高三復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

趙敏華

【摘要】在課程改革、素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想下，準(zhǔn)確把握高考數(shù)學(xué)的命題特點(diǎn)、發(fā)展趨勢(shì)是提高復(fù)習(xí)效率的必要條件，這不僅使得高考備考更有針對(duì)性，而且為高三學(xué)子減負(fù)也起到積極的作用。空間幾何體的三視圖，作為課程標(biāo)準(zhǔn)即將刪除內(nèi)容之一，在2019年高考舞臺(tái)上依然肩負(fù)著“直觀想象”核心素養(yǎng)達(dá)成使命，面臨新舊交替的尷尬，如何做好高三文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，準(zhǔn)確把握新高考動(dòng)態(tài)，是每位一線高三數(shù)學(xué)教師值得深究的重要課題。

【關(guān)鍵詞】高三文科數(shù)學(xué)；新課標(biāo)；空間幾何體；三視圖

一、問(wèn)題背景

2018年1月16日，教育部頒布普通高中課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版），2018年秋季執(zhí)行。新舊課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比，本次修訂的幅度比較大，既有增加內(nèi)容，如數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究等，也有刪減內(nèi)容，如算法初步、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題、三視圖等，還有降低要求內(nèi)容，如計(jì)數(shù)原理、圓錐曲線與方程按原文科要求處理等。

作為一線的高三教師，最關(guān)心的當(dāng)然是新課標(biāo)對(duì)今后高考的影響有哪些？特別是即將到來(lái)的2019年高考。不難發(fā)現(xiàn)，2018年秋季才開(kāi)始實(shí)施的新課標(biāo)，使得2018、2019、2020這三年的高考都將面臨新舊交替的尷尬，如何做好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，準(zhǔn)確把握新高考動(dòng)態(tài)，是每位一線高三數(shù)學(xué)教師需要深究的重要課題。

二、案例呈現(xiàn)

空間幾何體的三視圖，這塊內(nèi)容在新課標(biāo)中是刪除內(nèi)容之一。回顧2018年高考全國(guó)卷，筆者發(fā)現(xiàn)，它依然活躍在考題中，2018年高考全國(guó)卷Ⅰ（文科）第9題，2018年高考全國(guó)卷Ⅲ（文科）第3題，都考察了空間幾何體基本結(jié)構(gòu)的三視圖，不偏不怪，立意考察直觀想象核心素養(yǎng)。引人注目的是2018年高考全國(guó)卷（文科）Ⅲ第3題中融入了古代數(shù)學(xué)文化背景，著實(shí)讓人眼前一亮，高度吻合了新課標(biāo)中提出的重視數(shù)學(xué)文化這一要求。顯然，2018年高考已有新課改的體現(xiàn)與落實(shí)，值得一線高三數(shù)學(xué)教師關(guān)注。

1.教學(xué)設(shè)計(jì)思路

①教材分析

展望2019年高考，高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)中《空間幾何體的三視圖》這塊內(nèi)容該怎么進(jìn)行備考呢？舊版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化”，因此，筆者認(rèn)為，三視圖一般屬于中低檔題，要求熟悉常見(jiàn)幾何體基本結(jié)構(gòu)的三視圖，并能還原所表示的立體模型。根據(jù)近年來(lái)高考中數(shù)學(xué)文化的滲透，可以適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充相關(guān)的古代數(shù)學(xué)文化，增添學(xué)習(xí)的趣味性。例如《九章算術(shù)·商功》中，“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑?！币饧慈∫婚L(zhǎng)方體，斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱為塹堵（底面是直角三角形的直棱柱）。

再沿塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)。以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽(yáng)馬”。余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”。

“塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑”分別是三棱柱、四棱錐、三棱錐的典型代表，而它們又都是從長(zhǎng)方體模型中裁切而得，這不正是我們高三復(fù)習(xí)課《空間幾何體的三視圖》教學(xué)設(shè)計(jì)的好素材嗎？

