例談初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中問題鏈的設(shè)置

顧雅玉

摘 要：設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知水平、心理發(fā)展的問題鏈能使教學(xué)更加有效，把學(xué)生成功地引向知識海洋的彼岸，促進(jìn)學(xué)生思維的不斷成長，同時也引領(lǐng)著教師教學(xué)水平的不斷發(fā)展.結(jié)合實(shí)例，從貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)、層次性原則、探索性原則、模塊化原則等角度闡述了如何設(shè)置問題鏈.

關(guān)鍵詞：問題鏈 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 知識結(jié)構(gòu) 思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1005-8877（2019）13-0100-03

1.為何要設(shè)置問題鏈

學(xué)起于思，思源于疑.學(xué)習(xí)總是從問題開始的，問題是思維的源泉，更是思維的動力.學(xué)生是否能夠積極、主動、靈活的去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)一步分析問題、解決問題，將是學(xué)生能否提高學(xué)習(xí)能力的重要因素.教師作為課堂教學(xué)的引領(lǐng)者，在教學(xué)過程中離不開問題鏈的設(shè)計.設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知水平、心理發(fā)展的問題鏈能使教學(xué)更加有效，把學(xué)生成功的引向知識海洋的彼岸.

2.問題鏈的設(shè)計原則

數(shù)學(xué)活動中問題鏈的優(yōu)劣直接影響學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)現(xiàn)問題的意識、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

（1）設(shè)置問題鏈需貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

英國學(xué)者戴維·林伯爾等人提出：腦的不同功能的發(fā)展有不同的關(guān)鍵期，某些能力在大腦發(fā)展的某一敏感時期最容易獲得.初中階段是空間表征能力發(fā)展的關(guān)鍵時期，雖然初中生在心理折疊、展開、旋轉(zhuǎn)及圖形識別幾個方面的發(fā)展都尚未達(dá)到較高水準(zhǔn)；但初中生的心理折疊與心理展開能力即空間與平面的轉(zhuǎn)換能力在初一至初二年級卻是快速發(fā)展的.下面以《全等三角形》的概念和性質(zhì)的教學(xué)為例設(shè)置問題鏈：

問題1 請同學(xué)們同桌兩人為一組，從信封中找出全等圖形（信封內(nèi)有三個三角形，三個四邊形）

此問題的設(shè)置是為復(fù)習(xí)全等圖形的概念及驗(yàn)證方法，另一方面也讓學(xué)生直觀感受全等圖形的重合與對應(yīng)的關(guān)系.從找入手契合了此階段的學(xué)生對圖形認(rèn)識還處于直觀感知階段.讓學(xué)生通過親身實(shí)踐，親自動手，觀察、比較圖形的特點(diǎn)，來加強(qiáng)對已知圖形的識別、辨認(rèn)能力，進(jìn)而提高直觀能力和對圖形的敏感性.

問題2 觀察擺放好的三組全等三角形（如圖1～3），分別說出對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

此問題的設(shè)置是在學(xué)生對全等三角形已有的直觀和感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，向理性認(rèn)識邁進(jìn)了一步.繼續(xù)讓學(xué)生動手操作，感受圖形變換與全等的關(guān)系，從而使學(xué)生更加深刻的認(rèn)識全等三角形中的對應(yīng)關(guān)系及如何確定對應(yīng)關(guān)系。

問題3 上述三組全等三角形，其中一個三角形可以經(jīng)過怎樣的變換與另一三角形重合？

問題4 通過上述操作，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（引出全等三角形的性質(zhì)）

通過上面四個問題的設(shè)置，學(xué)生經(jīng)過充分的觀察與操作，使學(xué)生把直觀圖像內(nèi)化為了心智圖像，當(dāng)心智圖像積累到一定數(shù)量，就可將感性認(rèn)識升到理性認(rèn)識，從而使學(xué)生在操作過程中感悟得出全等的對應(yīng)關(guān)系和全等三角形的性質(zhì).因此，初中數(shù)學(xué)教師要舍得花時間在直觀幾何教學(xué)方面，為培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直覺能力打下良好的基礎(chǔ)，使學(xué)生的思維能夠順利且自然的從直觀過度到抽象.

（2）以層次性原則設(shè)置問題鏈

數(shù)學(xué)知識體系是螺旋式上升的，學(xué)生的思維發(fā)展也呈螺旋式上升.約翰·杜威認(rèn)為提問應(yīng)當(dāng)成為繼續(xù)討論的原動力.在教學(xué)過程中，我們可依據(jù)題目中蘊(yùn)含的邏輯規(guī)律設(shè)置層層遞進(jìn)的問題，進(jìn)行由淺入深的引導(dǎo).如，在進(jìn)行“二次函數(shù)—借助圖像推理”教學(xué)時，可設(shè)計如下問題：

如圖4，已知二次函數(shù) y=αx2+bx+c（α≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），對稱軸為直線x=1，與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）和（0，3）之間.①αbc<0；②b2-4ac>0；③當(dāng)x>0時，y>0；④α-b+c=0；⑤4α+2b+c>0；⑥2α+b=0；⑦3α+b<0；⑧-1≤α≤- ；⑨ （m為任意實(shí)數(shù)）.

