基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)初探

羅國宇　葉琦旦

摘? 要：材料力學(xué)是機(jī)械類工科專業(yè)本科生必修的一門重要課程。然而，傳統(tǒng)的材料力學(xué)教學(xué)過于注重基礎(chǔ)理論知識的講授和解題技巧的訓(xùn)練，在理論聯(lián)系實(shí)際方面存在不足。文章以數(shù)值模擬為手段，嘗試將課題式教學(xué)的理念引入材料力學(xué)教學(xué)過程，給出了基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)設(shè)計(jì)的一般方法和一個(gè)具體的示范教學(xué)案例。該方法有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的科學(xué)素養(yǎng)以及提升利用計(jì)算機(jī)解決工程實(shí)際問題的能力，在教學(xué)實(shí)踐中取得了良好的效果。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué);數(shù)值模擬;課題式教學(xué)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）16-0082-04

Abstract： Mechanics of materials is an important compulsory course for students majoring in mechanical engineering. However， the traditional teaching methods of material mechanics pays too much attention to the classroom instruction of basic theoretical knowledge and the training of problem solving skills， and there are shortcomings in integrating theory with practice. By means of numerical simulation， this paper attempts to introduce the idea of project-based instruction into the teaching process of material mechanics， and gives a general method and a specific demonstration case. This method is helpful to cultivate students' scientific literacy of analyzing and solving problems， and to improve their ability of solving practical engineering problems with computers. It has achieved good results in teaching practice.

Keywords： mechanics of materials; numerical simulation; project-based instruction

材料力學(xué)是機(jī)械類工科專業(yè)本科生必修的學(xué)科基礎(chǔ)骨干課程，在整個(gè)課程體系中占據(jù)著承上啟下的重要位置。然而，一般的材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)模式大多還是沿襲傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)，與產(chǎn)業(yè)發(fā)展的技術(shù)方向和就業(yè)需求的聯(lián)系不夠緊密，與“新工科建設(shè)”的內(nèi)涵與要求相比存在較大的差距。例如，傳統(tǒng)的材料力學(xué)僅研究最簡單的桿件系統(tǒng)，其理論知識很難直接應(yīng)用于工程實(shí)際問題。目前工業(yè)界對于復(fù)雜的工程問題已經(jīng)能夠大量運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)值模擬軟件進(jìn)行分析解決，而傳統(tǒng)的材料力學(xué)教學(xué)過程過于強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)理論知識的講授和解題技巧的訓(xùn)練，忽略了學(xué)生對于現(xiàn)代建模分析工具的掌握，導(dǎo)致學(xué)生只能解決書本上的簡單問題，就業(yè)后面對工程中復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)卻無從下手。針對以上問題，國內(nèi)高等院校在材料力學(xué)課程體系、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)方法改革等方面進(jìn)行了大量的嘗試，取得了一定的成果。例如，一方面，在教學(xué)過程中通過引入工程案例，采用項(xiàng)目式、課題式教學(xué)法，以課題研究為導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際的分析能力[1-4];另一方面，在教學(xué)手段上，通過引入有限元數(shù)值模擬技術(shù)，以更加直觀形象的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的不足，增加教學(xué)過程的趣味性[5-11]。本文嘗試將以上兩個(gè)方面的有益經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合，提出基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)模式，并給出一個(gè)示范教學(xué)的典型案例。

一、思路與方法

基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)的基本思路是：以工程實(shí)際需求為導(dǎo)向，將材料力學(xué)課程中的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容提煉成一系列課題;學(xué)生在教師的指導(dǎo)下應(yīng)用數(shù)值模擬軟件完成課題研究。通過課題式的訓(xùn)練，學(xué)生將對相關(guān)知識點(diǎn)獲得更加深刻的理解，初步掌握力學(xué)有限元數(shù)值模擬應(yīng)用技能，提升利用計(jì)算機(jī)解決工程實(shí)際問題的能力，為進(jìn)一步深造研究打下良好的基礎(chǔ)，或?yàn)橐院蟮木蜆I(yè)提供更強(qiáng)的競爭力。

