融匯妙解，提升素養(yǎng)

夏憲龍

【摘要】解與一元二次方程有關(guān)的應(yīng)用題，由于方程中某些項的系數(shù)的絕對值往往比較大，解答起來困難且容易出錯。文中主要通過華羅庚巧算完全立方數(shù)、十字相乘法、根與系數(shù)關(guān)系、解的檢驗等方法去解答系數(shù)較大的一元二次方程，提高解題的準確率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;平方根;素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，有個別學(xué)生對計算的本身理解不夠，機械地套用公式;不顧計算目標，進行盲目地推理計算;計算過程缺乏選擇合理、簡潔的計算途徑的意識，計算過程繁瑣，錯誤率高。列一元二次方程解應(yīng)用題，設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)量，是一個難點。事實上，解與一元二次方程有關(guān)的應(yīng)用題，還有另外一個學(xué)習(xí)困難，這就是依據(jù)實際問題所得到方程中某些項的系數(shù)的絕對值往往比較大，在這種情況下，靈活選擇解題方法就成了解決問題的關(guān)鍵。

1.試題呈現(xiàn)與解析

如圖1所示，一個社區(qū)計劃在一個40米長、26米寬的矩形ABCD上建造三條相同寬度的道路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余的則是種草。如果每片草坪的面積為144平方米，則道路的寬度是多少？

分析：如圖1，利用草坪的總面積=矩形場地的面積-三條道路的面積和+三條道路中重疊的兩個小正方形的面積，據(jù)此可得出關(guān)于道路寬度的方程，求出道路的寬度.

解法一：設(shè)道路的寬為x米，由題意得：40×26-2×26x-40x+2x2=144×6，化簡得：x2-46x+88=0

解得：x1=2，x2=44（不合題意，舍去）答：道路的寬為2米.

分析：如圖2，利用平移后圖形的面積相等的性質(zhì)，把豎的兩條道路平移到最左（或右）邊，然后把橫的道路平移到最上（或下邊），把六塊矩形統(tǒng)一成一個新的大矩形，最后表示出新矩形的長與寬從而列出方程，求出道路的寬度。

解法二：設(shè)道路的寬為x米，由題意得：（40-2x）（26-x）=144×6，化簡得： x2-46x+88=0 解得： x1=2，x2=44（不合題意，舍去）。答：道路的寬為2米.

2.典型失誤分析與反思

失誤1設(shè)道路的寬為x米，由題意得：（40-2x）（26-x）=144在方程的右邊漏乘了6。

分析與反思：學(xué)生在審題時缺乏認真閱讀的習(xí)慣。 閱讀，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可持續(xù)發(fā)展的基本保證，也是一個人核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。數(shù)學(xué)的閱讀，沒有語文課文中跌宕起伏的故事情節(jié)，也沒有文學(xué)作品里催人淚下的感人細節(jié)。數(shù)學(xué)閱讀，有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。

因此，閱讀數(shù)學(xué)，我們不但要有閱讀語文的那種形象思維，讀出激情，讀出趣味，讀出自信，更需要深入思考的抽象思維，讀出深邃，讀出本質(zhì)，讀出質(zhì)量。學(xué)生在審題時沒有注意到每片草坪的面積都為144平方米的每片，而是習(xí)慣性思維認為面積都為144平方米，從而導(dǎo)致失誤。失誤2設(shè)道路的寬為x米，由題意得：（40-2x）（26-x）=144×6 化簡得：x2-46x+88=0 列對了方程，但解不出答案。

分析與反思：學(xué)生嘗試用配方法把方程配成（x-23）2=441，或者應(yīng)用公式法計算出判別式△=（-46）2-4×1×88=1764后，由于441或1764數(shù)字較大，學(xué)生不能把它們的平方根開出來，導(dǎo)致無法解出答案。在人教版七年級下冊第59頁數(shù)學(xué)活動的活動2中，華羅庚的故事就告訴我們?nèi)绾斡煤喗莸姆椒ㄈデ笠粋€較大數(shù)的完全立方數(shù)。因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，441的平方根應(yīng)該是兩位數(shù)，因為441的尾數(shù)是1，因此這個平方數(shù)的個位數(shù)為1或9，再由441的百位數(shù)為4，可以得到平方數(shù)的十位數(shù)為2，從而可以猜想出這個平方數(shù)為21或29，通過驗算后可得出441的平方根是±21，同理1764可得出它的平方根為±42。通過數(shù)學(xué)故事，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，也可以讓學(xué)生獲得人文、科學(xué)和數(shù)理方面的修養(yǎng)，使數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育成為和諧的統(tǒng)一體，通過華羅庚的故事可以解決一些絕對值較大的數(shù)字平方根的算法。

學(xué)生如果應(yīng)用因式分解法來解這個一元二次方程，由于這個方程的一般形式的左邊不能提公因式、也不能應(yīng)用公式法，從而有較多學(xué)生不會應(yīng)用因式分解法去解答。其實，在人教版八年級上冊第121頁閱讀與思考中，介紹了形如x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解。因此，方程x2-46x+88=0可應(yīng)用十字相乘法分解為（x-2）（x-44）=0，從而解出答案。失誤3學(xué)生列對了方程，但解出的答案卻只有一個x1=2，漏掉了x2或解不出x2。

分析與反思：我們知道，如果一個一元二次方程有實數(shù)解，那么它的解一定是有2個。對于方程x2-46x+88=0，個別學(xué)生可能直接解不出來，但容易猜出其中一個解為x1=2，如果我們得到一個方程的解后，其實可以應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=-■或x1x2=■得到2+x2=-■或2x2=■，從而求出x2=44。失誤4 學(xué)生列對了方程，但解出的答案都錯誤。

分析與反思：在學(xué)習(xí)方程的時候，我們知道方程的解的概念，如果未知數(shù)的值能夠使得這個方程左右兩邊的值相等的，那么這個未知數(shù)的值才是方程的解。因此，得到一個答案時，其實我們可以通過檢驗的方法去判斷自己解的方程是否正確。通過分析，學(xué)生在計算、解題過程中，解答的錯誤很多是因為沒有養(yǎng)成良好的解后檢驗習(xí)慣，重視解后檢驗。及時發(fā)現(xiàn)、改正錯誤，是確保解答正確的重要手段，也是培養(yǎng)學(xué)生縝密思考、嚴謹治學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑。

楊光偉博士認為理性精神、求真精神、創(chuàng)新精神是數(shù)學(xué)精神之大道，是數(shù)學(xué)文化品格的高級表現(xiàn)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置合理的思辨性問題，有助于學(xué)生明辨概念，辨別命題、方法的真?zhèn)?，完善認知結(jié)構(gòu)，也有助于形成學(xué)生良好的數(shù)學(xué)文化品格。

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