李浩涵
摘 要:在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,函數(shù)概念是眾多數(shù)學(xué)概念中的重點(diǎn)之一,經(jīng)過(guò)300年的研究與發(fā)展,廣大學(xué)者已經(jīng)分別從不同的角度對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析,包括集合角度、代數(shù)角度、幾何角度等等,這也使函數(shù)知識(shí)得到了快速的完善與發(fā)展,本文則是從函數(shù)知識(shí)在日常生活中的應(yīng)用的角度加以闡述,分析一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)在生活中的具體應(yīng)用。
關(guān)鍵詞:函數(shù)知識(shí);日常生活;例題解析
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,與之同時(shí),在日常生活中函數(shù)知識(shí)也得到了廣泛的應(yīng)用[1]。函數(shù)知識(shí)在生活中應(yīng)用,主要是指將生活中的問(wèn)題運(yùn)用變量關(guān)系表達(dá)出來(lái),分析問(wèn)題中各個(gè)元素之間的關(guān)系,這種關(guān)系運(yùn)用函數(shù)的方式表達(dá)出來(lái),再通過(guò)該函數(shù)的性質(zhì)、圖像等基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的目的[2]。該思想能夠?qū)⑷粘I钪械膯?wèn)題變復(fù)雜為簡(jiǎn)單、變抽象為具體,進(jìn)而解決問(wèn)題。函數(shù)有很多種類(lèi),一般分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù),本文就分別舉例說(shuō)明這些函數(shù)在生活中的具體應(yīng)用與重要作用。
1.函數(shù)的相關(guān)概念
1.1函數(shù)的定義
函數(shù)的傳統(tǒng)定義為[3]:一般來(lái)講,在一個(gè)不斷地變化形勢(shì)中,假設(shè)兩個(gè)變量分別為x和y,如果對(duì)于任意一個(gè)x都有唯一一個(gè)y與之對(duì)應(yīng),那么就可以將x稱作是自變量,將y視作是x的函數(shù)。函數(shù)的近代定義為:有兩個(gè)非空的數(shù)集,分別為A和B,若根據(jù)一種已定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,能夠使A中的任何一個(gè)元素x,在B中都有唯一一個(gè)確定的y與之對(duì)應(yīng),那么就將映射f稱作是集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。
1.2函數(shù)的表現(xiàn)方式
函數(shù)的表示方式主要分為下面幾種[4]:(1)解析式法,該方法是運(yùn)用等式將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)的一種方法,具有準(zhǔn)確、清晰等優(yōu)點(diǎn),但是卻存在運(yùn)算復(fù)雜等缺點(diǎn),一般形式為:y=ax+b。(2)列表法,該方法是運(yùn)用列表將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)的一種方法,具有直觀讀取自變量與函數(shù)值的優(yōu)點(diǎn),但是卻存在無(wú)法展示函數(shù)全貌的局限的缺點(diǎn)。(3)圖像法,該方法是運(yùn)用圖像將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)的一種方法,能夠?qū)⒑瘮?shù)關(guān)系直觀、形象的展示出來(lái),但是圖像只能呈現(xiàn)出相近的數(shù)值關(guān)系。(4)語(yǔ)言敘述法。該方法是運(yùn)用語(yǔ)言將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)的一種方法,在數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用并不多。
2.函數(shù)知識(shí)在生活中的應(yīng)用分析
函數(shù)在數(shù)學(xué)家族中是重要的家庭成員,并且在日常生活中也是隨處可見(jiàn)。一次函數(shù)能夠解決租車(chē)問(wèn)題、二次函數(shù)能夠解決銷(xiāo)售問(wèn)題、三角函數(shù)能夠解決停車(chē)場(chǎng)問(wèn)題、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)能夠解決人口問(wèn)題以及儲(chǔ)蓄問(wèn)題等,這些函數(shù)都能夠?qū)θ粘I钪心承﹩?wèn)題進(jìn)行完美的解決,能夠?qū)⒆匀唤缰胁煌淖兞恐g表示出特定的關(guān)系,對(duì)我們的生活具有必不可少的作用。
(1)一次函數(shù)對(duì)租車(chē)問(wèn)題的解決
一次函數(shù)是函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ),也在日常生活中最常見(jiàn),例如購(gòu)物總價(jià)與購(gòu)物數(shù)量呈現(xiàn)出一次函數(shù)關(guān)系,租用車(chē)輛經(jīng)費(fèi)與車(chē)輛數(shù)量呈現(xiàn)出一次函數(shù)關(guān)系等等,具體如下:
例題:某學(xué)校組織活動(dòng)租用車(chē)輛,經(jīng)費(fèi)在2300元內(nèi),共有234個(gè)學(xué)生與6個(gè)老師坐車(chē),每輛車(chē)至少有一個(gè)老師,現(xiàn)有兩種客車(chē),甲客車(chē)能夠裝載45人,租金為400元,乙車(chē)能夠裝載30人,租金為280元,則最經(jīng)濟(jì)的租車(chē)方案應(yīng)怎樣選擇?