課題式教學(xué)是將學(xué)習(xí)、設(shè)計(jì)、研究貫穿于課程教學(xué)始終的一種教學(xué)模式，它打破了舊模式下的滿堂灌，學(xué)生在教師指導(dǎo)下開展學(xué)習(xí)、研究、討論和設(shè)計(jì)，把教、學(xué)、做三者有機(jī)地結(jié)合在一起[2]。與傳統(tǒng)的傳遞——接受式教學(xué)模式相比，課題式教學(xué)在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)形式和教學(xué)評價(jià)方面都有很大的不同，其最大的特點(diǎn)就是把教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段課題化，強(qiáng)調(diào)理論知識與工程實(shí)踐的有機(jī)融合，重視學(xué)生綜合素質(zhì)與技能的培養(yǎng)，重視學(xué)生主體作用和學(xué)習(xí)主動(dòng)性的發(fā)揮。

力學(xué)問題的數(shù)值模擬一般是指應(yīng)用有限元分析理論在計(jì)算機(jī)上建立模擬真實(shí)工況的力學(xué)模型，通過數(shù)值計(jì)算獲得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變等結(jié)果，并以可視化的形式進(jìn)行展示的方法。數(shù)值模擬技術(shù)在工程界已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、優(yōu)化等方面發(fā)揮了越來越重要的作用。將數(shù)值模擬技術(shù)引入材料力學(xué)課題式教學(xué)過程，可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生較早地接觸工程CAE的思想，提升利用計(jì)算機(jī)解決工程實(shí)際問題的能力。目前流行的通用型有限元數(shù)值模擬軟件大多具有友好的人機(jī)交互界面、清晰的建模流程以及完善的前后處理功能，均可應(yīng)用于本文所述的材料力學(xué)課題式教學(xué)?？紤]到大多數(shù)本科生不具備有限元分析的理論基礎(chǔ)，在教學(xué)中應(yīng)盡量避免讓學(xué)生過多地糾結(jié)于數(shù)值模擬過程的具體細(xì)節(jié)，而是更多地聚焦于對力學(xué)問題本身的研究，充分利用交互式的數(shù)值模擬技術(shù)對材料力學(xué)問題依賴某些參數(shù)變化的規(guī)律獲得更加直觀形象的深刻理解。

二、課題式教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

考慮到目前各高校材料力學(xué)課堂教學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)普遍非常緊張的現(xiàn)狀，本文所提出的課題式教學(xué)主要以學(xué)生興趣小組的形式利用課外時(shí)間來完成。在實(shí)施過程中教師僅需在適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)進(jìn)行少量的課堂講解，這樣既不會(huì)對傳統(tǒng)的課堂教學(xué)造成較大的影響，還能有效提高課堂教學(xué)的效果，成為課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充。根據(jù)筆者教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，本文將基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)過程主要按照“課題準(zhǔn)備-課題實(shí)施-考核與評價(jià)”三個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，其中每個(gè)環(huán)節(jié)的具體內(nèi)容如下：

（一）課題準(zhǔn)備

課題式教學(xué)的開展需要以學(xué)生具備基本的材料力學(xué)基本概念和知識為前提，因此該項(xiàng)工作宜安排在學(xué)期中后期進(jìn)行。課題準(zhǔn)備是整個(gè)教學(xué)過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，充分的課題準(zhǔn)備工作是后續(xù)環(huán)節(jié)得以順利開展的必要條件。因此，在課題準(zhǔn)備階段教師需要花費(fèi)一定的精力主要做好以下三個(gè)方面的工作。

1. 示范教學(xué)

教師可結(jié)合材料力學(xué)課程教學(xué)的實(shí)際進(jìn)程，選擇一個(gè)典型的材料力學(xué)問題作為示范教學(xué)的案例，采用課堂教學(xué)的形式，利用大約1個(gè)學(xué)時(shí)的時(shí)間，給學(xué)生詳細(xì)演示針對給定問題進(jìn)行課題式研究的全過程。通過示范教學(xué)可以讓學(xué)生對課題式研究的基本方法和流程，以及數(shù)值模擬軟件的使用建立起初步的概念，同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)行課題式研究的興趣。本文后面給出了一個(gè)針對薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式應(yīng)用范圍進(jìn)行研究的示范教學(xué)案例，以供參考和借鑒。