問題1只需掌握α、b、c分別是由函數(shù)圖像的什么確定的，屬于二次函數(shù)圖像的基本知識，難度較低，學(xué)生都能掌握；問題2、3都可通過直接觀察圖像得到，不需計算.問題4、5結(jié)合二次函數(shù)解析式，觀察等式（或不等式）左邊的代數(shù)式是自變量分別取怎樣的值得到的.這兩個問題的難度比前三個提高了一個層次，既要觀察式的特點(diǎn)，還要結(jié)合圖像.問題6是為問題7、8做鋪墊的.7、8兩個問題除了觀察式和圖的特點(diǎn)，還要結(jié)合不等式的運(yùn)算.問題9中加入了代表任意實(shí)數(shù)的字母m，在經(jīng)歷了上面幾個特殊值之后，為發(fā)展學(xué)生的綜合能力而設(shè)置的.

（3）以探索性原則設(shè)置問題鏈

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，函數(shù)圖像的變化與解析式的變化之間存在著規(guī)律.

問題1 直線上下平移與一次函數(shù)解析式變化的規(guī)律：

將直線y=2x沿y軸向上平移3個單位長度，可得直線________；

問題2 請在圖5中畫出函數(shù)y=2（x+3）的圖像，并觀察圖像：

直線y=2（x+3）可由直線y=2x沿x軸向（ ）平移（ ）個單位長度得到；

問題3 發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

當(dāng)α>0時，直線y=2（x+α）可由直線y=2x沿x軸向____平移____個單位長度得到；

問題4 猜想：將直線y=2x沿x軸向右平移1個單位長度，得到直線________；你會驗(yàn)證你的猜想嗎？

問題5 總結(jié)規(guī)律：

當(dāng)α>0時，直線y=k（x+α）可由直線y=kx沿x軸向____平移____個單位長度得到；

當(dāng)α<0時，直線y=k（x+α）可由直線y=kx沿x軸向____平移____個單位長度得到.

問題6請通過列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)y= +3的圖像，將它與函數(shù)y= 的圖像進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y= +3的圖像是____線，它是由雙曲線y= 的圖像沿___軸向___平移___個單位長度得到.

問題7 發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

函數(shù)y= +b的圖像是______；當(dāng)b>0時，它可由雙曲線y= 沿____軸向_____平移____個單位長度得到；當(dāng)b<0時，它可由雙曲線y= 沿____軸向_____平移____個單位長度得到；

問題8 請畫出函數(shù)y= 的圖像，將它與函數(shù)y= 的圖像進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)：

函數(shù)y= 的圖像是____線，它是由雙曲線y= 的圖像沿___軸向___平移___個單位長度得到.

問題9 發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

函數(shù)y= （x≠__）的圖像是_______；當(dāng)α>0時，它可由雙曲線y= 沿___軸向___平移____個單位長度得到；當(dāng)α>0時，它可由雙曲線y= 沿____軸向____平移_____個單位長度得到.

問題10 總結(jié)：

（1）函數(shù)y= 的圖像是________；

當(dāng)b>0時，雙曲線y= +b可由雙曲線y= 沿____軸向____平移____個單位長度得到；

當(dāng)b<0時，雙曲線y= +b可由雙曲線y= 沿____軸向____平移____個單位長度得到；

（2）函數(shù)y= 的圖像是________；

當(dāng)α>0時，雙曲線y= 可由雙曲線y= 沿____軸向____平移____個單位長度得到；

當(dāng)α<0時，雙曲線y= 可由雙曲線y= 沿____軸向____平移____個單位長度得到；

問題11 拓展延伸：

已知函數(shù)y=x2，將它的圖像沿x軸向右平移2個單位長度后，所得圖像的解析式為_________；將它沿y軸向下平移3個單位長度后，所得圖像的解析式為_________；若是先沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向下平移3個單位長度，所得圖像的解析式為________.