②學(xué)情分析

授課班級(jí)為高三文科普通班，雖然歷經(jīng)初中、高一必修2的《立體幾何》學(xué)習(xí)，文科生通過(guò)實(shí)物和模型，已經(jīng)有了初步空間觀念的體驗(yàn)，懂得借助直觀圖來(lái)搭建通往感性認(rèn)知向理性認(rèn)知轉(zhuǎn)化的橋梁，但由于生活體驗(yàn)有限，大部分文科生還是深感空間形象感知力匱乏，尤其是三視圖還原空間幾何體直觀圖普遍感到迷茫。

再者，學(xué)生對(duì)三視圖形成的原理，停留在“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”的口訣上，并沒(méi)有真正理解其實(shí)質(zhì)意義，導(dǎo)致求棱長(zhǎng)、表面積、體積時(shí)使用數(shù)據(jù)時(shí)出錯(cuò)，得不到正確的答案。

2.教學(xué)目標(biāo)

①理解三視圖產(chǎn)生的原理；

②會(huì)畫簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖；

③通過(guò)觀察、分析，識(shí)別三視圖并能還原所表示的立體模型。

3.教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)

①教學(xué)重點(diǎn)：畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖；能識(shí)別上述三視圖并能還原所表示的立體模型。

②教學(xué)難點(diǎn)：三視圖的形成原理、還原幾何體。

③教學(xué)過(guò)程：了解空間幾何體的三視圖在近年高考中的地位?？臻g幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。常見(jiàn)的命題角度有：①已知幾何體，識(shí)別三視圖；②已知三視圖，還原幾何體；③已知幾何體的三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另一種視圖。

三、學(xué)習(xí)新課

1.三視圖的概念

①光線從幾何體的前面向后面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的正視圖。

②光線從幾何體的左面向右面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的側(cè)視圖。

③光線從幾何體的上面向下面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的俯視圖。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)畫演示，回顧基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)三視圖形成的原理過(guò)程，借助長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖來(lái)形象感知，觀察對(duì)比找到三視圖的度量準(zhǔn)則：長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊，為進(jìn)一步求空間幾何體的棱長(zhǎng)、體積、表面積等做好準(zhǔn)備。

2.簡(jiǎn)單幾何體的三視圖：①棱柱的三視圖；②棱錐的三視圖；③棱臺(tái)的三視圖；④旋轉(zhuǎn)體的三視圖

動(dòng)手試一試：《九章算術(shù)·商功》中，“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑?！币饧慈∫婚L(zhǎng)方體（假設(shè)長(zhǎng)寬高分別為3，2，1），斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱（※塹堵），再沿這個(gè)三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐（※陽(yáng)馬）和三棱錐（※鱉臑）各一個(gè)。請(qǐng)畫出它們的三視圖并標(biāo)出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度，其余的僅需作出對(duì)應(yīng)的三視圖。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單幾何體的基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)三視圖的度量準(zhǔn)則，畫出三視圖標(biāo)出對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度，直觀地體會(huì)直觀圖與三視圖的聯(lián)系與區(qū)別，為后面的三視圖還原幾何體做好充分的鋪墊。引入古代數(shù)學(xué)文化背景，其中的“塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑”即為學(xué)生熟知的特殊的柱體、錐體，接近學(xué)生的認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)，容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

3.高考題型分析

題型1：已知幾何體，識(shí)別三視圖。

例1： （2018年高考全國(guó)卷文數(shù)Ⅲ3）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭。若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 。

變式1：（2018·惠州調(diào)研）如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（ ）

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)幾何體特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把幾何體置于正方體來(lái)確定三視圖，領(lǐng)會(huì)三視圖產(chǎn)生原理，注意區(qū)分虛實(shí)線的來(lái)由。讓學(xué)生經(jīng)歷由點(diǎn)的投影再到線的投影，最后得到的就是面的投影的過(guò)程，其最本質(zhì)的東西就是先把握好點(diǎn)的投影。

題型2：已知三視圖，還原幾何體。

例2：（2018年高考全國(guó)卷文數(shù)Ⅰ9）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖。圓柱表面上的點(diǎn) 在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ，圓柱表面上的點(diǎn) 在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ，則在此圓柱側(cè)面上，從 到 的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為 。