解題分析:共有240人需乘車(chē),客車(chē)總數(shù)不能少于240/45,則需租用6輛車(chē)。設(shè)租甲車(chē)x輛,車(chē)費(fèi)為Y,則兩者間可以呈現(xiàn)出函數(shù)關(guān)系:Y=400x+280(6-x)=120x+1680,而Y≦2300,則x≦31/6,即x≦5。同時(shí)要確保全部師生有座位,則x要大于等于4,因此有兩種方案,一種是甲車(chē)4輛,乙車(chē)2輛,一種是甲車(chē)5輛,乙車(chē)1輛,而Y與x呈現(xiàn)出正比關(guān)系,所以x越小,Y越小,因此應(yīng)該選擇方案一,甲車(chē)4輛,乙車(chē)2輛,最經(jīng)濟(jì)。
(2)二次函數(shù)對(duì)銷(xiāo)售問(wèn)題的解決
二次函數(shù)常用于一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量均勻變化時(shí)而出現(xiàn)變化越來(lái)越快的情況中,例如細(xì)胞分裂的數(shù)量與時(shí)間呈現(xiàn)出二次函數(shù)關(guān)系,自由落體速度與下落時(shí)間呈現(xiàn)出二次函數(shù)關(guān)系,導(dǎo)彈爆炸路線也呈現(xiàn)二次函數(shù),還可以應(yīng)用在銷(xiāo)售問(wèn)題中,如下:
例題:每逢過(guò)年過(guò)節(jié)期間,人們對(duì)于鮮魚(yú)的需求量大量上漲,某養(yǎng)殖戶采用排水的方式降低捕魚(yú)成本來(lái)應(yīng)對(duì)市場(chǎng)需求,先后不間斷排水20天。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),降低水位的天數(shù)與鮮魚(yú)銷(xiāo)售存在下面的關(guān)系,設(shè)捕撈x天,鮮魚(yú)銷(xiāo)售單價(jià)為20元/kg,單位捕撈成本為(5-x/5)元/kg,捕撈量為(950-10x)kg。則假定這些天都沒(méi)有其他損失,鮮魚(yú)也能夠當(dāng)天售罄,則求排水第幾天該養(yǎng)殖場(chǎng)的收入最高?
解題分析:由于當(dāng)天收入=日銷(xiāo)售額-日捕撈成本,則y=20(950-10x)-(5-x/5)(950-10x)=-2(x-10)2+14450,則因?yàn)閤的取值在1到20之間,而當(dāng)1≦x≦10時(shí),函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)10≦x≦20時(shí),函數(shù)為減函數(shù),因此當(dāng)x=10時(shí),y取得最大值,即y=14450元。
(3)三角函數(shù)對(duì)停車(chē)場(chǎng)問(wèn)題的解決
日常生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)三角形,而三角函數(shù)也由此而生。例如建筑施工過(guò)程中的高度測(cè)量需要運(yùn)用到三角函數(shù)知識(shí),航海行程需要運(yùn)用到三角函數(shù)知識(shí),檢測(cè)房屋建造是否合理需要運(yùn)用到三角函數(shù)知識(shí),三角函數(shù)還可以應(yīng)用在停車(chē)場(chǎng)問(wèn)題的解決中,如下:
例題:如圖1,ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100m的正方形土地,其中,ATPS是半徑為90m的扇形小山,P是弧TS上一點(diǎn),其余部分都為平整土地,現(xiàn)在某開(kāi)發(fā)商想在該土地上創(chuàng)建一個(gè)邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)PQCR,則該停車(chē)場(chǎng)的最大面積與最小面積分別為多少?
