數(shù)學(xué)文化課程總體設(shè)計需要重視的幾個問題

【摘 要】 數(shù)學(xué)文化是新世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革的重要組成部分，高考數(shù)學(xué)改革的趨勢將進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)課程與人文學(xué)科的整合。數(shù)學(xué)文化課程要加強(qiáng)系統(tǒng)化的總體設(shè)計，要著重闡述數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，全面認(rèn)識中國數(shù)學(xué)文化的長處與不足，從真、善、美的高度揭示數(shù)學(xué)文明的價值，促進(jìn)西方數(shù)學(xué)與中華文化的交流與整合。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)文化；課程設(shè)計；系統(tǒng)化設(shè)計；問題

新世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程改革，將數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)課程的重要組成部分。這是一次深刻的思想改革。隨著高考數(shù)學(xué)考試不再實行文理分科，數(shù)學(xué)課程也將文理不分。這勢必進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)課程與人文學(xué)科的整合。與此同時，數(shù)學(xué)欣賞也作為數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一開始進(jìn)入課堂。如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)，還需要系統(tǒng)化的總體設(shè)計。本文擬做一探討。

一、數(shù)學(xué)文化課程要著重闡述數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用

數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，在我國已有多年的歷史。1949年以來，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)貫徹辯證唯物主義思想，培育愛國主義觀念，因而教材涉及許多數(shù)學(xué)史的材料，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵。這些材料一般包括三大部分：一是中國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)先于世界的內(nèi)容，如中國最早使用負(fù)數(shù)，祖沖之在圓周率計算上的成就等；二是國外最先使用數(shù)學(xué)符號的歷史，如加減乘除符號以及大小括號的創(chuàng)始人等；三是介紹一些知識，如完全數(shù)、哥德巴赫猜想等。這些材料的闡述，大多局限于數(shù)學(xué)歷史知識的介紹，尤以突出中國古代數(shù)學(xué)成就、增強(qiáng)民族自豪感為依歸。

進(jìn)入21世紀(jì)之后，我國正式提出了數(shù)學(xué)文化的教學(xué)要求?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術(shù)》、珠算、《幾何原本》、機(jī)器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等[1]。這段論述的核心在于“幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用”。不妨認(rèn)為，這是數(shù)學(xué)文化教學(xué)的一項總目標(biāo)。

一般認(rèn)為，文化是多元的，具有各種不同的內(nèi)涵和民族色彩。因此，其既有進(jìn)步的成分，也有一些落后的成分。而人類文明則是世界各國、各民族的文化精華的總和。數(shù)學(xué)文明是人類文明的組成部分，在某種程度上說，數(shù)學(xué)文明又往往是人類文明的火車頭。因此，數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，要與人類文明的進(jìn)步相聯(lián)系，尤其要著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性文明的先導(dǎo)特征。一旦從人類文明的高度來認(rèn)識數(shù)學(xué)文化，就會有新的境界、新的視角、新的氣派。

自古以來，人類文明總是和數(shù)學(xué)文明相伴而生，而數(shù)學(xué)則往往處于先導(dǎo)地位，率先影響著人類文明的發(fā)展[2]。

首先來看古希臘文明。這是人類文明的第一個高峰。畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)學(xué)派，阿基米德的偉大數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，亞里士多德的邏輯思想體系，都是人類文明的瑰寶。柏拉圖學(xué)園“不懂幾何者不得入內(nèi)”的標(biāo)識，突顯數(shù)學(xué)的地位。尤其歐幾里得的《幾何原本》，更是人類理性文明的代表作，它的影響之深遠(yuǎn)，怎樣估計都不會過分。

人類文明的第二個高峰是從17世紀(jì)開始的近代工業(yè)文明。它以牛頓和萊布尼茨等創(chuàng)立微積分為先導(dǎo)，開創(chuàng)了力學(xué)、熱力學(xué)、光學(xué)的科學(xué)黃金時代，并進(jìn)一步觸發(fā)了產(chǎn)業(yè)革命。在這一時期，數(shù)學(xué)繼續(xù)起著火車頭的作用。

