“無(wú)限性”該如何引入？

周曉婷

“線(xiàn)段、直線(xiàn)、射線(xiàn)”是人教版四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”單元的起始課。學(xué)生曾在二年級(jí)直觀地接觸過(guò)線(xiàn)段，四年級(jí)的學(xué)習(xí)則更注重概念本質(zhì)的理解。本節(jié)課，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有兩個(gè)難點(diǎn)，一是對(duì)于直線(xiàn)、射線(xiàn)的無(wú)限性抽象認(rèn)知，二是對(duì)三種線(xiàn)的表示方法的理解。筆者個(gè)人認(rèn)為，只有深刻感受無(wú)限性，才能理解概念符號(hào)表征的不同。因此，情境創(chuàng)設(shè)和學(xué)習(xí)載體選擇至關(guān)重要。

一、第一次教學(xué)：借助具象，發(fā)揮想象

【情境】外線(xiàn)發(fā)射器

1.觀察與想象

觀察第一條線(xiàn)：紅外線(xiàn)發(fā)射器。

師：如果把它想象地足夠細(xì)，把它看作是一條線(xiàn)段的話(huà)，那么它的兩個(gè)端點(diǎn)在那里？為了記寫(xiě)方便，我們把它記作1號(hào)線(xiàn)。

觀察第二條線(xiàn)：紅外線(xiàn)發(fā)射器一端射出光。

師：現(xiàn)在老師打開(kāi)按鈕，請(qǐng)大家仔細(xì)看，有一束光線(xiàn)從里面射出，如果這一束光線(xiàn)射出去，沒(méi)有阻擋，這條線(xiàn)又是從哪兒到哪兒？（從一端出發(fā)，到無(wú)限遠(yuǎn)的地方）把這條線(xiàn)記作2號(hào)線(xiàn)。

觀察第三條線(xiàn)：紅外線(xiàn)發(fā)射器兩端射出光。

師：如果老師手中的這個(gè)教鞭，兩個(gè)方向都有光線(xiàn)射出去，且沒(méi)有阻擋，這條線(xiàn)又是從哪兒到哪兒？（這邊的無(wú)限遠(yuǎn)到那邊的無(wú)限遠(yuǎn)）我們把它記作3號(hào)線(xiàn)。（并板書(shū)③）

2.比較異同，發(fā)現(xiàn)特征

學(xué)生區(qū)分三條線(xiàn)的不同點(diǎn)。（從端點(diǎn)、延長(zhǎng)、度量）

對(duì)學(xué)生而言，只要能看到軀體全貌，就是有限的，永遠(yuǎn)無(wú)法看到全貌，就是無(wú)限的。筆者嘗試想象推理的過(guò)程，就需要借助對(duì)“實(shí)物”的判定來(lái)展開(kāi)。借助紅外線(xiàn)教具，引導(dǎo)學(xué)生插上想象的翅膀，在學(xué)生的頭腦中建立起初步表象，讓學(xué)生同時(shí)直觀地感悟線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)三種線(xiàn)，體會(huì)到無(wú)限延長(zhǎng)和無(wú)限遠(yuǎn)的含義?？稍趯?shí)際教學(xué)中卻出現(xiàn)了兩場(chǎng)意想不到的風(fēng)波：

【課堂風(fēng)波1】點(diǎn)與端點(diǎn)的不理解

學(xué)習(xí)任務(wù)：與同桌討論一下，直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段有什么不同？

師：說(shuō)說(shuō)直線(xiàn)的特征呢？

生1：直線(xiàn)沒(méi)有端點(diǎn)，可以無(wú)限延長(zhǎng)，不可測(cè)量。

生2：我不同意，我覺(jué)得直線(xiàn)有兩個(gè)端點(diǎn)的，那延長(zhǎng)出去的點(diǎn)，不是有兩個(gè)嗎？

生1：我說(shuō)的是端點(diǎn)，它們不是端點(diǎn)。

師：其他同學(xué)認(rèn)為呢？

生3：我也覺(jué)得是兩個(gè)，就是剛剛的教具的點(diǎn)。

師：那兩個(gè)是直線(xiàn)上的點(diǎn)，并非是端點(diǎn)。

（不少學(xué)生還是不理解）

由于受紅外線(xiàn)發(fā)射器兩個(gè)端點(diǎn)的影響，在歸納直線(xiàn)特征時(shí)，不少學(xué)生認(rèn)為直線(xiàn)有兩個(gè)端點(diǎn)。實(shí)際上是直線(xiàn)上的點(diǎn)與直線(xiàn)的端點(diǎn)產(chǎn)生了混淆。在小學(xué)階段，教材里沒(méi)有對(duì)點(diǎn)的概念進(jìn)行教學(xué)，以直觀感知為主，學(xué)生也很難理解直線(xiàn)上的到處都是點(diǎn)，直線(xiàn)是由點(diǎn)移動(dòng)形成的。學(xué)生區(qū)分和理解直線(xiàn)上的點(diǎn)與直線(xiàn)上的端點(diǎn)存在一定的難度。

【課堂風(fēng)波2】點(diǎn)有大小之分

學(xué)習(xí)任務(wù)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)呢，你能畫(huà)幾條直線(xiàn)呢？

學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了不少孩子畫(huà)出了兩條直線(xiàn)，學(xué)生的解釋為只要碰到點(diǎn)的邊就可以了，可以畫(huà)很多條。（如右圖）

