簡述等價轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運用

白天秀

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)既要熟練把握基礎(chǔ)理論內(nèi)容，還要注重思想學(xué)習(xí)。在許多數(shù)學(xué)思想方式中，轉(zhuǎn)化思想屬于學(xué)生解題時常常采取一種的方法，其還是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)最關(guān)鍵的一種思想方式。經(jīng)過初步研究該思想于高中數(shù)學(xué)答題中的使用，提升高中生的解題水平。本文介紹了高中數(shù)學(xué)答題時，等價轉(zhuǎn)化可以為很多題目的解答指明方向：把陌生題目熟悉華、把繁瑣題目簡單化、把抽象題目具體化等。

關(guān)鍵詞：等價轉(zhuǎn)化方式;高中數(shù)學(xué);解題分析

等價轉(zhuǎn)化思想主要指在研究與解答各種數(shù)學(xué)題目時，采取某種手段和技巧，將問題轉(zhuǎn)化到一類已處理、或是比較容易解答的問題，從而解決難題的一種思路與方式。在等價轉(zhuǎn)化時，通常是由繁到簡、由難到易，指對原來題目中的條件加以整理、變化、轉(zhuǎn)變，最終把原問題劃歸成簡單的與熟悉的題目。老師在數(shù)學(xué)解題環(huán)節(jié)，要重視引導(dǎo)高中生采取等價轉(zhuǎn)化方式答題。

1、把陌生題目熟悉化

在高中數(shù)學(xué)答題環(huán)節(jié)，經(jīng)常將陌生的題目轉(zhuǎn)變?yōu)榱私獾膯栴}，然后通過既定的方式答題，數(shù)列遞推解通向問題的方法就是該種等價轉(zhuǎn)化方式的表現(xiàn)。

【例1】：已知函數(shù)f（x）=x/（3x+1），數(shù)列{an}符合a1=2，an+1=f（an）（n∈N*），計算數(shù)列{an}的通項式子。

分析：該題若賦值求解，難度很大，但是，如果將數(shù)列{an}的遞推公式加以整理變化，就可以轉(zhuǎn)化為高中生了解的等差數(shù)列，就極易求得通項式子。

解：通過已知條件得到，an+1=an/（3an+1）

∴1/（an+1）=1/an+3，即1/（an+1）-1/an=3

∴數(shù)列{1/an}屬于首項a1=1，公差d為3的等差數(shù)列

∴1/an=1+（n-1）×3=3n-2，所以，an=n∈N*/（3n-2）。

這題主要將解數(shù)列{an}的通項式子經(jīng)過變形轉(zhuǎn)變成解數(shù)列{1/an}的通項式子，即變?yōu)榻鈱W(xué)生了解的等差數(shù)列的通項式子[1]。為此，部分數(shù)列盡管不是等差和等比數(shù)列，但高中生能夠通過調(diào)整、化簡，轉(zhuǎn)變成了解的特別數(shù)列來求解。該種將陌生問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜栴}的變化方式在數(shù)學(xué)解題方面使用十分普遍。

【例2】：設(shè)函數(shù)f（x）于R上的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），對x∈R，f'（x）

解析：這題的題干非常簡單，但難以找出答題思路，通過仔細分析后，能把已知條件實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化，即：

f（1-a）-1/2《f（a）-a，

從而得出：

f（1-a）-a2-2a+1/2《f（a）-（2a+a2-2a）/2。

然后建立函數(shù)F（x）=f（x）-x2/2，通過已知條件f'（x）-x<0得知，函數(shù)F（x）于定義域范圍單調(diào)遞減。因此，由F（1-a）《F（a），獲得1-a》a，最終求解a的取值范圍是a《1/2。

該題將本來看著陌生、難以解答的題目，基于等價轉(zhuǎn)化變?yōu)榱私獾暮瘮?shù)的單調(diào)性題目來求解，轉(zhuǎn)化以后的結(jié)構(gòu)函數(shù)屬于解題的要點，而最開始的等價轉(zhuǎn)化才屬于解題的核心。

