初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究性題目的解題技巧

鄭啟標(biāo)

摘要：近年來有關(guān)規(guī)律探索性題目在初中數(shù)學(xué)各種考試的試題中頻繁出現(xiàn)，這類題目要求學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，懂得分析，善于歸納、總結(jié)，它不僅有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的鞏固和掌握，也有利于學(xué)生思維能力的提高和自主探索、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。就這類題目從數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，探求出解決初中數(shù)學(xué)規(guī)律問題的常規(guī)方法和新方法。規(guī)律問題作為一種全新的題型，因其滲透了豐富的數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想而成為學(xué)生感到難度較大的問題。解決此類問題要經(jīng)歷一個(gè)觀察、分析、猜想判斷、歸納總結(jié)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，其關(guān)鍵要強(qiáng)化分類意識(shí)，并力求找出各部分的共性和特性才能使問題變得簡單。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；規(guī)律探究性題目；解題技巧；共性；特性；數(shù)學(xué)思想

一、代數(shù)中的規(guī)律問題

規(guī)律問題的設(shè)置，通常按照一定的順序給出一序列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。而揭示的規(guī)律常常包含著事物的序列號(hào)。所以，把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就能很快的發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

例1.有一組數(shù)為1，3，6，10，15，21......，第n個(gè)數(shù)為——。

分析：第一步，尋找個(gè)體的共性。這組數(shù)的每一個(gè)數(shù)都等于它的序列號(hào)數(shù)加上它前面的一個(gè)數(shù)字。

第二步，尋找個(gè)體的特性，探求特性中的共性（即找第一個(gè)數(shù)與1的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)與2的關(guān)系，第三個(gè)數(shù)與3的關(guān)系……），第一個(gè)數(shù)1=1，第二個(gè)數(shù)3=2+1，第三個(gè)數(shù)6=3+3=3+2+1，第四個(gè)數(shù)10=4+6=4+3+2+1，第五個(gè)數(shù)15=5+10=5+4+3+2+1，也就是說每一個(gè)數(shù)都可表示為一個(gè)數(shù)列的和，因此，第n個(gè)數(shù)為n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+……+3+2+1=n（n+1）/2。

例2.有一組數(shù)為1，4，9，16，25，36……

求第20個(gè)數(shù)為——，第n個(gè)數(shù)為——

分析：第一步，尋找個(gè)體的共性。這組數(shù)的每一個(gè)數(shù)都等于某數(shù)的平方。第二步，尋找個(gè)體的特性，探求特性中的共性（即找第一個(gè)數(shù)與1的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)與2的關(guān)系，第三個(gè)數(shù)與3的關(guān)系……）這里的第一個(gè)數(shù)正好是1的平方，第二個(gè)數(shù)正好是2的平方，第三個(gè)數(shù)正好是3的平方，第四個(gè)數(shù)正好是4的平方，依此類推，第20個(gè)數(shù)為20的平方=400，第n個(gè)數(shù)為n2。

例3.一組按規(guī)律排列的數(shù)：14，39 ，716 ，1325，2136 ，3149......請你推斷第9個(gè)數(shù)是——。

分析：第一步，尋找個(gè)體的共性。這組數(shù)的每一個(gè)數(shù)的分母都等于某數(shù)平方，而每個(gè)數(shù)的分母與分子之差等于3的倍數(shù)（分母—分子=3的倍數(shù)，分子=分母—3的倍數(shù)）。

第二步，尋找個(gè)體的特性，探求特性中的共性（即找第一個(gè)數(shù)與1的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)與2的關(guān)系，第三個(gè)數(shù)與3的關(guān)系……），第一個(gè)數(shù)的分母正好是2的平方，而分母與分子之差是3的1倍，即第一個(gè)數(shù)分子=22-3×1；第二個(gè)數(shù)的分母是3的平方，分母與分子之差是3的2倍，即第二個(gè)數(shù)分子=32-3×2；第三個(gè)數(shù)的分母是4的平方，分母與分子之差是3的3倍，即第三個(gè)數(shù)分子=42-3×3；依此類推，第n個(gè)數(shù)的分母為（n+1）2，分子為（n+1）2—3n，所以第n個(gè)數(shù)的通式為（n+1）2-3n（n+1）2，從而第九個(gè)數(shù)是（102-3×9）/102=73/100

例4.有一組數(shù)為1，2，5，10，17，26……請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，第18個(gè)數(shù)為——。

分析：第一步，尋找個(gè)體的共性。把這組數(shù)的每一個(gè)數(shù)都減去1就變成一組平方數(shù)。

第二步，尋找個(gè)體的特性，探求特性中的共性（即找第一個(gè)數(shù)與1的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)與2的關(guān)系，第三個(gè)數(shù)與3的關(guān)系……）這組新的平方數(shù)第一個(gè)數(shù)正好是0的平方，第二個(gè)數(shù)正好是1的平方，第三個(gè)數(shù)正好是2的平方，第四個(gè)數(shù)正好是3的平方，依此類推，第十八個(gè)數(shù)為17的平方（172），再把它加上1就是原來那組數(shù)的第十八個(gè)數(shù)，所以原來那組數(shù)的第18個(gè)數(shù)為172+1=290

二、平面圖形中的規(guī)律問題

解決此類問題的關(guān)鍵是尋找各部分的共性，數(shù)字規(guī)律應(yīng)遵循，圖形中的規(guī)律問題也要遵循。當(dāng)難以直接找到共性時(shí)，則可以通過抓住相鄰兩個(gè)數(shù)字或兩個(gè)式子，兩個(gè)圖形之間的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)，抓住了變量就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵。

例5.兩直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，十條直線相交最多有（）個(gè)交點(diǎn)。

分析：很容易知道5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)。第一步，尋找個(gè)體的共性。這些交點(diǎn)組成了一組數(shù)，這組數(shù)的每一個(gè)數(shù)都能表示為一個(gè)數(shù)列之和，如1=1，3=1+2，6=1+2+3。

第二步，尋找個(gè)體的特性，探求特性中的共性，為了更清楚地知道直線數(shù)量與交點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系，我們作如下的對比。

總之，在求解規(guī)律問題時(shí)，必須熟練掌握數(shù)學(xué)建模、分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想，始終遵循“尋找共性—尋找特性中的共性”這一原則，操作起來便會(huì)得心應(yīng)手。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙優(yōu)群 淺析初中數(shù)學(xué)中考規(guī)律性問題《數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）》2008年06月期

[2]例5摘自《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（七年級上冊）》第三章習(xí)題 2005年06月第二版

（作者單位：廣西南寧市青秀區(qū)南陽中學(xué) 530208）