結(jié)合新教材利用GeoGebra動態(tài)幾何軟件的數(shù)學(xué)教學(xué)改革與創(chuàng)新

曾純一 魏剛

少數(shù)民族預(yù)科數(shù)學(xué)教育是一項任重道遠而意義深遠的長期工作，預(yù)科階段對學(xué)生來說不僅僅是高中知識到本科知識的轉(zhuǎn)折和過渡，更是在思想、意志、人生觀形成、轉(zhuǎn)變的一個重要環(huán)節(jié)；特別是對于預(yù)科文科生及新疆兩年制學(xué)生來說學(xué)好高數(shù)首先要作好心態(tài)的調(diào)整，考慮到部分雙語學(xué)生漢語語言基礎(chǔ)較差和對數(shù)學(xué)定理定義的理解能力較弱的真實現(xiàn)狀，我們以新編教材和教學(xué)大綱為依托，立足于促進預(yù)科學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展的基本出發(fā)點，處處體現(xiàn)出預(yù)科數(shù)學(xué)課程的設(shè)置的基本目的不只是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和方法，而是有著更為寬廣的內(nèi)涵：讓學(xué)生愿意親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)；發(fā)展學(xué)生的理性精神、創(chuàng)新意識和實踐能力；所以我們要深度挖掘教材內(nèi)涵，精妙設(shè)計教學(xué)過程，通過橫向縱向新舊知識的類比，肩負起讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得成功的體驗，磨練克服困難的意志，建立自信的重要使命，我們要試圖找到預(yù)科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個個思維激活點，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，力求在高中三年教學(xué)內(nèi)容及高考命題研究的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合為基礎(chǔ)循序漸進地完成從靜態(tài)的初等數(shù)學(xué)觀點到動態(tài)的高等數(shù)學(xué)觀點的過渡，同時做好在預(yù)科已有的知識框架下的查漏補缺工作和數(shù)學(xué)思維模式的轉(zhuǎn)變，淡化他們對高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)課程的陌生感。眾所周知，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，克萊因反復(fù)強調(diào)的一個教育原則：即是一定要按照學(xué)生的認知規(guī)律進行教學(xué)。具體說來，要由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象，由感性到理性等。所以接下來我們重點強調(diào)幾何的形象問題對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義及作用。特別針對一些預(yù)科學(xué)生感覺抽象的無限分化和無限動態(tài)逼近的過程，利用GeoGebra動態(tài)幾何軟件的形象、直觀、生動的感官優(yōu)勢，可以通過拖動滑動條，設(shè)置參數(shù)的不同區(qū)間值以及精準地控制趨近速度把一個個動態(tài)無限逼近過程體現(xiàn)得淋漓盡致，同時還可以橫向比較出不同函數(shù)的趨近速度以及快捷地通過改變參數(shù)正負取值清楚地演示出雙側(cè)趨近或單側(cè)趨近的動態(tài)結(jié)果并進行分析對比。接下面我們就結(jié)合新教材中極限和導(dǎo)數(shù)部分相關(guān)知識做進一步的研究和教學(xué)探討：

（1）由于GeoGebra是一款界面為中文菜單的動態(tài)圖形軟件，能方便快捷地生成交互式的動態(tài)圖形模式，并且有專門的微積分工具欄，對于學(xué)生學(xué)習(xí)理解微積分中的動態(tài)無限逼近或一些抽象定理結(jié)論有更加直觀、形象的感受，由于不用編代碼就可以直接使用，GeoGebra也具有很強的可操作性，但我們不能在本文中直接呈現(xiàn)其優(yōu)良的動態(tài)交互式形態(tài)，接下來我們就盡量用通俗易懂的描述性語言和GeoGebra動態(tài)交互模式下的截圖，探究在函數(shù)極限這部分課程中運用GeoGebra圖形軟件呈現(xiàn)問題的過程。

例如 在GeoGebra動態(tài)交互模式下探究函數(shù) 在 處的單側(cè)及雙側(cè)極限是否存在？

分析：指令欄中輸入：if[x=0，0，x^2 sin（1/x）]