從這一教學(xué)片段來(lái)看，問(wèn)題的關(guān)鍵是學(xué)生把“點(diǎn)”進(jìn)行了放大，而在數(shù)學(xué)概念中，“點(diǎn)”是沒(méi)有大小之分，線(xiàn)也沒(méi)有粗細(xì)之分。如果學(xué)生能明白“點(diǎn)”，那么就不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題了。

二、第二次教學(xué)：抓住本質(zhì)，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)

兩次風(fēng)波，都是由“點(diǎn)”引起的?！包c(diǎn)”是所有數(shù)學(xué)幾何的基礎(chǔ)，由“點(diǎn)”到“線(xiàn)”，由“線(xiàn)”到“面”，由“面”到“體”。點(diǎn)組成各種各樣的線(xiàn)，曲的線(xiàn)、直的線(xiàn)都是由點(diǎn)組成的。直的線(xiàn)，根據(jù)其端點(diǎn)的不同，分為直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)。基于概念本質(zhì)屬性，我重新創(chuàng)設(shè)了情境，并進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

【情境】點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)

1.感知點(diǎn)和線(xiàn)

師：（出示一個(gè)點(diǎn)）看到了什么？聯(lián)想到了什么？（人、物等）

師：（出示三個(gè)大小不同的點(diǎn)）哪個(gè)點(diǎn)表示汽車(chē)合適？

小結(jié)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所有點(diǎn)是一樣的，點(diǎn)沒(méi)有大小。

師：（汽車(chē)行駛），點(diǎn)形成了線(xiàn)，線(xiàn)也沒(méi)有粗細(xì)。

2.感知線(xiàn)段的形成過(guò)程

用手指在桌面上確定一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，畫(huà)了一條線(xiàn)。（如右圖）

學(xué)生把這些線(xiàn)分類(lèi)。（曲的線(xiàn)、直的線(xiàn)）

師：能找出我們學(xué)過(guò)的一條線(xiàn)？（線(xiàn)段）

演示點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)段的過(guò)程，學(xué)生指出兩個(gè)端點(diǎn)。

師：如果點(diǎn)再往左邊動(dòng)，還是線(xiàn)段嗎？現(xiàn)在的端點(diǎn)在哪里？

師：這個(gè)點(diǎn)（指著之前線(xiàn)段的端點(diǎn)）就不是端點(diǎn)了，只是線(xiàn)段上的一個(gè)點(diǎn)。線(xiàn)段上這樣的點(diǎn)還有嗎？（有，無(wú)數(shù)個(gè)）

小結(jié)：線(xiàn)段……有始有終。

3.感知射線(xiàn)和直線(xiàn)形成過(guò)程

師：點(diǎn)繼續(xù)動(dòng)，一直沿著直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)下去會(huì)到哪里？會(huì)怎么樣？（到無(wú)限遠(yuǎn)的地方、沒(méi)有終點(diǎn)等等）

師：把線(xiàn)段一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到了一條射線(xiàn)。（演示了不同方向的射線(xiàn)）

小結(jié)：射線(xiàn)……有始無(wú)終。

如果點(diǎn)換個(gè)方向移動(dòng)，一直直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)下去，會(huì)怎么樣？（顯示不同方向的射線(xiàn)）

師：生活中哪些可以想象成射線(xiàn)？（學(xué)生自由答，教師給予適當(dāng)補(bǔ)充）

師：如果線(xiàn)段向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，再延長(zhǎng)，會(huì)怎么樣？（演示動(dòng)畫(huà)）

小結(jié)：直線(xiàn)……無(wú)始無(wú)終。

首先，通過(guò)演示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成線(xiàn)，理解線(xiàn)的形成過(guò)程，明確點(diǎn)無(wú)大小之分，線(xiàn)無(wú)粗細(xì)之分。其次，將點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)形成的線(xiàn)，進(jìn)行分類(lèi)，確定研究的重點(diǎn)為直的線(xiàn)。第三，突出線(xiàn)段“有限性”，理解“無(wú)限性”。理解直線(xiàn)和射線(xiàn)的“無(wú)限性”，不僅需要一定的想象力作支撐，更需要對(duì)“有限性”形成真正的理解。點(diǎn)的移動(dòng)形成線(xiàn)段，再由線(xiàn)段某一個(gè)端點(diǎn)的繼續(xù)無(wú)限移動(dòng)，形成射線(xiàn)。這就是以有限性為基礎(chǔ)，利用想象推理，讓學(xué)生感知無(wú)限性。教師對(duì)于點(diǎn)與端點(diǎn)的追問(wèn)，進(jìn)一步有效深化了“無(wú)限性”的特征。

優(yōu)質(zhì)的情境創(chuàng)設(shè)，凸顯概念本質(zhì)特性，尋找合適的表征方式尤為總要。重視幾何圖像形成的過(guò)程，點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，同時(shí)抓住“線(xiàn)段”這一邏輯起點(diǎn)，充分發(fā)揮學(xué)生想象力，經(jīng)歷從線(xiàn)段的兩端向外無(wú)限延長(zhǎng)、從有端點(diǎn)到?jīng)]有端點(diǎn)、從有限長(zhǎng)度到無(wú)限長(zhǎng)度的過(guò)程，經(jīng)由模糊的自我感知到多元表征表達(dá)，深刻體會(huì)三線(xiàn)之間的聯(lián)系與區(qū)別，為今后進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三線(xiàn)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。