再看19世紀(jì)至20世紀(jì)初的現(xiàn)代文明。這一時期的數(shù)學(xué)文明依然起著先導(dǎo)作用。流體力學(xué)方程、彈性力學(xué)方程、熱力學(xué)方程以及電磁學(xué)方程，為機(jī)械、航空、海洋、通信等領(lǐng)域的現(xiàn)代技術(shù)文明提供了基礎(chǔ)。 與此同時，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)、復(fù)數(shù)的使用、抽象代數(shù)的誕生以及分析學(xué)的嚴(yán)密化，開創(chuàng)了純粹數(shù)學(xué)的新時代。愛因斯坦建立相對論使用的數(shù)學(xué)工具是微分幾何。量子力學(xué)的基礎(chǔ)則是泛函分析。數(shù)學(xué)文明在這一進(jìn)程中繼續(xù)領(lǐng)先一步。

最后，讓我們觀察20世紀(jì)下半葉誕生的信息時代文明。信息時代的計算機(jī)技術(shù)改變了人類的生活方式。這一技術(shù)建立在數(shù)學(xué)家馮·諾依曼于1946年提出的存儲程序通用計算機(jī)原理基礎(chǔ)之上，其框架一直持續(xù)到今天。1948年，數(shù)學(xué)家諾伯特·維納創(chuàng)立的數(shù)學(xué)控制論、克勞德·香農(nóng)創(chuàng)立的數(shù)學(xué)信息論成為開啟這一時代的標(biāo)志。

以上四個重大的人類文明階段，除古希臘文明外，都涉及高等數(shù)學(xué)。因此，在基礎(chǔ)教育階段，我們不可能讓學(xué)生十分真切地了解整個數(shù)學(xué)文明的巨大價值。但是，我們必須用盡可能通俗易懂的方法，將數(shù)學(xué)文明對人類文明的影響告訴年輕的學(xué)子。正如在中小學(xué)階段要向?qū)W生介紹相對論、原子能、星際航行、3D打印、納米技術(shù)、轉(zhuǎn)基因、克隆等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，數(shù)學(xué)課程也應(yīng)該在通俗水平上，向青少年介紹數(shù)學(xué)文明。這就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只是埋頭做題，還要放眼世界，了解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)講好數(shù)學(xué)文明故事，是分內(nèi)之事，是剛性約束。這需要整體設(shè)計，列入課程標(biāo)準(zhǔn)，寫入教材，并力求進(jìn)入考核內(nèi)容。

數(shù)學(xué)大師陳省身先生一再提倡做“好的數(shù)學(xué)”，并且指出“方程是好的數(shù)學(xué)”。這就是說，方程是人類數(shù)學(xué)文明中的精華。在方程的教學(xué)中，不應(yīng)停留在背誦“含有未知數(shù)的等式”這樣的膚淺認(rèn)識上，而是要著重于“如何從已知出發(fā)，通過某一種關(guān)系去尋求未知”，即從方法論的高度去理解。這就好比偵探破案，要抓住未知的犯罪嫌疑人，必須從現(xiàn)有的已知案情出發(fā)，通過某種線索（一種和未知的嫌疑人有關(guān)的關(guān)系）找到嫌疑人。因此，關(guān)于什么是方程的回答，應(yīng)該描述為“為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系”。

方程思想，是人類數(shù)學(xué)文明的奇葩。在人類四大文明（古埃及文明、古巴比倫文明、古印度文明以及中國文明）里，就有解方程的記載——從一次方程、高次方程、線性方程組、高次方程組直至微分方程組。可以說，大自然的規(guī)律是用方程寫成的。今日之世界文明，如發(fā)動機(jī)與熱力學(xué)方程，飛機(jī)與空氣動力學(xué)方程，手機(jī)與電磁學(xué)方程，物理世界與愛因斯坦方程，都以“方程”為基礎(chǔ)。講好這些方程的故事，是數(shù)學(xué)文化教學(xué)不可缺少的內(nèi)容。

這幾個案例表明，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容雖然只涉及數(shù)學(xué)文明總體的很小一部分，但是如能具有廣闊視野，精心設(shè)計，見縫插針，還是有許多工作要做的。