2. 選題與分組

在課題的選擇上，采用教師指定題目與學(xué)生自選題目相結(jié)合的形式。一方面，教師通過對材料力學(xué)課程知識體系的研究分析，把一些重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容提煉成一系列課題供學(xué)生選擇;另一方面，也鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己的興趣和特長自行擬定研究課題。每個(gè)課題都應(yīng)圍繞著具有啟發(fā)性的工程實(shí)際背景展開，具有明確的目標(biāo)，且適合于利用數(shù)值模擬軟件進(jìn)行研究。選題確定后，以課題任務(wù)書的形式進(jìn)行明確。學(xué)生按照所選課題進(jìn)行自由組合分組，每個(gè)課題小組的人數(shù)控制在4～6人，并在小組內(nèi)指定一名學(xué)生擔(dān)任組長，負(fù)責(zé)課題的組織、協(xié)調(diào)與推進(jìn)。另外，組長應(yīng)將組內(nèi)學(xué)生按照特長和知識經(jīng)驗(yàn)的差異進(jìn)行合理分工，以保證每位學(xué)生都能積極主動(dòng)地參與課題研究的全過程。

3. 數(shù)值模擬軟件學(xué)習(xí)

教師針對材料力學(xué)問題數(shù)值模擬的特點(diǎn)，選擇合適的數(shù)值模擬軟件，編寫一份簡明的軟件操作手冊發(fā)給學(xué)生進(jìn)行軟件使用的學(xué)習(xí)。該操作手冊應(yīng)包含一個(gè)數(shù)值模擬案例的完整操作步驟。學(xué)生按照操作手冊的指引一步步動(dòng)手操作完成案例分析的全過程，花大約1周的時(shí)間即可初步掌握使用軟件進(jìn)行幾何建模、定義約束、施加載荷、網(wǎng)格劃分、計(jì)算、后處理的基本技能。

（二）課題實(shí)施

考慮到各個(gè)課題所涉及的材料力學(xué)知識點(diǎn)不一樣，具體課題的實(shí)施時(shí)間需要與課程教學(xué)進(jìn)程相銜接，因此可以考慮采用分批啟動(dòng)的方式來進(jìn)行。每個(gè)課題實(shí)施的周期大約控制在2周以內(nèi)。課題實(shí)施環(huán)節(jié)主要包含以下內(nèi)容：

1. 分析問題

首先由教師引導(dǎo)學(xué)生理解與課題相關(guān)的概念、背景和理論知識，提出解決問題的技術(shù)路線建議。學(xué)生則根據(jù)任務(wù)書的要求明確研究目標(biāo)，然后帶著問題去查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，并以小組為單位對搜集到的資料進(jìn)行分析、提煉與總結(jié)，確定課題研究的初步思路。這一階段重點(diǎn)鍛煉學(xué)生查閱、分析資料的能力，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

2. 確定研究方案

學(xué)生在掌握相關(guān)理論知識并進(jìn)行文獻(xiàn)資料分析的基礎(chǔ)上，通過小組討論確定課題研究方案。研究方案應(yīng)有具體的研究內(nèi)容和研究計(jì)劃，并根據(jù)課題組成員的特長和能力進(jìn)行分工。在這一階段，教師不宜過度參與，僅在必要時(shí)輔助學(xué)生對課題方案進(jìn)行適當(dāng)?shù)目尚行苑治觥?/p>

3. 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

學(xué)生在課題組內(nèi)協(xié)同完成所選問題的力學(xué)建模與數(shù)值計(jì)算，通過調(diào)節(jié)某些參數(shù)來研究相關(guān)問題依賴參數(shù)變化的規(guī)律，最后得到研究結(jié)論并撰寫研究報(bào)告。在這一階段，教師主要利用課外時(shí)間解答學(xué)生關(guān)于軟件操作的問題，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)值模擬結(jié)果的正確性進(jìn)行分析。

（三）考核與評價(jià)

