相似三角形中的分類討論

李文芳

摘要：分類討論思想是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，由于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)或結(jié)論的不唯一確定，使問(wèn)題存在許多種可能情況，因此要按可能出現(xiàn)的各種情況分別加以討論。運(yùn)用分類討論的思想來(lái)解決相似三角形問(wèn)題是近年來(lái)中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)。然而不少學(xué)生在學(xué)習(xí)之初，對(duì)這類問(wèn)題的圖形識(shí)別能力很差而且分類混亂。

關(guān)鍵詞：相似三角形;分類討論;基本圖形

一、認(rèn)識(shí)基本圖形

相似三角形中的分類討論問(wèn)題中大多存在一對(duì)已確定的對(duì)應(yīng)元素，如一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)或一組對(duì)應(yīng)角或一組對(duì)應(yīng)邊。因此，將原本兩個(gè)三角形相似有六種可能對(duì)應(yīng)的情況縮減為兩種可能。

例1.如圖1， D為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC邊上的點(diǎn)，要使△ADE與△ABC相似，你能作出幾個(gè)符合條件的點(diǎn)E？請(qǐng)畫(huà)出圖形。

或

圖1 ???????（基本圖形1）

例2.如圖2，△ABC中，AB=15，AC=12. D為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，且AD=6. 要使△ADE與△ABC相似，求AE的長(zhǎng)？請(qǐng)畫(huà)出圖形再求解。

或

圖2 ?????????????（基本圖形2）

分析：△ADE與△ABC有公共頂點(diǎn)A，有公共角∠A，即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A和A，對(duì)應(yīng)角為∠A和∠A，對(duì)應(yīng)邊自然為BC和DE。此時(shí)，無(wú)論從點(diǎn)、角、邊任何一個(gè)角度去考慮，都有一組已確定的對(duì)應(yīng)元素，所以相似縮減為兩種可能。

解法1根據(jù)“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可知要使△ADE與△ABC相似，只要使∠ADE=∠B，即DE//BC，或者∠AED=∠B。

解法 2根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似”可知，要使△ADE與△ABC相似，只要使?或

例1、2是分類討論思想在三角形相似中的最簡(jiǎn)單的運(yùn)用，我們平時(shí)見(jiàn)到的很多問(wèn)題都是基本圖形的適當(dāng)變形。

（基本圖形的常見(jiàn)變形）

二、鞏固應(yīng)用

應(yīng)用 1點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線最多有多少條？

分析 ??因?yàn)闆](méi)有明確直線與AC邊還是BC邊相交，所以先分兩類討論，而這兩類情況下又分別有兩條直線符合題意，故共有4條。

圖3

應(yīng)用 2已知RtΔOAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖3所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB分割成兩部分。問(wèn)：點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與RtΔOAB相似？（注：在圖上畫(huà)出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的電C的坐標(biāo)）

分析 ??不難看出應(yīng)用2是應(yīng)用1的變式。根據(jù)點(diǎn)C所在線段的不同，先分兩類討論，即點(diǎn)C在線段OA上與點(diǎn)C在線段AB上。

情況一：當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，分割得到的三角形是ΔOPC，它與ΔOAB有公共角∠AOB，根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似”可知，要使ΔOPC與ΔOAB相似，只要使或，代入數(shù)據(jù)后，可分別得到一個(gè)關(guān)于OC的方程或，所以O(shè)C=3或OC=。因?yàn)?img alt="" height="37" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml7092＼wps134.png" width="20"/>〉OA=6所以O(shè)C=應(yīng)舍去。所以當(dāng)點(diǎn)C在OA上時(shí)，坐標(biāo)為（3，0）

情況二：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，分割得到的三角形是ΔBPC，它與ΔOAB有公共角∠ABO，同理可知，要使ΔBPC與ΔOAB相似，只要使或。代入相應(yīng)數(shù)據(jù)后，亦可分別得到一個(gè)關(guān)于BC的方程或，所以BC=4或BC=。所以AC=4或AC=8-=，所以當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，坐標(biāo)為（6，4）或（6，）。

以上給出的解法是根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”，通過(guò)構(gòu)造方程找到邊的長(zhǎng)度，從而確定坐標(biāo)。但此題中ΔOAB是一個(gè)直角三角形，所以當(dāng)發(fā)現(xiàn)分割所得到的三角形與ΔOAB有公共角時(shí)，也可根據(jù)“有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似”，分別過(guò)點(diǎn)P作OA，AB，OB的垂線來(lái)構(gòu)造直角三角形，在此直角坐標(biāo)系中，也能輕松得到答案。

用上述類似方法解答的相似三角形中的分類討論問(wèn)題還有很多，有的還可以與雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合，可以與拋物線相結(jié)合，雖然嵌入的背景各不相同，但分類方法基本相同。

參考文獻(xiàn)：

[1]用分類討論法解相似三角形“截線”問(wèn)題 ·?魏從波 ·?江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校，210019

[2]分類討論思想在相似三角形中應(yīng)用 ·?湯永東 ·?浙江省象山縣高塘學(xué)校315734