2、把繁瑣題目簡單化

針對部分數(shù)學(xué)難題，由正面直接回答或以特殊方式解答較為繁瑣，如果可以轉(zhuǎn)化解答思路和改變考量問題的方向，通常能夠?qū)⒎爆嵉膯栴}變?yōu)楹唵?，解答起來也較為快速。

【例3】：已知a+b+c=1，a、b、c都大于0，證明：1/a+1/b+1/c》9。

解析：這題如果采取常規(guī)辦法，將1/a+1/b+1/c通分，那么計算會非常繁瑣，且難以達到證明的要求。分析這式的特征，能夠通過有效轉(zhuǎn)化，借助已知條件a+b+c=1，1/a+1/b+1/c》9左邊的1能夠以a+b+c來替代，從而能化簡不等式，然后依靠基本不等式證明，就能夠解答問題。

證明：1/a+1/b+1/c=（a+b+c）/a+（a+b+c）/b+（a+b+c）/c=3+（b/a+a/b）+（c/a+a/c）+（c/b+b/c）》3+2+2+2=9，因此命題可證。

求證不等式時，一般借助已知條件經(jīng)過核實轉(zhuǎn)化，把未知的條件等價轉(zhuǎn)變成熟悉的已知條件，以既定的辦法去處理實際難題[2]。要注意找出問題上的已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系，找到隱含條件，將繁瑣的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^簡單、極易回答的問題。

3、把抽象題目具體化

在數(shù)學(xué)解題時，常常會遇到很多抽象的數(shù)學(xué)題目，這些題目通常給出的條件很少，難以直接解答或推導(dǎo)，要求進行主動等價轉(zhuǎn)化，方可變?yōu)榫唧w化、極易求解的數(shù)學(xué)題目[3]。

【例4】：設(shè)定義于R上的函數(shù)f（x）符合f（x）·f（x+2）=13，如果f（1）=2，解f（99）的值。

解析：這是一道抽象函數(shù)題目，未給出函數(shù)的部分性質(zhì)，直接解答基本是不可能的。因此要對已知條件實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)變：

∵f（x+2）=13/f（x），

∴f（x+4）=13/f（x+2）=13/13/f（x）=f（x），

∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，同時T=4，那么f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13/f（1）=13/2。

將抽象題目具體化屬于數(shù)學(xué)解題過程常見的轉(zhuǎn)化方式，在抽象問題和具體函數(shù)之間形成聯(lián)系，進而將抽象題目具體化。

4、結(jié)束語

總之，等價轉(zhuǎn)化方式在高中數(shù)學(xué)大題中有非常重要的作用，老師要指引高中生注重等價轉(zhuǎn)化方式在解題中的使用。但是，因為等價轉(zhuǎn)化方式比較靈活，答題時應(yīng)先規(guī)劃好等價轉(zhuǎn)化方式與思路，生搬硬套，導(dǎo)致解題錯誤。要指導(dǎo)高中生將數(shù)學(xué)問題，由高次轉(zhuǎn)化為低次，變成較為簡單的題目;或是由抽象轉(zhuǎn)化為具體，變成較為直觀的題目;或是由非標準型轉(zhuǎn)化為標準型，變成學(xué)生所了解的公式和結(jié)論;或是把非線性題目轉(zhuǎn)化成線性問題;變?yōu)橐话愕拇鷶?shù)計算等。根據(jù)這些原則來解題，能暢通無阻的處理很多高中數(shù)學(xué)題目。老師在解題教學(xué)過程，要常常滲入等價轉(zhuǎn)化方式，如此就能夠提高高中生的數(shù)學(xué)解題水平，還能夠培養(yǎng)高中生良好的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。

參考文獻

[1]郭軍紅.注重等價轉(zhuǎn)化思想提高數(shù)學(xué)解題能力[J].河北理科教學(xué)研究，2018（1）：1-3.

[2]徐玉明.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效運用[J].高考，2017（21）：234-235.

[3]郭軍紅.注重等價轉(zhuǎn)化思想提高數(shù)學(xué)解題能力[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2017（4）：5-7.