考慮到每個(gè)課題的啟動(dòng)與完成時(shí)間不一樣，考核與評價(jià)工作也可分批次進(jìn)行。每個(gè)課題組應(yīng)提交研究報(bào)告，并向全班學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)和演示。這一階段教師主要針對在研究過程中出現(xiàn)的難點(diǎn)問題和共性問題進(jìn)行講解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，并采用學(xué)生自評、小組互評和教師評價(jià)的方式對每個(gè)課題組的工作進(jìn)行發(fā)展性和過程性的評價(jià)，評價(jià)結(jié)果以一定比例計(jì)入每個(gè)學(xué)生的課程成績。通過把課題研究的過程與效果納入課程的評價(jià)體系，在一定程度上改進(jìn)了傳統(tǒng)上考試決定成績的單一評價(jià)方式。

三、示范教學(xué)案例

示范教學(xué)是課題式教學(xué)過程中課題準(zhǔn)備環(huán)節(jié)的一個(gè)重要內(nèi)容。通過教師對典型材料力學(xué)問題進(jìn)行課題式研究全過程的演示與講解，旨在讓學(xué)生對課題研究的基本方法和流程，以及數(shù)值模擬軟件的使用建立起初步的概念。下面以薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式應(yīng)用范圍研究為例，給出一個(gè)具體的示范教學(xué)案例。

（一）問題導(dǎo)入

一般材料力學(xué)教材給出的薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的橫截面切應(yīng)力公式如下：

式中T為橫截面上的扭矩，δ為圓筒壁厚，r0為圓筒的平均半徑。

公式（1）是基于“薄壁”和“切應(yīng)力在截面上均勻分布”的假設(shè)推導(dǎo)出來的，其實(shí)質(zhì)上計(jì)算的是薄壁圓筒橫截面上的平均切應(yīng)力。但是在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對于圓筒的壁厚在什么范圍內(nèi)才算是薄壁，該公式的計(jì)算誤差隨壁厚的變化有什么規(guī)律等問題，學(xué)生往往感到迷惑。因此，這個(gè)問題非常適合作為一個(gè)小課題，應(yīng)用本文提出的課題式教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展性研究。

（二）分析問題

首先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到薄壁圓筒是空心圓軸的一個(gè)特例，而一般空心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力公式易推導(dǎo)得到如下形式：

式中T為橫截面上的扭矩，D和d分別為空心圓軸的外徑和內(nèi)徑。顯然公式（2）也適用于計(jì)算薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力，且具有更高的精度，因此其計(jì)算結(jié)果可作為參考的基準(zhǔn)。

其次，引導(dǎo)學(xué)生查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)刁海林[12]通過理論推導(dǎo)給出了薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的應(yīng)用范圍。王魁等[13]通過理論推導(dǎo)得到了空心軸機(jī)械強(qiáng)度計(jì)算的公式，并進(jìn)行了有限元數(shù)值模擬計(jì)算。這些工作可作為本課題研究的重要參考。

（三）確定研究方案

在以上分析基礎(chǔ)上，可以確定課題研究的方案：針對一個(gè)空心圓軸扭轉(zhuǎn)的具體實(shí)例，分別用公式（1）、公式（2）和數(shù)值模擬方法計(jì)算出空心軸壁厚從小到大變化時(shí)中間截面上的最大切應(yīng)力，然后以公式（2）的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，根據(jù)一般工程精度的要求來確定公式（1）的應(yīng)用范圍;同時(shí)將數(shù)值模擬計(jì)算的結(jié)果與公式（2）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較以驗(yàn)證數(shù)值模擬的正確性。

（四）數(shù)值模擬與結(jié)果分析

參考材料扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)的一般方法，選用空心圓軸的長度為120mm，外徑D為10mm，內(nèi)徑d隨k值變化，圓軸一端固定，另一端施加外力偶矩Me=5N·m。根據(jù)以上設(shè)定，可在數(shù)值模擬軟件中直接建立空心圓軸的幾何模型與物理模型，并生成有限元計(jì)算網(wǎng)格（圖1）。

為了考察壁厚變化時(shí)的截面應(yīng)力變化規(guī)律，引入相對壁厚系數(shù)k，建立空心圓軸壁厚與外徑和內(nèi)徑的聯(lián)系如下：