解題分析:設(shè)∠PAB=x°(0<x<90),延長(zhǎng)RP交于AB于M,則AM=90cosx,MP=90sinx,所以PQ=AB-AM=MB=100-90cosx,PR=MR-MP=100-90sinx,因此矩形PQCR的面積為S=PQ×PR=(100-90cosx)(100-90sinx)=10000-9000(sinx+cosx)+8100sinx·cosx,令t=sinx·cosx(1<t≦),則sinx·cosx=(t2-1)/2,因此S=10000-9000t+8100(t-10/9)2+950,因此當(dāng)t=時(shí),Smax=14050-9000=1324m2,當(dāng)t=9時(shí),Smin=950m2,因此該停車(chē)場(chǎng)的最大面積為1324平方米,最小面積為950平方米。
圖1
(4)其他函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用
除去一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)之外,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)也是數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)的重要組成部分,而指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)呈現(xiàn)出正反函數(shù)的關(guān)系,兩者在生活中的應(yīng)用也非常相似,例如指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在存款利率問(wèn)題、路線規(guī)劃等問(wèn)題中都能夠得到廣泛應(yīng)用,因?yàn)檫@些問(wèn)題都呈現(xiàn)出非常明顯的指數(shù)關(guān)系或是對(duì)數(shù)關(guān)系。例如日常生活中,人們會(huì)將除去日常花銷(xiāo)之外的資金儲(chǔ)存在銀行中,而銀行儲(chǔ)蓄的利息計(jì)算也是人們關(guān)注的重點(diǎn)。如果一個(gè)人將本金m存入銀行中,而銀行每期的利潤(rùn)為r,則此人將這些資金儲(chǔ)存x期后再取出,將得到本息和y=m(1+r)x。又或者是通過(guò)大數(shù)據(jù)測(cè)算網(wǎng)購(gòu)習(xí)慣,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)對(duì)消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品進(jìn)行統(tǒng)計(jì),再綜合相關(guān)信息了解消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)習(xí)慣,以便為消費(fèi)者推薦所需商品;與之同時(shí),通過(guò)對(duì)交通流量測(cè)算,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算與分析,能夠提前引導(dǎo)行人規(guī)劃合理路線等。運(yùn)用函數(shù)解決此類(lèi)問(wèn)題能夠大大減少工作人員的工作量,為人們的日常生活帶來(lái)了很大的便利。
結(jié)束語(yǔ):函數(shù)知識(shí)在日常生活中的應(yīng)用,主要是將日常生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,分析已知量以及未知量,找到兩者之間的關(guān)系,并運(yùn)用函數(shù)將這種關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái),再經(jīng)過(guò)具體的運(yùn)算以及推理將問(wèn)題完美的解決。函數(shù)分為多個(gè)種類(lèi),每種函數(shù)都在日常生活中得到了有效的應(yīng)用,一次函數(shù)能夠表示購(gòu)物總價(jià)與購(gòu)物數(shù)量之間的關(guān)系,并且能夠解決租用車(chē)輛問(wèn)題;二次函數(shù)能夠表示細(xì)胞分裂的數(shù)量與時(shí)間之間的關(guān)系,并且能夠應(yīng)用在銷(xiāo)售問(wèn)題的解決中;三角函數(shù)能夠解決建筑施工過(guò)程中的高度測(cè)量問(wèn)題以及檢測(cè)房屋建造是否合理,同時(shí)還能夠應(yīng)用在停車(chē)場(chǎng)問(wèn)題中;指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這對(duì)正反函數(shù)都能夠應(yīng)用在存款利率問(wèn)題、規(guī)劃路線等問(wèn)題的解決中。
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