工程中，受各種不確定性因素的影響，如取樣的擾動(dòng)、試驗(yàn)誤差、測(cè)量工具和方法的不穩(wěn)定、土層本身固有的變異性等，要獲得足量準(zhǔn)確的土工參數(shù)數(shù)據(jù)是非常困難的[2-4].因此在巖土工程中需要對(duì)收集到的土工參數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理，在此基礎(chǔ)上研究其概率分布。黃天朗等[2]提出了利用勒讓德多項(xiàng)式和第二類切比雪夫多項(xiàng)式擬合參數(shù)概率分布，并給出了區(qū)間取值方法。王新等[3]利用隨機(jī)加權(quán)法，提出了小樣本情況下巖土參數(shù)概率分布的多項(xiàng)式擬合方法。駱飛等[4]分析了巖土參數(shù)小樣本t分布法區(qū)間估計(jì)存在的問題，利用Bootstrap法對(duì)巖土參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，得出了數(shù)據(jù)區(qū)間估計(jì)和點(diǎn)估計(jì)。孟慶山等[5]利用概率理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論給出了土工參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，并將其應(yīng)用到工程實(shí)際。宮鳳強(qiáng)等[6]基于信息擴(kuò)散原理，給出小樣本下巖土力學(xué)參數(shù)概率密度函數(shù)擬合方法。徐志軍等[7]分析了利用經(jīng)典概率分布（譬如正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和貝塔分布等）擬合巖土參數(shù)概率分布的不足，采用最大熵原理和隨機(jī)加權(quán)法給出了巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的求解方法。

以上研究主要集中在概率擬合精度和小樣本擬合方法上，這些研究未考慮參數(shù)數(shù)據(jù)“質(zhì)量好壞”的問題。本文基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，建立土工參數(shù)數(shù)據(jù)優(yōu)化處理模型，將數(shù)據(jù)優(yōu)化處理為“好數(shù)據(jù)”和“一般數(shù)據(jù)”，剔除離散性較大的數(shù)據(jù)：利用隨機(jī)加權(quán)法將數(shù)據(jù)量較小的“好數(shù)據(jù)”和“一般數(shù)據(jù)”進(jìn)行加權(quán)處理：最后利用貝葉斯方法對(duì)土工參數(shù)概率分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差進(jìn)行了優(yōu)化估計(jì)。

1 土工參數(shù)數(shù)據(jù)的處理方法

在巖土工程中，工程勘測(cè)通過不同手段如現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)、室內(nèi)模型試驗(yàn)、鉆探等可獲得土的物理參數(shù)數(shù)據(jù)（孔隙比、塑性指數(shù)、液限等）和力學(xué)參數(shù)數(shù)據(jù)（抗剪強(qiáng)度、壓縮模量等）。這些參數(shù)數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)中受到各種不確定性因素的影響，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)具有較大的變異性。不確定性主要有土層本身固有的空間變異性、取樣的擾動(dòng)、試驗(yàn)誤差、尺寸效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)等，因此需要對(duì)參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理，剔除那些離散性較大的數(shù)據(jù)。

“壞數(shù)據(jù)”的離散性較大，在實(shí)際工程中可能受到各種因素的影響，是“錯(cuò)誤的”，會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成較大誤差，因此在計(jì)算中需要剔除“壞數(shù)據(jù)”。

根據(jù)式（4），若得到的“好數(shù)據(jù)”很少，則由此得到的概率統(tǒng)計(jì)特性就不準(zhǔn)確。為了解決這一問題，首先利用隨機(jī)加權(quán)法將“好數(shù)據(jù)”加權(quán)為大樣本，統(tǒng)計(jì)得到加權(quán)后的概率特性：然后利用貝葉斯方法對(duì)加權(quán)后的數(shù)據(jù)概率特性進(jìn)行優(yōu)化。

