“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)初中生思維能力

李國(guó)堅(jiān)

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，是學(xué)生思考和解答問(wèn)題的基本方法，亦是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中，教師要有意滲透這一思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的同時(shí)，感受、理解并逐步掌握和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。在實(shí)際生活中，往往遇到的是具體的形象的“形”，而在數(shù)學(xué)中就是一般的抽象的“數(shù)”，讓學(xué)生將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路，也是鍛煉提高學(xué)生應(yīng)用能力的必經(jīng)之路。

以數(shù)化形抽象問(wèn)題具體化

利用數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)化形，將抽象復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，幫助學(xué)生輕松找到解答方法，極大地提高了教學(xué)效率。抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的特性之一，它使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言更加簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，同時(shí)也使數(shù)學(xué)問(wèn)題更加深?yuàn)W，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)異常難學(xué)。數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象的數(shù)量關(guān)系使得學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確理順和把握，而借助數(shù)學(xué)圖形就能夠直觀、形象地展現(xiàn)。如利用數(shù)軸能清晰比較出有理數(shù)的大小。在處理方程問(wèn)題時(shí)，一般是將方程的根看作函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如此以來(lái)，學(xué)生能夠畫(huà)出函數(shù)圖象也就確定了方程的解。這樣不僅簡(jiǎn)化了問(wèn)題本身，使學(xué)生解題速度得到提高，更為重要的是極大地提高了學(xué)生解題的準(zhǔn)確率。

利用以數(shù)化形能夠幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地理解抽象問(wèn)題，如美國(guó)第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德用3個(gè)直角三角形非常巧妙地證明了勾股定理。即用3個(gè)直角三角形巧妙組成一個(gè)直角梯形，利用3個(gè)三角形的面積之和等于梯形面積，從而得出“直角三角形的兩條直角邊平方和等于斜邊的平方”。借助以數(shù)化形，定理的證明就非常簡(jiǎn)單，學(xué)生也容易掌握接受，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

以形變數(shù)確定具體數(shù)量

圖形能夠更加直觀地展示各數(shù)量之間的關(guān)系，但很多時(shí)候要求解出具體數(shù)值，則需要借助代數(shù)計(jì)算，否則就很難確定具體的數(shù)量。如下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第（1）個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第（2）個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第（3）個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，按此規(guī)律排下去，第（9）個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為多少？這個(gè)題目如果按照常規(guī)做法，一步一步把對(duì)應(yīng)的菱形畫(huà)出，難度很大，學(xué)生也不易理解。如果我們將圖形化為數(shù)字求解，那么答案就直接算出來(lái)了：第（1）個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，3=12+2;第（2）個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，7=22+3;第（3）個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，13=32+4……，第（n）個(gè)圖形中菱形個(gè)數(shù)為：n2+n+1，所以第（9）個(gè)圖形中一共有92+9+1=91個(gè)菱形。從圖形上看起來(lái)求解難的問(wèn)題，利用代數(shù)計(jì)算很簡(jiǎn)單;所以，圖化為數(shù)不僅解決了求值問(wèn)題，更讓學(xué)生挖掘出了圖形中的隱含條件，理清數(shù)量之間的關(guān)系，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字極大地鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維，其實(shí)，很多公式的推導(dǎo)都是利用這一方法。進(jìn)入中學(xué)階段，幾何問(wèn)題難度越來(lái)越大，需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力以解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題。從“形”化為“數(shù)”，是具體問(wèn)題一般化了，也就是讓學(xué)生掌握了正確的解題思想和解題方法，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

形數(shù)互變培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在解答實(shí)際問(wèn)題，尤其是綜合題目時(shí)，我們需要用到的不是單純“以形變數(shù)”或“以數(shù)化形”，而是要它們相互轉(zhuǎn)化。也就是說(shuō)題目中有的數(shù)要化為形幫助學(xué)生清晰確定其數(shù)量關(guān)系，而有些形又要借助代數(shù)計(jì)算才能得到求解，要根據(jù)具體題目合理地選用“以形變數(shù)”和“以數(shù)化形”方法，并將其有效結(jié)合，形數(shù)互化，最終準(zhǔn)確求解。如在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系及函數(shù)時(shí)，教師就要給學(xué)生留下遇到函數(shù)問(wèn)題就會(huì)想起數(shù)形結(jié)合的印記，適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，完美地詮釋數(shù)形的結(jié)合。將函數(shù)引入平面直角坐標(biāo)系之后，那么就可以利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題了?？偨Y(jié)起來(lái)，實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)、不等式集中代表了初中階段的“數(shù)”，而直線（包含數(shù)軸）、角、圓、拋物線等則集中代表了初中階段的“形”。在教學(xué)中、學(xué)生解答問(wèn)題的過(guò)程中，教師都要積極灌輸數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合使學(xué)生的思維更加開(kāi)闊，積極探尋出數(shù)形關(guān)系，找到問(wèn)題解答方法。華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合思想之所以在解答問(wèn)題時(shí)應(yīng)用廣泛，在于具有極大的靈活性與創(chuàng)造性，所以其不是固定的，教師交給學(xué)生的是思想方法，而學(xué)生要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題恰當(dāng)靈活選擇，學(xué)生多練習(xí)多使用，教師多引導(dǎo)，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就能得到相應(yīng)的鍛煉和提升。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變能幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確解決復(fù)雜問(wèn)題。在實(shí)際教學(xué)中，教師將數(shù)形結(jié)合思想滲透在概念的定義和講解中，滲透于具體題目的解答之中，使其貫穿整個(gè)初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如遇思維困境，要及時(shí)改變思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，用“形”啟迪“數(shù)”，以“數(shù)”界定“形”，形數(shù)互化培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：廣東省開(kāi)平市月山初級(jí)中學(xué)）