重點(diǎn)突破：函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 在解決與函數(shù)有關(guān)的（如方程、不等式等）問題時(shí)，巧妙利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的.

函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)知識(shí)的核心，是研究函數(shù)、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數(shù)性質(zhì)是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 函數(shù)的單調(diào)性

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

深化（單調(diào)性定義的等價(jià)形式）：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數(shù).

（2）單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

2. 函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù).

（2）性質(zhì)：①f（x）為奇函數(shù)？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數(shù)？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；f（x）是奇函數(shù)？圳f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

④在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

⑤若奇函數(shù)f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

4. 函數(shù)的周期性

（1）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數(shù)，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質(zhì)：①f（x+T）=f（x）常寫作fx+=fx-.

②若T是函數(shù)y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數(shù)，且a≠0），則f（x）是一個(gè)以2a為周期的周期函數(shù).

方法突破

1. 單調(diào)性的證明方法

（1）定義法：如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2）），那么就說f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）.

（2）導(dǎo)數(shù)法：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f ′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2. 單調(diào)區(qū)間的求法及表示

單調(diào)區(qū)間的求法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以在求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域. 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

3. 函數(shù)奇偶性的判斷

主要根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（或奇函數(shù)）. 該定義包含兩個(gè)必備條件：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準(zhǔn)確、簡潔地解決問題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)系式f（x）+f（-x）=0（奇函數(shù)）或f（x）-f（-x）=0（偶函數(shù)）是否成立.

典例精講

例1 已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=，則f（x）=0在區(qū)間[0，2013]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2011 B. 1006

C. 2013 D. 1007

思索 解決抽象函數(shù)問題一般有三種思路：①根據(jù)題設(shè)畫出簡單圖象進(jìn)行處理；②適當(dāng)利用“賦值”法得到一些基礎(chǔ)結(jié)論；③尋求函數(shù)“模型”來理解.

破解 由f（x+1）=f（x-1），可知f（x+2）=f（x），所以函數(shù)f（x）的周期是2.

由f（x）=f（-x+2）可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=，所以函數(shù)f（x）=0在區(qū)間[0，2013]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2013個(gè)，選C.

例2 已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的（ ）

A. 既不充分也不必要條件

B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件

D. 充要條件

思索 利用函數(shù)的奇偶性、周期性，將可研究區(qū)間擴(kuò)充，再利用單調(diào)性、充要條件的知識(shí)進(jìn)行判定.

破解 ①因?yàn)閒（x）在R上是偶函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.因?yàn)閒（x）為[0，1]上的增函數(shù)，所以f（x）為[-1，0]上的減函數(shù). 又f（x）的周期為2，所以f（x）為區(qū)間[-1+4， 0+4]=[3，4]上的減函數(shù).

②f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，且f（x）的周期為2，所以f（x）為[-1，0]上的減函數(shù). 又f（x）在R上是偶函數(shù)，所以f（x）為[0，1]上的增函數(shù). 由①②可知，“為[0，1]上的增函數(shù)”是“為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件.

故選D.

例3 對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”. 若已知f（x）=4x-m·2+m2-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

思索 本題給出函數(shù)奇偶性的新定義，抓住定義的本質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為二次方程在指定范圍內(nèi)有解.

破解 因?yàn)閒（x）為“局部奇函數(shù)”，所以存在實(shí)數(shù)x滿足f（-x）=-f（x），即4-2m·2+m2-3=-4x+2m·2x-m2+3. 令t=2x（t>0），則+t2-2m+t+2m2-6=0，即+t-2m+t+2m2-8=0在t>0有解. 令h=+t，則h≥2，則g（h）=h2-2mh+2m2-8=0在h≥2有解.

函數(shù)關(guān)于h的對(duì)稱軸為h=m，

①當(dāng)m≥2時(shí)，只需Δ≥0，所以m2-8≤0，解得2≤m≤2；

②當(dāng)m<2時(shí)，只需g（2）=4-4m+2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，得1-≤m<2.