問題1在學(xué)生已有的認(rèn)知水平上復(fù)習(xí)直線的上下平移與一次函數(shù)解析式的變化規(guī)律.問題2、3通過畫圖像、觀察圖像得出一次函數(shù)解析式的變化導(dǎo)致直線怎樣平移.問題4依題目描述畫出符合題意的圖像，同時利用上面得到的經(jīng)驗(yàn)猜想函數(shù)表達(dá)式，得出的表達(dá)式和圖像是否相符可有兩種方法驗(yàn)證.或者求出所畫圖像的解析式，或者畫出猜想的解析式的圖像.從上述問題我們可以得出直線的平移與一次函數(shù)的解析式的變化之間的規(guī)律，那么其它函數(shù)的圖像的平移與其解析式的變化是否也有相同的規(guī)律呢？問題6至問題10我們探索了雙曲線的平移與其解析式的變化之間的規(guī)律.從活動中我們可以看出，不管是直線還是雙曲線，它們的圖形變化與解析式之間的關(guān)系有著共同的特點(diǎn)，我們可以把這一特點(diǎn)推廣到其它函數(shù)圖像的變化中去，即問題11.

（4）以模塊化原則設(shè)置問題鏈

數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)之間是緊密聯(lián)系、不可分割的，在復(fù)習(xí)課中常常是一題關(guān)聯(lián)諸多知識點(diǎn)，如果問題設(shè)計不當(dāng)，知識點(diǎn)間的過渡就會顯得生硬、無序，學(xué)生會覺得節(jié)奏太快，無所適從.因此，設(shè)計合理、有效的問題鏈?zhǔn)怪R點(diǎn)間的過渡自然、有序，讓學(xué)生能夠慢慢感悟，自己發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)間的關(guān)系就顯得尤為重要.二次函數(shù)一章講完后，我選了下面的習(xí)題：

例 已知二次函數(shù) y=x2+2x-3.

問題1 求函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸方程.

問題2 求出 y=x2+2x-3圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出二次函數(shù)的交點(diǎn)式.

問題3 判斷二次方程x2+2x-3=0有無實(shí)根.如果有，請寫出它的根.

問題4 分解因式：x2+2x-3.

問題5 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 2x2+2x-6.

問題6 解不等式x2+2x-3 > 0.

問題7 用問題6的方法解不等式-x2+5x-3 > 0.

這一例題的設(shè)計是將二次函數(shù)與一元二次方程、二次三項(xiàng)式的因式分解、解一元二次不等式聯(lián)系起來.利用問題1問題2回顧了二次函數(shù)的一些基本知識.問題3的設(shè)置讓學(xué)生領(lǐng)悟到一元二次方程根的情況不僅可以用根的判別式來判斷，還可以通過觀察對應(yīng)的二次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)情況來確定.有些學(xué)生會覺得問題4似乎和二次函數(shù)沒有什么聯(lián)系，當(dāng)他們用常規(guī)方法將二次三項(xiàng)式因式分解后，就會發(fā)現(xiàn)分解所得的結(jié)果與二次函數(shù)的交點(diǎn)式是一致的.因此，又可得出二次三項(xiàng)式的因式分解的另一種方法：先設(shè)出對應(yīng)的二次函數(shù)，求出二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出二次函數(shù)的交點(diǎn)式，就可得到二次三項(xiàng)式的分解結(jié)果了.問題5要求在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，用常規(guī)的因式分解方法是無法完成的，在這里我們就可以構(gòu)造二次函數(shù)來解決這個問題了.在初中階段，并沒有要求掌握一元二次不等式的解法，但我們可以借助二次函數(shù)的圖像來解決這個問題.問題7、問題8的設(shè)置就是讓學(xué)生感受二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式之間的聯(lián)系.本例題通過這樣一連串問題鏈的設(shè)計將二次函數(shù)、一元二次方程、二次三項(xiàng)式的因式分解、解一元二次不等式聯(lián)系起來，使得學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得以拓展，對各知識點(diǎn)進(jìn)行橫向、縱向聯(lián)系，引導(dǎo)他們將所學(xué)知識從熟悉到靈活運(yùn)用.

3.感悟與思考

數(shù)學(xué)是一門對抽象思維能力要求較高的學(xué)科，如果問題鏈的設(shè)計缺乏邏輯性、不貼近學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，就會導(dǎo)致學(xué)生思維漂浮在空中、不知所措，所以設(shè)計合理的問題鏈被越來越多的數(shù)學(xué)教師認(rèn)可并使用.優(yōu)質(zhì)的問題鏈可以使學(xué)生的思維得以釋放，活躍課堂氣氛，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維視域得以拓寬，從而提升提出問題、分析問題、解決問題等方面的能力.層層遞進(jìn)的問題鏈的設(shè)置既引領(lǐng)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)化與系統(tǒng)化，又促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的升華。

參考文獻(xiàn)

[1]蔣安娜.唐恒鈞.基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)活動設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（1）：14–17

[2]張文明.基于“三個理解”的數(shù)學(xué)“微創(chuàng)”策略摭談[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）：15–18

[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（6）：1–5