數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳云云

摘要：模型的思想對于學(xué)生乃至任何人都有著舉足輕重的作用，大學(xué)里面我們用建模去解決一類問題，帶著這樣的思考，縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中其實(shí)也貫穿這很多的數(shù)學(xué)模型，怎樣利用這些數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生通過模型的學(xué)習(xí)去掌握數(shù)學(xué)知識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的前后關(guān)聯(lián)，對于教師來說是個(gè)課題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 轉(zhuǎn)化 便捷之路

在這幾年的教學(xué)中，一直在思考的問題就是怎樣把“數(shù)學(xué)建模的思想運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中”。下面從以下幾點(diǎn)做出闡述。

一、數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型[1]。（Mathematical Model）是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）。簡言之“數(shù)學(xué)模型是對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)的特定對象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！痹诹x務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

二、義務(wù)教育階段中的數(shù)學(xué)模型

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，……通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”。由此可見，模型思想在義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用舉足輕重。

自己的教育理想就是“把數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，嘗試靈動(dòng)課堂的構(gòu)建并形成自己的教學(xué)風(fēng)格?！睆慕潭臧耄约簭你露恼旧现v臺到現(xiàn)在漸漸地能摸索出一些自己的方法，雖然還不是很成熟，但是相信不斷的嘗試終有一天會(huì)游魚得水?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]中把義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)知識分為三大領(lǐng)域，即數(shù)與代數(shù)部分，空間與圖形部分和統(tǒng)計(jì)與概率部分?！昂暧^層面上，數(shù)學(xué)知識對于學(xué)生的發(fā)展價(jià)值，除了提供數(shù)學(xué)知識以外，還可以提供學(xué)生特有的運(yùn)算符號和邏輯系統(tǒng)，使學(xué)生具有數(shù)學(xué)的話語系統(tǒng);提供學(xué)生認(rèn)識事物數(shù)量，數(shù)形關(guān)系及轉(zhuǎn)換的不同路徑和不同視角，使學(xué)生具有數(shù)學(xué)的眼光;提供發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系、數(shù)形關(guān)系及轉(zhuǎn)換的方法和思維策略，使學(xué)生具有數(shù)學(xué)的頭腦;提供學(xué)生一種唯有在數(shù)學(xué)學(xué)科中才可能經(jīng)歷和體驗(yàn)并建立起來的獨(dú)特思維方式。”[3]

三、數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中的存在

對學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)，要從低年級循序漸進(jìn)，首先對低年級的學(xué)生我是通過實(shí)例和日常教學(xué)培養(yǎng)孩子模型的意識，到高年級漸漸地讓孩子自己抽象出模型并學(xué)會(huì)運(yùn)用模型，“確定位置”的數(shù)學(xué)模型是立體坐標(biāo)系。學(xué)生在一年級接觸到的一列隊(duì)伍中“小明男孩排在第2個(gè)”，是一維空間上的確定位置;在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個(gè)”，是二維空間上的確定位置;五年級學(xué)習(xí)的“數(shù)對”則是初步抽象的二維坐標(biāo)模型。再到后來學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計(jì)圖更加是我們初中階段的函數(shù)圖象的數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)中如果我們教師注意到這樣的數(shù)學(xué)模型存在，并不斷的去強(qiáng)化和滲透一定能為學(xué)生將來在高中階段學(xué)習(xí)立體坐標(biāo)系提供很好的支持。其實(shí)這樣的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的安排上有很多的例子，還有如圖形面積公式的推導(dǎo)，其實(shí)就是轉(zhuǎn)化模型的具體應(yīng)用，梯形的面積是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，后來圓的面積同樣是轉(zhuǎn)化成長方形。

四、數(shù)學(xué)模型的載體和實(shí)施

2013年8月份我有幸來到翡翠學(xué)校，在華師大的集中培訓(xùn)下，自己接受了很多新的教育理念，終于為自己認(rèn)識到的小學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)模型找到了一個(gè)載體，那就是吳亞萍老師的“教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”以及課堂教學(xué)中的三放三收。