二、全面認(rèn)識中國數(shù)學(xué)文化的長處與不足

每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個民族文化的數(shù)學(xué)。源遠(yuǎn)流長的中華文化產(chǎn)生了中國古代數(shù)學(xué)。

在世界四大文明中，中國數(shù)學(xué)文明的形成相對比較晚。不過，由于各個數(shù)學(xué)文明都是獨立創(chuàng)建的，時間的早晚并不緊要。從理論上說，古希臘數(shù)學(xué)以演繹推理的方式建立了數(shù)學(xué)理性文明，中國古代數(shù)學(xué)則以長于計算及算法體系享譽(yù)世界。以祖沖之為代表的數(shù)學(xué)家，在計算圓周率等問題上成就卓著。

中國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生于春秋戰(zhàn)國時期，以謀士服務(wù)于帝王管理國家的方式呈現(xiàn)出來。因此，其長于計算，實用性比較強(qiáng)，在十進(jìn)制、小數(shù)的使用以及負(fù)數(shù)的引入等有關(guān)計算的問題上，具有特別的貢獻(xiàn)，領(lǐng)先于世界計算水平，代表性著作《九章算術(shù)》就是以計算程序解決一系列實際問題而展開的。后來，加上算盤的使用，中國古代數(shù)學(xué)在絲綢之路和海上貿(mào)易方面發(fā)揮了重要作用。

但是，中國古代數(shù)學(xué)文明缺乏演繹幾何學(xué)的研究，特別是沒有形成角的概念，沒有角度的大小度量制度。至于三角比、三角學(xué)等就更談不上了。

令人遺憾的是，數(shù)學(xué)科學(xué)在中華傳統(tǒng)文化中的地位不高，在科舉取士的體制里數(shù)學(xué)家并未成為一種在社會上得到尊重的職業(yè)。早期的科舉考試設(shè)有明算科，唐朝設(shè)立過算學(xué)博士，但很快就被取消，算學(xué)始終未能進(jìn)入中華文化的主流。長期以來，中國古代數(shù)學(xué)的傳承只能是一種民間活動。在四大古代數(shù)學(xué)文明中，中國數(shù)學(xué)形成較晚。

中國古代數(shù)學(xué)是四大人類文明的組成部分，雖然總體上發(fā)展比較晚，但是有其自身的優(yōu)勢，有其獨立的體系和獨創(chuàng)的輝煌。當(dāng)然，也有不足的一面。知己知彼，才能百戰(zhàn)百勝。更好地了解自己，是為了更好地前進(jìn)。

三、從真、善、美的高度揭示數(shù)學(xué)文明的 價值

數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域談?wù)摂?shù)學(xué)欣賞，在我國已有幾十年的歷史。早先，所謂欣賞數(shù)學(xué)之美，無非是黃金分割、蜂房結(jié)構(gòu)、五角星之類的外觀美。后來進(jìn)一步，從國際數(shù)學(xué)名家那里學(xué)習(xí)、領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，包括統(tǒng)一美、和諧美、簡潔美、冷峻美、奇異美等。這些美感都源于高等數(shù)學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)實在不多。

中小學(xué)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)從真、善、美這三個層面加以展開。

真，是本真之美。返璞歸真，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，是欣賞數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)。例如，三角函數(shù)（指正弦函數(shù)和余弦函數(shù)）的本真在于將做等速圓周運(yùn)動的質(zhì)點在兩個坐標(biāo)軸上的投影的運(yùn)動規(guī)律表示出來。

善，是美好的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)文明的偉大，在于能夠推動人類文明的進(jìn)步。在教學(xué)中，要揭示抽象數(shù)學(xué)概念的重要意義、數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用價值以及數(shù)學(xué)思想體系的深遠(yuǎn)意義。例如，三角函數(shù)之善，在于它是波動的數(shù)學(xué)模型；大自然中有聲波、電磁波、光波、引力波等，它們支配著我們的生活。