變式2.（2017·浙江高考文數(shù)3）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是 。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合前面的簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖原理的回顧鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生抓住三視圖特點(diǎn)，還原幾何體（組合體），并聯(lián)系三視圖中的點(diǎn)（或長(zhǎng)度）與幾何體（組合體）對(duì)應(yīng)點(diǎn)（或數(shù)據(jù)）的關(guān)系，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例3：已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是 。

A.3 B.2 C.6 D.8

變式3.（2017·北京高考理數(shù)7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為 。

設(shè)計(jì)意圖：已知幾何體類型（四棱錐）結(jié)合三視圖還原幾何體，可以先確定底面在哪，找出四個(gè)頂點(diǎn)，再確定最后一個(gè)頂點(diǎn)即可。結(jié)合三視圖，把它嵌入邊長(zhǎng)為2的正方體中，容易求出需要的面積與長(zhǎng)度。例3是常規(guī)的四棱錐（錐體頂點(diǎn)在上方）放置，變3是側(cè)放的四棱錐（錐體頂點(diǎn)在左邊）放置，目的為了讓學(xué)生注意觀察，不同的放置的方式其三視圖是有差異的。

4.拓展提升

（2017·北京高考文數(shù)6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 。

設(shè)計(jì)意圖：由變3的慣性遷移，學(xué)生容易思維定勢(shì)審題不清，直接定位它是一個(gè)四棱錐，導(dǎo)致錯(cuò)解。引導(dǎo)學(xué)生留意俯視圖的虛線，必須有遮擋才有可能是虛線，所以肯定不是四棱錐，結(jié)合題意，這是一個(gè)三棱錐，由正視圖與側(cè)視圖可斷定一個(gè)頂點(diǎn)的位置，其余三點(diǎn)的投影應(yīng)該落在俯視圖中，可以嘗試在長(zhǎng)方體中還原三棱錐剩余三個(gè)頂點(diǎn)的位置。

5.總結(jié)提高

從高考命題角度上來(lái)看：①已知幾何體，識(shí)別三視圖；②已知三視圖，還原幾何體；③已知幾何體的三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另一種視圖。歸根結(jié)底，就是要掌握空間幾何體的直觀圖與三視圖的相互轉(zhuǎn)化，由于高考要求并不高，因此更應(yīng)該把重心放在常規(guī)轉(zhuǎn)化，舍棄奇、難、怪的題目。

四、回顧與思考

1.滲透文化，激發(fā)興趣

教育部《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用”，并提出“在數(shù)學(xué)試題中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”，以及近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題中開(kāi)始滲透數(shù)學(xué)文化，如，2015年湖北理科卷19題；2015年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ（理科）第6題都與空間幾何體有關(guān)，雖然它與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系不大，但對(duì)學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)視野，認(rèn)同“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”有著積極的意義。

2.歸納總結(jié)，突破難點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力是六大核心素養(yǎng)之一，《空間幾何體的三視圖》對(duì)學(xué)生進(jìn)一步提高空間想象能力和幾何直觀能力有重要的促進(jìn)作用，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)“實(shí)物模型——三視圖——直觀圖”這樣的一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程認(rèn)識(shí)空間幾何體是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑。而借助長(zhǎng)方體（正方體）來(lái)還原幾何體，是對(duì)平行投影（三視圖）的深刻理解，較好地突破了三視圖還原直觀圖。

3.立足課標(biāo)，服務(wù)高考

高考備考往往是細(xì)節(jié)決定成敗，因此，研讀課標(biāo)和考綱，從考情學(xué)情出發(fā)，從整體上把握高考動(dòng)態(tài)，以經(jīng)典例題為主旋律的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)一直是筆者的著力點(diǎn)，只有教師鉆進(jìn)題海，才能把學(xué)生從題海中解放出來(lái)，實(shí)現(xiàn)課堂高效，才能有備考成果。如何更好地掌握學(xué)情，在學(xué)生已知與未知的基礎(chǔ)上建架適當(dāng)?shù)臉蛄?，需要在后續(xù)階段深入研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭明嫻.走進(jìn)鱉臑幾何體，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)文化知識(shí)[J].高中數(shù)理化，2017（23）：6-7.