數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題的探究

張秀麗

摘 要：通過線性規(guī)劃類的習(xí)題，鍛煉了學(xué)生們的思考能力與動手能力，充分展現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”，所以線性規(guī)劃問題在中學(xué)數(shù)學(xué)考試中是熱門話題。此文將會羅列在中學(xué)數(shù)學(xué)各種考試中出現(xiàn)的線性規(guī)劃典型例題，展現(xiàn)這個問題的多樣性，從而展開對中學(xué)數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題的探究，同時從一定角度總結(jié)概括解決這類問題的方法。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;圖解法;中學(xué)數(shù)學(xué)

1.引言

國家多次對中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)加以改革，在原先的教學(xué)大綱與現(xiàn)行的《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，都要求學(xué)習(xí)“簡單的線性規(guī)劃”這一部分。在新版中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，線性規(guī)劃即使用圖解法處理線性規(guī)劃問題。學(xué)生在畫圖的過程中得到線性規(guī)劃問題的答案，亦或是得出此線性規(guī)劃問題無解的答案，這個過程就是圖解法。

2.一馬平川型問題

對教材中的知識進(jìn)行直接考察、不添加任何改變與加工是這類問題的特點，更為直接，學(xué)生們在心理上較容易接受。通過以下幾個例題來了解一下這類題目：

例1：若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值和最小值分別為（ ）

A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0

由題中已知條件，可快速求得約束條件限定的范圍，然后依照目標(biāo)函數(shù)的意義，直接得出正確答案。其實在解決這類題目的過程中，對題目提供的可行域與目標(biāo)函數(shù)意義加以分析，方能求出目標(biāo)函數(shù)的正確答案。這個過程和教材里提到線性規(guī)劃求解這一部分時的例題解答過程十分相似，方法幾乎一模一樣。以此為基礎(chǔ)，也有許多相似的問題。

例2：若變量x，y滿足約束條件，則z=y-ax的最大值的最優(yōu)值不唯一，a的值為（）

A.1/2或-1 B.1/2或2 C.1或2 D.2和-1

此類問題與上類問題整體解題思路基本相同，可快速求得變量可行區(qū)域。但是，求解這類問題時要以前一種題目為基礎(chǔ)，進(jìn)一步理解目標(biāo)函數(shù)的概念與意義。在解決問題的過程中，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)哪嫦蛩季S，對于目標(biāo)函數(shù)求最佳解的常用方法與理解加以運(yùn)用，才能取得正確結(jié)果。整個過程難度適中，大量的教學(xué)實踐可以證明，這類問題對于學(xué)生來講容易理解且掌握。那么上述就是一馬平川型問題，考察的內(nèi)容清晰、明確，學(xué)生在做題過程中有明確的方向，而在可行域作圖過程中學(xué)生一般不會遇到很大麻煩。這種類型的題目難在充分理解目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)同學(xué)們在中學(xué)時期認(rèn)識幾種常見目標(biāo)函數(shù)幾何意義后，這種問題難度都不會很大。

3.重巒疊嶂型問題

重巒疊嶂型問題是線性規(guī)劃問題的另一種考察方式，然而，并非直接解決教材例題。此類問題牽扯“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題”的能力加以考察，將題目中所包含的已知條件進(jìn)行充分探索，把看到的陌生題目經(jīng)過思考轉(zhuǎn)化成熟悉的線性規(guī)劃問題。在這當(dāng)中，典型問題就是將“一元二次函數(shù)根的存在性”和“線性規(guī)劃”相結(jié)合。因為兩個問題都屬于熱點問題，確實存在一定難度，尤其是二者相互之間無明顯關(guān)聯(lián)，因此在兩個問題結(jié)合在一起時，經(jīng)常讓人覺得此種問題有重巒疊嶂的感覺。

例3：已知x2-mx+n=0有兩個實數(shù)根α、β，滿足條件1<α<2<β，則m2+n2的取值范圍為：（）

從題面來看，此題在考察一元二次函數(shù)根的分布情況，仿佛與線性規(guī)劃無關(guān)。在分析過程中可以看到原方程符合下列條件：，也就是。所以原先的問題可以轉(zhuǎn)變成：“已知變量m，n的可行域是，那么求目標(biāo)函數(shù)z=m2+n2的取值范圍”在這個問題中，我們已知目標(biāo)函數(shù)的含義即可行域中的點（m，n）到（0，0）的距離的平方。可畫可行域如下：

那么在前面問題轉(zhuǎn)化后，先前的問題就可以轉(zhuǎn)化成第一類問題，此時牽扯到的目標(biāo)函數(shù)取值范圍就很容易求出來。

參考文獻(xiàn)

[1]季香覓，袁子淇.論數(shù)形結(jié)合思想在解決中學(xué)數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用[J].信息記錄材料，2017，18（4）：114-116.