系統(tǒng)在繪圖區(qū)立刻生成為紅色曲線的圖像，默認為函數(shù) ，然后生成滑動條a（其中a的范圍0～0.3，增量0.005，x軸y軸是由向量u，v表示的）當(dāng)取a=0.15的截圖如下圖所示；

再從滑動條分別取a=0.07，a=0.025，a=0.01，…的變化中，可以讓學(xué)生很直觀形象地觀察得出此函數(shù)當(dāng)自變量從右側(cè)單向趨于0時的極限變化過程（如果讓滑動條a連續(xù)變化，讓滑動條a自動交互式變換效果會更好）。同理通過生成不同的滑動條類似可以讓同學(xué)們真切觀察出當(dāng)自變量從左側(cè)單向或雙向趨于0時的極限值的變化趨勢，還可以通過對目標(biāo)函數(shù)的局部拉伸和放大縮小來觀察它的左極限和右極限確實都在無限逼近（越來越靠近原點）。

（2）教材中凹凸性的判定定理的推導(dǎo)可以利用函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的聯(lián)系，借助圖形讓學(xué)生對二階導(dǎo)數(shù)與凹凸性的關(guān)系先有一個具體直觀的認識，這樣比先直接用中值定理證明更易讓學(xué)生接受，并且所用推導(dǎo)工具又和前面一節(jié)的單調(diào)性知識點密切相關(guān)，既起到承上啟下的作用，又作到新舊知識的自然過渡。

同學(xué)們通過這種親身參與的這個探究數(shù)學(xué)過程設(shè)計，獲得了愉悅的成功體驗，把找到的導(dǎo)數(shù)隨角度的增加而增大或減小規(guī)律提煉成對應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)的結(jié)論后也便于記憶和理解。

（3）對于學(xué)生普遍覺得較難的不等式證明部分，除了利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，凹凸性外，例如新教材中的例題 ：當(dāng) 時，證明不等式 成立。還可以形象巧妙地用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來理解，即不等式的左邊函數(shù)對應(yīng)于的這條直線可以看成在原點處右邊這個函數(shù)的切線。

而且進一步推廣上述結(jié)論，利用這種導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理不等式的方法還可以類似解決不等式 和求出滿足不等式 的 最小值（考查參變分離法的2013年高考壓軸題）。

雖然數(shù)學(xué)是一門依托嚴密的邏輯推理能力得到精準結(jié)果的抽象學(xué)科，但每一個數(shù)學(xué)問題的探討和解決過程的體驗對于培養(yǎng)預(yù)科學(xué)生的意志力有很好的幫助，但應(yīng)注意的是當(dāng)學(xué)生的認知水平與所作題目不平衡時，不經(jīng)意間做錯或不會做的幾道題又最容易讓學(xué)生滋生挫敗感，因此，在定理概念的講解時，在情景問題設(shè)置中，在例題、習(xí)題的挑選中，必須把握好“深”與“廣”的尺度。從事預(yù)科數(shù)學(xué)教育工作，需要很多的技巧，使用靈活多樣方法，充分考慮少數(shù)民族預(yù)科學(xué)生的實際情況，把握形成較大個體差異的因素（外在、內(nèi)在、情感、態(tài)度、方法），針對這個過渡階段的教學(xué)特點，多思考，想辦法，幫助學(xué)生調(diào)整到一個積極求知的心態(tài)，建立學(xué)習(xí)高數(shù)的熱情與自信，在高中初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)知識進行查漏補缺，運用高等數(shù)學(xué)知識來化簡理解初等數(shù)學(xué)方法，做到新舊知識自然過渡，補預(yù)結(jié)合，使學(xué)生有向往新知識的學(xué)習(xí)動力，及學(xué)習(xí)能力的全面提高。

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[5]顧泠沅. 尋找中間地帶：國際數(shù)學(xué)教育改革的大趨勢。2003. 上海：上海教育出版社.

項目編號：2013zc77。

作者簡介：

曾純一，女，1980-01-12出生，四川自貢人，研究方向：函數(shù)論，講師，單位：西南民族大學(xué)。

魏剛，男，1978-3-31出生，四川崇州人，中學(xué)教育，中學(xué)一級，單位：四川師范大學(xué)附中。