找到了數(shù)學(xué)模型的載體后，自己在當(dāng)前的教學(xué)中，不斷的去嘗試，去完善這種教學(xué)方法。在開學(xué)之初，結(jié)合自己寒假的思考，我開始運(yùn)運(yùn)用這種方法。

【教學(xué)片段1】

出示情境圖。

師：請同學(xué)們認(rèn)真數(shù)一數(shù)，大猴子面前有多少個(gè)桃？

生：有13個(gè)桃。

師：你真棒！誰再來說一說小猴子告訴了我們什么。

生：小猴子說“我買了9個(gè)。”

師：很好！現(xiàn)在我們來把著兩個(gè)信息連起來看看，你有什么想問的嗎？你知道怎樣列式嗎？

生：還剩多少個(gè)？13-9=4。

教師聽了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭，板書13-9=4。

接著教學(xué)13-9=4的計(jì)算方法。

【教學(xué)片段2】

出示情境圖。（同上）

師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？

生：從圖中我看到了大猴子面前有13個(gè)桃子。

師：來了一只小猴子，小孩子想干嘛？

生：小猴子說“我買9個(gè)”。

師：你能把兩句話連起來說嗎？

生：大猴子有13個(gè)桃子，小猴子買了9個(gè)。

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，也說得很好。說完之后，你有什么想問的嗎？

生：大猴子有13個(gè)桃子，小猴子買了9個(gè)，還剩幾個(gè)？

生（齊）：4個(gè)。

師：對，大家能不能用小棒代替桃子，將計(jì)算過程擺一擺呢？

（教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺小棒，并請一生將小棒擺在投影儀的下面。）

師：（結(jié)合情境圖和擺小棒的過程說明）大猴子有13個(gè)桃子，小猴子買了9個(gè)，還剩4個(gè)。

生1：從13根小棒中一根一根拿，拿走9個(gè)，還剩4個(gè)。所以13-9=4。

生2：從10根里面拿走9根，剩下1根加上另外的3根，所以13-9=4。

生3：從13根里面先拿走3根，再拿走6根，13-3=10，10-6=4。所以13-9=4。

生4：9加（4）等于13，13減9得4。

師：同學(xué)們說得真好！你喜歡哪種計(jì)算方法呢？請同桌互相說一說。

師小結(jié)：像這樣的四種計(jì)算方法，我們分別把它們叫做一個(gè)一個(gè)的減，破十法，平十法，還有想加得減法。并分別用多媒體課件演示。其實(shí)呀這些方法我們不僅可以算13減9，還可以算很多的十幾減9的算式呢，你能舉例說明嗎？

生1：12-9=因?yàn)?2-2=10.10-7=3所以12-9=3。

生2：15-9=因?yàn)?加6等于15，所以15-9=6。

……

上述兩段教學(xué)，所體現(xiàn)出來的教學(xué)方法和效果是完全不一樣的。第一個(gè)片段，屬于“就教材教教材”式的簡單教學(xué)，這是我第一次拿到課本對教學(xué)的定位，感覺完全停留在知識傳授的層面上，“13-9=4”僅是一道題的解答算式的計(jì)算方法而已。第二個(gè)片段，是自己在一年教學(xué)后，對教學(xué)的重建，除了教學(xué)充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。且這種訓(xùn)練并不是簡單、生硬地進(jìn)行，而是和低年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切，由具體、形象的實(shí)例開始，借助操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以推廣，把13-9=的計(jì)算方法推廣到十幾減9，甚至是后面的十幾減8等教學(xué)中，真正做到了教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)到的模型去解決新的知識。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識概念、命題、問題和方法等到處都存在“數(shù)學(xué)模型”的影子，用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)著小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了便捷之路，也給學(xué)生的知識積累帶來了便捷之路。

參考文獻(xiàn)：

[1] 姜啟源謝金星葉俊《數(shù)學(xué)模型第三版》，高等教育出版社，2008年.

[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，北京師范大學(xué)出版社，2012，16-26.

[3]吳亞萍，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新視野 [M]，上海教育出版社，2006，32.