創(chuàng)享模型思想：深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之簡道

楊貴

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增了“發(fā)展學(xué)生的模型思想”這一內(nèi)容，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[1]。那么，究竟什么是數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型思想？建立數(shù)學(xué)模型有什么現(xiàn)實(shí)意義？在教學(xué)實(shí)踐中又該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想？

一、明確模型思想內(nèi)涵，專業(yè)審視數(shù)學(xué)世界

那么，什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型思想？

數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語言、符號和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要是確定性數(shù)學(xué)模型。廣義地講，一般表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。[2]。

什么是數(shù)學(xué)模型思想？

數(shù)學(xué)模型思想是指針對問題構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)思想。從發(fā)展進(jìn)程來看，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在不斷地抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。

二、堅守數(shù)學(xué)模型道義，自覺踐行數(shù)學(xué)建模

（一）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映

1.數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。

2.人們在以數(shù)學(xué)方式研究具體問題時，是通過分析、比較、判斷、推理等思維活動，來探究、挖掘具體事物的本質(zhì)及關(guān)系的，而最終以符號、模型等方式將其間的規(guī)律揭示出來，使復(fù)雜的問題本質(zhì)化、簡潔化，甚至將其一般化，使某類問題的解決有了共同的程序與方法。

（二）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問題解決的有效形式

1.數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題的過程。

2.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有科學(xué)方法論的屬性，數(shù)學(xué)思想方法是人們研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、解決問題的重要策略。而建立數(shù)學(xué)模型，研究數(shù)學(xué)模型，正是問題解決過程中的中心環(huán)節(jié)，是決定問題解決程度如何的關(guān)鍵。

（三）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程改革的重要任務(wù)

1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中最重要的部分，就是數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng)、算法系統(tǒng)、關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容?？梢赃@樣說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實(shí)際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握過程。

2.學(xué)生在探索、獲得數(shù)學(xué)模型的過程中，也同時獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的思想、程序與方法，而這對學(xué)生的發(fā)展來說，其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識。

3.數(shù)學(xué)不應(yīng)等同于數(shù)學(xué)結(jié)論的簡單匯集，而應(yīng)被看成一個包含有“問題”、“方法”、“語言”等多種成分的復(fù)合體。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型化思想，正是順應(yīng)了這種改革的趨向和要求。

三、探尋模型建構(gòu)策略，創(chuàng)享升華數(shù)學(xué)思想

（一）將生活原型上升為數(shù)學(xué)模型

生活原型是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)問題巧妙地創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，通過這個現(xiàn)實(shí)的生活原型引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)建模的方式解決問題。

例如：在進(jìn)行“323+198，323-198”這樣的速算教學(xué)時，有相當(dāng)一部分學(xué)生難以把握此類問題。主要表現(xiàn)為：在"323+198=323+200-2”中，原來是加法計算，為什么要減2;在“323-198=323-200+2”中，原來是減法計算，為什么要加2？為了解決上述問題，教師可以組織學(xué)生模仿“付整找零”的情景活動：小熊原有128元人民幣，這個月獎金199元，現(xiàn)在它一共有多少元？讓學(xué)生來表演發(fā)獎金，先給小熊2張100元鈔（200元），小熊找還1元。

這個活動的計算算理學(xué)生是明白的。教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把“常識”提煉為“模型”，這實(shí)質(zhì)上就是一個建模的過程。經(jīng)過了“付整找零”的活動后，建模實(shí)施了三個步驟：

1.把情境抽象為數(shù)學(xué)問題：小熊原有128元，收人199元，現(xiàn)共有多少元？

2.用數(shù)學(xué)算式來表示：128+199=128+200-1=327

3.總結(jié)其中的算理，概括出速算的法則。通過“付整找零”的生活原型提煉出“多加了要減去，多減了要加上”的數(shù)學(xué)模型。

（二）利用“舊模型”構(gòu)建“新模型”

數(shù)學(xué)的概念、法則、公式等都是數(shù)學(xué)模型，并且總是建立在對其它數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用及體現(xiàn)在對新知的逐級構(gòu)建上的。例如單價、數(shù)量、總價之間的數(shù)量關(guān)系模型是：單價×數(shù)量=總價。該模型是建立在學(xué)生的原認(rèn)知乘法意義的基礎(chǔ)上的，“求幾個幾相加用乘法算”。我教學(xué)該課時，我出示了已知單價、數(shù)量求總價之后，拋出了兩類變式練習(xí)讓學(xué)生解決：已知總價、數(shù)量求單價，已知總價、單價求數(shù)量，從而推導(dǎo)出另兩個數(shù)量關(guān)系式：總價÷數(shù)量=單價，總價÷單價=數(shù)量。在這兩類變式練習(xí)中，學(xué)生利用“原模型”“單價×數(shù)量=總價”和乘法各部分的關(guān)系解決了較復(fù)雜的變式題，并推導(dǎo)出另兩組相關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，建構(gòu)了“新模型”。

（三）讓學(xué)生體驗?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的全過程

根據(jù)建模對象的特征和建模的目的，對實(shí)際數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)情景，進(jìn)行觀察、比較、分析、抽象、概括，運(yùn)用形式化的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出數(shù)學(xué)概念或用數(shù)學(xué)符號刻畫出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如我教學(xué)《常見的數(shù)量關(guān)系》的建模過程：我出示三個購物情境題，“為什么這三道題都用乘法算？”一個精辟的追問，讓學(xué)生感受到，以前我們解決這類問題用的數(shù)學(xué)模型是乘法的意義;在探究數(shù)量關(guān)系模型這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)時，提了一個非常開放性的問題“這三道題有什么共同點(diǎn)呢？”對于這三道題，孩子們都會做，但“這三道題有什么共同點(diǎn)呢？”一個開放性的問題，制造了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生帶著這個問題進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)、小組探究、組內(nèi)交流、全班匯報一系列學(xué)習(xí)活動，并探究得出數(shù)學(xué)模型單價×數(shù)量=總價。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想，可以幫助學(xué)生深入理解所學(xué)知識，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)模型思想，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)不一般地學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)不一般的數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種享受。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部? 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：5.

[2]劉明祥? 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型思想的探討.

[3]教育部? 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：1.