美，則是體現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的美麗形象，包括外在美和內(nèi)涵美。數(shù)學(xué)的美有三個層次：首先是外觀之美，如幾何圖形之美；其次是美好，如勾股定理表示的和諧與對稱；最后則是美妙，如三角形的三條高交于一點，出乎意料，但卻在情理之中，令人叫絕，這就是美妙的意境。

我們來看看均值不等式的真、善、美[3]。

人教版教材在引出此不等式時，要求學(xué)生從幾何圖形出發(fā)，用中國古代數(shù)學(xué)的出入相補(bǔ)原理進(jìn)行探究。這是一個別開生面的設(shè)計，充分展示了均值不等式的真、善、美。教材這樣引入：

教材的這段文字蘊(yùn)含著深厚的數(shù)學(xué)文化和真、善、美。

首先，教材借鑒了三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時所用的出入相補(bǔ)原理，可將均值不等式的“真”一覽無余。

其次，趙爽弦圖是數(shù)形結(jié)合的一個絕佳范例。純粹用代數(shù)方法證明均值不等式固然重要，但是用出入相補(bǔ)原理加以解釋，使得理性思考與直觀感受完美統(tǒng)一。這是數(shù)學(xué)的一種至善的境界。

最后，弦圖模型更是體現(xiàn)了視覺之美：對稱美與和諧美。特別是該模型像中國傳統(tǒng)的風(fēng)車，是古老的中華傳統(tǒng)的一個縮影，旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車代表具有悠久歷史的東方古國好客熱情，歡迎來自全世界的朋友。鑒于此，它成了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，以彰顯中國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智和獨具匠心。

數(shù)學(xué)之美，在于它的普遍性和多樣性。百川歸大海，殊途同歸。多角度地審視均值不等式，從而進(jìn)入了“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的境界。數(shù)學(xué)欣賞是體現(xiàn)“情感、態(tài)度與價值觀”教學(xué)目標(biāo)的有機(jī)組成部分，在教學(xué)方法上應(yīng)該遵循“潤物細(xì)無聲”的原則。在日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)要先著重理性把握，打好基本功，再在理解的基礎(chǔ)上談數(shù)學(xué)欣賞。沒有理解，談何欣賞？凡是你真正欣賞的人和事，必定是深入理解的。欣賞，是在基本理解的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的深入理解。因此，日常教學(xué)中的數(shù)學(xué)欣賞，只能結(jié)合內(nèi)容的闡述，點到為止。然而，到一個單元結(jié)束時，我們是不是應(yīng)該用欣賞的角度，對已經(jīng)基本理解了的內(nèi)容做一番欣賞呢？教材里有“本章小結(jié)”欄目，如果說畫一張“本章知識邏輯框圖”是一次“以理服人”的回顧與總結(jié)，那么，一場充滿高尚情感的數(shù)學(xué)欣賞活動，則是“以情感人”的激勵與享受。

四、促進(jìn)西方數(shù)學(xué)與中華文化的交流與整合

我國當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程，并非中國古代數(shù)學(xué)的延伸，而是全盤從西方引入的。因此，如何將西方數(shù)學(xué)與中華文明進(jìn)行適度整合是一項必須完成的課題。

中華文化與西方數(shù)學(xué)“聯(lián)姻”，并不是一件新鮮事。我國具有濃厚愛國主義情結(jié)的數(shù)學(xué)前輩，曾經(jīng)在20世紀(jì)50年代掀起過一個將西方數(shù)學(xué)本土化的高潮。就以現(xiàn)今通稱的勾股定理來說，在民國時期的數(shù)學(xué)教科書里，都稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。這一定理更名的過程并不簡單。如果翻開20世紀(jì)50年代中國的數(shù)學(xué)雜志，就可以看到許多文章在探討此事。有人建議稱之為“商高定理”，也有人認(rèn)為叫“陳子定理”較為合適。最后大家傾向于不以人名命名，而是直接點明其內(nèi)容，稱之為“勾股弦定理”。為簡便起見，最終稱為“勾股定理”。這一名稱得到數(shù)學(xué)教材編寫者和廣大教師的高度認(rèn)同，得以寫入教材、進(jìn)入課堂，一直沿用至今。此后，中國古代數(shù)學(xué)的成就繼續(xù)進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程：“楊輝三角”代替了“巴斯卡三角形”；劉徽的割圓術(shù)、祖沖之的圓周率研究成為數(shù)學(xué)課程進(jìn)行愛國主義教育的重要內(nèi)容……此外，當(dāng)時的高中數(shù)學(xué)教材有無限等比數(shù)列的內(nèi)容。由于數(shù)列{1/2[WTBX]n[WTBZ]}是極限為0的無限過程，于是，有人引“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（出自《莊子·天下篇》）加以比喻。這是中華文化和西方數(shù)學(xué)的巧妙融合，至今成為經(jīng)典。可惜的是，這一進(jìn)程沒有很好地繼續(xù)下去。