綜合①②，可知1-≤m≤2.

例4 若f（x）=，0≤x≤2，f（2），x>2，

（1）求函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）已知實(shí)數(shù)x1，x2∈（0，1]，且x1+x2=1，求f（x1）·f（x2）的最大值.

思索 （1）問根據(jù)定義用“作差法”求解；（2）問把方程有解問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題來研究；（3）問可化為關(guān)于x1x2的分式，再結(jié)合條件x1+x2=1通過基本不等式求解.

破解 （1）當(dāng)x>2時(shí)，f（x）=f（2）=是常數(shù)，無單調(diào)區(qū)間.

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=. 任取x1，x2∈[0，2]，且x1

因?yàn)閒（x1）-f（x2）=-=

=

=.

所以當(dāng)0≤x1

當(dāng)-1≤x10，f（x1）>f（x2）.

綜上可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，-1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[-1，2].

（2）由（1）知，f（0）=1，f（x）max=f（-1）=，f（2）=.

方程f（x）-a=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以1≤a<.

（3）由已知，f（x1）f（x2）=·=

=

=.

令t=x1x2，因?yàn)?=x1+x2≥2當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=時(shí)取等號(hào).

又t∈0，，所以f（x）f（x）==.

令s=t+2，則s∈2，，所以f（x1）f（x2）==.

因?yàn)閥=s+在2，上單調(diào)遞減，所以y=+=.

所以[f（x1）f（x2）]max=.？搖

變式練習(xí)

1. 設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x-4（x≥0），則{xf（x-2）>0}等于（ ）

A. {xx<-2或x>4}

B. {xx<0或x>？搖4}

C. {xx<0或x>6}

D. {xx<-2或x>2}

2. 已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），如果f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，那么f（x）在[1，3]上是（ ）

A. 增函數(shù)

B. 減函數(shù)

C. 先增后減的函數(shù)

D. 先減后增的函數(shù)

3. 已知f（x）為R上增函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f[f（x）-3x]=4，則f（2）=________.

4. 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，有下列一些關(guān)于f（x）的判斷：①f（x）是周期函數(shù)；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；④f（x）在[-2，-1]上是減函數(shù). 其中正確的判斷是__________（把你認(rèn)為正確判斷的番號(hào)都填上）.

5. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[3，5]時(shí)， f（x）=2-x-4. 下列4個(gè)不等關(guān)系：fsinf（sin2），其中正確的個(gè)數(shù)是__________.

參考答案

1. B 2. C

3. 10 依題意， f（x）-3x為常數(shù)，設(shè)f（x）-3x=m，則f（m）=4， f（x）=3x+m，所以3m+m=4，3m+m-4=0，易知方程3m+m-4=0有唯一解m=1，所以f（x）=3x+1， f（2）=32+1=10.

4. ①②③ 因?yàn)閒（2-x）=-f（x），所以f（x）有對(duì)稱中心（1，0）. 又f（2-x）=-f（x），所以f（x）=-f（2-x），所以f（x+4）=-f[2-（x+4）]=-f[-（x+2）]. 又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f[2-（x+2）]=f（-x）=f（x），所以4是f（x）的一個(gè)周期. 從而由圖象可知其中正確的判斷是①②③.

5. 2 由f（x+2）=f（x）知函數(shù)f（x）的周期為2，結(jié)合x∈[3，5]時(shí)f（x）=2-x-4的圖象可畫出函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的圖象，關(guān)于y軸對(duì)稱，且在[-1，0]上函數(shù)單調(diào)遞增，在[0，1]上函數(shù)單調(diào)遞減. 0fcos；1>sin1>cos1>0，則f（sin1）f=fsin；cos2= -cos（π-2），所以f（cos2）=f（cos（π-2））， f（sin2）=f（sin（π-2）），>π-2>，所以0f（sin2）. 有2個(gè)正確.