提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力探析

陳岸強(qiáng)

摘要：本文從三個方面論述了怎樣提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力：適時增加追問，給予思考的時間；小組合作探究；設(shè)計題目時層層遞進(jìn)，增加坡度。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；理解力；追問；合作探究；坡度

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號體系、獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、形象的圖像語言，因此它具有高度抽象、邏輯嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。正是由于存在這些特點(diǎn)，造成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的困難，而要讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，必須提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。理解力是對某個事物或事情的認(rèn)識、認(rèn)知、轉(zhuǎn)變過程的能力。怎樣提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力呢？

一、增加追問。給予時間思考

數(shù)學(xué)教學(xué)不是僅僅告訴學(xué)生做什么、怎樣做，更重要的是能夠讓學(xué)生在弄清楚“解題思路是怎樣想到的”的基礎(chǔ)上，掌握探尋解題思路的方法，從而使學(xué)生在脫離教師之后，同樣可以獨(dú)立完成。因此，教師不能僅僅教學(xué)生如何解答，更要從題目中深挖一些相關(guān)問題，讓學(xué)生加以思考，舉一反三，觸類旁通，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

【例1】如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD在兩直角邊上。（1）如果設(shè)矩形的一邊AB=xcm，矩形ABCD的面積為yc㎡，那么AD邊的長度如何表示？（2）設(shè)矩形ABCD的面積為yc㎡，當(dāng)x取何值時v的值最大，最大值是多少？

在教學(xué)過程中，在解答這道題之后，可以對這道題的解法和解題思路進(jìn)行簡單回顧、反思，同時可以對這道題的第（1）問作變式，加以追問，讓學(xué)生理解這一類題的解法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力：如果把直角三角形變成銳角三角形，把矩形變成正方形，情況又是怎樣的呢？

【例2】如圖，一張銳角三角形的硬紙片.AD是BC邊上的高.BC=30cm.AD=20cm。從這張硬紙片上剪下一個正方形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC和AB上，求這個正方形的邊長。

這個計算難不倒學(xué)生，可以利用相似的解答得到答案，不同的是利用了“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”這一原理。如果再追問幾個問題，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)的理解能力會更有幫助：

（1）在現(xiàn)實(shí)生活中，在已知數(shù)據(jù)的條件下，怎樣在銳角三角形鐵皮上裁剪出面積最大的正方形，并使得正方形的一條邊在三角形的邊BC上呢？

（2）由計算轉(zhuǎn)變?yōu)樽鲌D：利用尺規(guī)作圖一一任意三角形的內(nèi)接正方形。

（3）如圖，把三角形變成扇形，如何作出扇形的內(nèi)接四邊形CDEF？要求使得C、D在CB上，EF分別在弧AB和半徑OA上，或者C、D在弧AB上，E、F分別在半徑OA、OB上。

通過這一系列的追問、計算與作圖，經(jīng)過學(xué)生的思考、教師的點(diǎn)撥，從不同的方面、不同的角度思考問題，激發(fā)了學(xué)生的思維，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

二、通過小組合作探究。共享各自的思路

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教學(xué)中我們常會見到，同一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，相同的訓(xùn)練過程、一樣的強(qiáng)化時間，不同的學(xué)生卻會有不同的表現(xiàn)，相同的題目也會有不同的理解與解法。這時，小組探索與合作交流，分享各自的想法，共同討論各自的疑惑與困難，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

【例3】如圖，已知線段AB=6cm，P是線段AB上一動點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊△PAE和等邊△PBF。（1）G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)A移動到點(diǎn)邯寸，G點(diǎn)移動的路徑長度為_______。

（2）C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時，G點(diǎn)移動的路徑長度為_____。

這是一道有關(guān)動點(diǎn)問題的題目，許多學(xué)生都能得到正確答案，但移動的路徑是什么很多學(xué)生卻回答不上來。為什么能得到正確答案呢？他們尋找的是特殊點(diǎn)：（1）當(dāng)點(diǎn)P移動到A點(diǎn)時，APAE變成一個點(diǎn)，而APBF變成最大的一個等邊三角形，此時點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)。（2）當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，那么點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長度即為以AB為邊的等邊三角形的一條中位線，長度為AB的一半，所以G點(diǎn)移動的路徑長度為3。但為什么可以這樣做，很多學(xué)生說不出所以然，也不知怎樣把過程表達(dá)出來，因此這時可以讓學(xué)生小組合作討論“G點(diǎn)移動的路徑是什么，長度怎樣求”等問題。經(jīng)過討論，有些組的學(xué)生得到了下列做法：延長AE與BF相交于點(diǎn)M，連接MP，MF∥EP，ME∥FP，所以四邊形MEPF是平行四邊形，則對角線EF與MP的交點(diǎn)即為G，所以就轉(zhuǎn)化求MP的中點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡，它的軌跡就是等邊AABM的中位線，即一條平行于AB且長度為3的線段。另外，有些組利用了梯形的中位線來說明問題。通過討論，一部分有思路但不知如何下筆的學(xué)生，條理變得非常清晰，另一部分毫無頭緒的學(xué)生思路也變得豁然開朗。在課堂上，當(dāng)學(xué)生存在疑惑，或是思考、探索有困難時，又或者是在解答開放性題目時，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行小組合作探究，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

三、層層遞進(jìn)。增加坡度

綜觀歷年中考試題，總有幾個綜合性問題，這類試題常將多個知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法綜合在一起，有一定的難度。這類題要求學(xué)生能綜合應(yīng)用所學(xué)知識和思想方法進(jìn)行求解，而學(xué)生對此經(jīng)常感到束手無-策。因此，在平時的課堂上，教師應(yīng)多讓學(xué)生進(jìn)行綜合性題目的練習(xí)，把難的題目進(jìn)行分解，層層遞進(jìn)，設(shè)計不同的坡度，讓學(xué)生有個適應(yīng)的階梯，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

【例4】拋物線y=1/4（x-1）2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對稱軸BC與X軸交于點(diǎn)C。（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長。（2）點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ。①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置，其中一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上。求直線BQ的函數(shù)解析式。②若含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

這幾問在編排上有起點(diǎn)低、坡度緩、難點(diǎn)分散但綜合程度高的特點(diǎn)。第（1）問求是求與v軸的交點(diǎn)及求頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。第（2）問的第①小題中含45。角的直角三角板的放置，為第②小題中含30。角的直角三角板的放置起到了很好的示范作用，學(xué)生可以按圖2把等腰直角三角板想象成/DCE=30°或/DCE=60°，為學(xué)生順利解題提供了導(dǎo)向。在課堂教學(xué)中，特別是在復(fù)習(xí)階段，遇到一些綜合性較強(qiáng)的題目時，教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生先把題目進(jìn)行分解，分成幾個簡單的題目，一步步接近目標(biāo)，變難為易，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力。

提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解力不是一朝一夕的事情，而是一個長期累積的過程。只要教師在平時的教學(xué)中站在學(xué)生的角度去思考問題、設(shè)置問題，適時增加追問，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，對難題進(jìn)行分解，久而久之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理解能力就會得到提高。