2 基于隨機(jī)加權(quán)法的貝葉斯優(yōu)化

鄭忠國(guó)[9]詳細(xì)論證了隨機(jī)加權(quán)法可以有效地解決小樣本問題。因此，本文利用式（9）對(duì)處理后的土工參數(shù)“好數(shù)據(jù)”進(jìn)行加權(quán)處理，得到概率分布的均值、方差和變異系數(shù)。

2.2 貝葉斯優(yōu)化方法

貝葉斯統(tǒng)計(jì)是基于已有數(shù)據(jù)計(jì)算條件概率的統(tǒng)計(jì)方法。在巖土工程中，將已有的土工參數(shù)數(shù)據(jù)作為待分析數(shù)據(jù)，其概率分布為先驗(yàn)分布。利用概率理論對(duì)先驗(yàn)概率分布進(jìn)行更新和校正。假設(shè)統(tǒng)計(jì)的土工參數(shù)

3 實(shí)例分析

文獻(xiàn)[2]收集了10組土工參數(shù)數(shù)據(jù)，本文選用其中的6個(gè)參數(shù)數(shù)據(jù)，見表1。文獻(xiàn)[2]通過分析得出這些數(shù)據(jù)的精確性不高，擬合出的概率特性不夠準(zhǔn)確，需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理。

利用式（4）對(duì)表1中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理，處理結(jié)果見表2和表3。其中內(nèi)摩擦角25號(hào)數(shù)據(jù)，內(nèi)聚力1、17號(hào)數(shù)據(jù)，壓縮系數(shù)17號(hào)數(shù)據(jù)的偏差因子大于等于0.5，離散性較大，對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)造成較大誤差，在統(tǒng)計(jì)中應(yīng)剔除。

由文獻(xiàn)[2]可知，液性指數(shù)、孔隙比、內(nèi)摩擦角、塑性指數(shù)、內(nèi)聚力和壓縮系數(shù)分別服從正態(tài)分布、正態(tài)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、貝塔分布、貝塔分布。由概率統(tǒng)計(jì)理論可知，概率分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差是其兩個(gè)最重要的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。利用本文提出的隨機(jī)加權(quán)法（加權(quán)系數(shù)為60）和貝葉斯優(yōu)化方法對(duì)每個(gè)土工參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差進(jìn)行優(yōu)化處理，優(yōu)化結(jié)果見表4。由表4可以看出，優(yōu)化后數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差小于好數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差，好數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差小于所有數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差，而一般數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差比所有數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差大。譬如，對(duì)于內(nèi)摩擦角，貝葉斯優(yōu)化后的數(shù)據(jù)、好數(shù)據(jù)、所有數(shù)據(jù)和一般數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差分別為1. 72、2.58、5.12、6.26，相差較大，說明貝葉斯優(yōu)化后數(shù)據(jù)的離散性降低，數(shù)據(jù)更接近工程實(shí)際。另外，優(yōu)化后的數(shù)據(jù)均值與好數(shù)據(jù)的均值相差很小，但與所有數(shù)據(jù)和一般數(shù)據(jù)的均值相差較大。因此，經(jīng)過優(yōu)化后的數(shù)據(jù)更加精確可靠。

4 結(jié)論

為了處理土工參數(shù)數(shù)據(jù)“質(zhì)量好壞”問題，建立了優(yōu)化處理模型，利用隨機(jī)加權(quán)法和貝葉斯方法研究了土工參數(shù)數(shù)據(jù)概率特性的估計(jì)方法，通過研究得到以下結(jié)論：

（1）本文提出的數(shù)據(jù)處理方法可將統(tǒng)計(jì)的土工測(cè)試數(shù)據(jù)中離散性較大的數(shù)據(jù)剔除，大大減小計(jì)算誤差。

（2）貝葉斯優(yōu)化后數(shù)據(jù)的離散性大大降低，數(shù)據(jù)更接近工程實(shí)際。優(yōu)化后的數(shù)據(jù)均值與好數(shù)據(jù)的均值相差很小，但與所有數(shù)據(jù)和一般數(shù)據(jù)的均值相差較大。因此，經(jīng)過優(yōu)化后的數(shù)據(jù)更加精確可靠。

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