式中δ、D、d、d0分別為空心圓軸的壁厚、外徑、內(nèi)徑和平均直徑。令k取0到1區(qū)間內(nèi)的若干值分別進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算完成后經(jīng)后處理即可得到相關(guān)結(jié)果的可視化圖像。根據(jù)圣維南原理，載荷的施加方式僅對其作用區(qū)域附近的應(yīng)力分布影響較大，因此選用離力偶作用面較遠(yuǎn)的中間截面進(jìn)行切應(yīng)力分析。

圖2給出了數(shù)值模擬計(jì)算得到的k=0.5時(shí)空心圓軸中間截面的切應(yīng)力分布。從圖中可見截面內(nèi)切應(yīng)力的絕對值沿徑向由內(nèi)向外增大，且在離圓心距離相等的圓周上切應(yīng)力的大小相等。這個(gè)圖像與材料力學(xué)教材給出的結(jié)論是一致的，這也定性地驗(yàn)證了數(shù)值模擬計(jì)算的正確性。

圖2 空心軸中間截面切應(yīng)力分布（k=0.5095）

圖3給出了數(shù)值計(jì)算得到的空心圓軸中間截面最大切應(yīng)力隨k值變化曲線，同時(shí)還畫出了公式（1）和公式（2）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。從圖中可見，按公式（1）和公式（2）計(jì)算得到的曲線在左右兩端重合度較高，但在中部存在較大偏差。而數(shù)值模擬計(jì)算的結(jié)果與公式（2）計(jì)算的結(jié)果是幾乎重合的。

進(jìn)一步還可做相對誤差的分析。從圖4可見，用公式（1）計(jì)算的結(jié)果相對于用公式（2）計(jì)算的結(jié)果的相對誤差E1隨k值變化的曲線呈現(xiàn)為開口向下的拋物線形狀：當(dāng)k逐漸增大，也即壁厚逐漸增大時(shí)，切應(yīng)力的相對誤差E1也逐漸增大;當(dāng)k=0.41時(shí)，相對誤差E1達(dá)到最大值17.1%;之后隨著k值增大，相對誤差E1又逐漸減小。根據(jù)相對誤差應(yīng)滿足一般工程精度的要求（<5%），可對公式（1）的適用范圍作出量化界定：當(dāng)k∈（0，0.0563]時(shí)，E1<5%，空心圓軸可稱為“薄壁圓筒”，可用公式（1）計(jì)算;當(dāng)k∈[0.894，1）時(shí)，E1<5%，空心圓軸可稱作為“特厚壁空心圓軸”，也可用公式（1）進(jìn)行計(jì)算;當(dāng)k∈（0.0563，0.894）時(shí)，E1≥5%，需使用公式（2）進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)比較，該結(jié)果與文獻(xiàn)[12]給出的結(jié)論基本一致。從圖4還可看出，數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果相對于用公式（2）計(jì)算的結(jié)果的相對誤差E2在k值變化的整個(gè)范圍內(nèi)幾乎為0，這也定量地驗(yàn)證了數(shù)值模擬的正確性。

通過本示范案例的講解，一方面以直觀的形式很好地回答了“薄壁圓筒到底有多薄”的問題，加深了學(xué)生對該知識點(diǎn)的理解;另一方面也讓學(xué)生初步了解課題研究的完整流程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課題式教學(xué)的積極性。

四、結(jié)束語

本文以數(shù)值模擬技術(shù)為手段，將課題式教學(xué)的理念引入材料力學(xué)教學(xué)過程，給出了基于數(shù)值模擬的材料力學(xué)課題式教學(xué)設(shè)計(jì)的一般方法和一個(gè)具體的示范教學(xué)案例。教學(xué)實(shí)踐表明，通過將材料力學(xué)知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化成為一個(gè)個(gè)課題任務(wù)，將被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成為主動(dòng)探索式研究，能夠極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的理解。更有意義的是，通過課題式的訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的科學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也可以使學(xué)生初步掌握力學(xué)有限元數(shù)值模擬技術(shù)，提升利用計(jì)算機(jī)解決工程實(shí)際問題的能力。

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