20世紀(jì)80年代，我國也曾有過一些創(chuàng)見。例如，宏觀上有吳文俊先生提出中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的“算法”體系，其價值可以和《幾何原本》相提并論；微觀上則有徐利治先生認(rèn)為“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”一句，可以表示連續(xù)量趨于零的過程（這一形象的描繪，乃“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”比喻的發(fā)展）。但是，這些見解沒有真正形成一種強(qiáng)烈的教學(xué)理念，因而也就沒有真正地進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂。

21世紀(jì)初我國進(jìn)行的大規(guī)模數(shù)學(xué)課程改革，曾經(jīng)大量地引進(jìn)和借鑒西方的做法，諸如數(shù)感、符號感、估算等相繼進(jìn)入了人們的視線。然而，這場改革并沒有提出數(shù)學(xué)教學(xué)與中華文化互相融合的目標(biāo)。一個突出的例子是把體現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的“珠算”從《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中刪除。所幸，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》讓算盤重回課堂，要求學(xué)生“認(rèn)識算盤”，能用算盤表示多位數(shù)。這是一個恢復(fù)性的改進(jìn)。但是從總體上看，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在數(shù)學(xué)教學(xué)和中華文化的融合上，并沒有跨出新的步伐。翻開今天的數(shù)學(xué)教材，提到中華文化的地方，依然是楊輝三角、劉徽割圓、負(fù)數(shù)引入、祖沖之的約率和密率那幾個熟悉的題材。

西學(xué)東漸以來，我國學(xué)者從中華文化的角度來詮釋西方數(shù)學(xué)，有許多已經(jīng)成為文化經(jīng)典。我們需要加以繼承發(fā)揚(yáng)，代代相傳，形成傳統(tǒng)。

《道德經(jīng)》里非常出名的一段是：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！边@13個字，簡直是一組中國化的自然數(shù)公理：自然數(shù)是一個接一個地“生”出來的，1“加1”就能生出2，2再“加1”就能生出3，不斷地“加1”就能生出“萬”；自然數(shù)里有1，2，3，…多得不得了，沒完沒了；1前面還有一個“道”，在數(shù)學(xué)上用0表示。

更進(jìn)一步，細(xì)細(xì)品味《道德經(jīng)》中的這段話，還可以發(fā)現(xiàn)它和高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)有十分密切的聯(lián)系。眾所周知，數(shù)學(xué)歸納法原理是與自然數(shù)公理等價的。一生二， 二生三，相當(dāng)于數(shù)學(xué)歸納法中[WTBX]n=1，2時，命題成立的要求。最后的目標(biāo)是獲得“三生萬物”的結(jié)果。然而，要“生”出“萬物”（自然數(shù)全體）來，必須要每個與n有關(guān)的命題都能“生”出與n+1相關(guān)的命題。這不正是數(shù)學(xué)歸納法原理的精髓嗎？總之，強(qiáng)調(diào)一個“生”的動詞，保證每個n[WTBZ]命題都能“生”，做到“生生不息”。

《道德經(jīng)》里蘊(yùn)藏著的智慧，值得我們細(xì)細(xì)品味。

綜上所述，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)欣賞的教學(xué)，還是一片尚未充分開發(fā)的沃土，值得我們不斷開發(fā)，使之形成百舸爭流、廣廈萬間的新局面。

參考文獻(xiàn)：

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