數(shù)學(xué)化歸思想在中考中的應(yīng)用

江祥燕

摘 要：本文以分析歸納的方式對滲透化歸思想的中考題進(jìn)行探究，主要研究的是數(shù)學(xué)化歸中的一種方法——求變法在中考中的應(yīng)用。旨在通過本文的歸納讓中學(xué)數(shù)學(xué)教育者及理論研究者能更加重視化歸在中考中的應(yīng)用并能積極地研究相關(guān)方面的題目，充分地體現(xiàn)化歸在中考中的地位。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 化歸 中考

前言：化歸幾乎存在于所有的數(shù)學(xué)問題之中，是一種重要的思維和方法。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求“老師只起到主導(dǎo)作用，學(xué)生才是主體作用”。那么，如何體現(xiàn)以學(xué)生為本呢？如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極主動的探究呢？平時，我們最常用的莫過于問題導(dǎo)學(xué)了，記得有研究者說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)問題的解決是教學(xué)中的一個重要的組成部分。然而，化歸思想是制定解決這些數(shù)學(xué)問題的策略，化歸方法則是采用具體的方法去執(zhí)行這種策略的一種方法，只是具體的表現(xiàn)形式有所不同而已。例如，計算題利用規(guī)定的法則進(jìn)行化歸；證明題則是利用定理、公理或已經(jīng)解決的問題進(jìn)行化歸；應(yīng)用題是利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化歸。除此之外，對于化歸方法的研究，一般從兩個方面著手：一是探討化歸的理論；二是研究化歸方法的具體實施。本文主要研究的是化歸的眾多方法中的幾種常用的方法——恒等變形法、參數(shù)法、構(gòu)造法。

化歸是個大的概念，我們需要進(jìn)一步的研究總結(jié)，現(xiàn)我將初中常見的幾種化歸方法概括如下：恒等變形法、參數(shù)法、構(gòu)造法。盡管在中考中經(jīng)常會遇到這些方法，我們在教學(xué)生上卻沒有從理論上闡述，因此本文將結(jié)合往年中考題來把這一抽象的理論方法具體化，同時經(jīng)過這次研究有助于在今后教學(xué)中能從化歸思想這一理論高度來分析問題。

一.數(shù)學(xué)化歸思想在中考中的地位

中考題型千變?nèi)f化，不僅題型新穎，知識覆蓋面大，而且技巧性強，也要求計算能力強。尋求準(zhǔn)確有效的解題思路，運用正確的數(shù)學(xué)思想意味著為中考尋找一條擺脫困境，繞過障礙的途徑。初中數(shù)學(xué)中，如果我們能把所要解決問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，學(xué)會從反面尋找突破口最終把它轉(zhuǎn)化成正面的能直接解決的問題，這就說明我們基本可以抓住了化歸的實質(zhì)。同時，我們在中考總復(fù)習(xí)中，除了有計劃地將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)外，適當(dāng)?shù)亟榻B一些解題思想、解題方法是十分必要的，本文介紹的化歸法就是一種重要的思想方法。

二.數(shù)學(xué)化歸思想在中考中的應(yīng)用

1.恒等變形法

化歸中最常用的是恒等變形法 ，特別是在解方程或證明一些整除性問題時，實現(xiàn)了由未知向已知的化歸。例如，解方程組中的消元法、配方法等，這些技巧或方法是恒等變形法的一些小分支卻又是不可或缺的。

2.消元法

消元法是恒等變形的一種常用的方法。由二元一次方程組消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，由三元一次方程消元轉(zhuǎn)化為二元再到一元等這些都是消元法。除此之外，與之類似的還有降次轉(zhuǎn)化這一化歸思想，由一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程等。

3.配方法

配方法是數(shù)學(xué)中另一種重要的恒等變形 ，在因式分解、根式化簡、解方程、解一元二次方程等方面都有廣泛的應(yīng)用。由于配方是在等式及滿足相關(guān)的性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因此，這種變形是等價化歸的。

其次，該種方法的實質(zhì)就是在等價類中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后利用這個模型的特性去處理問題。

三.從高中數(shù)學(xué)角度看化歸思想的地位

1 .參數(shù)法

利用化歸的方法解題時在必要的時候可以引入?yún)?shù)，也就是說，在解疑思路的探索過程中，使學(xué)生初步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的化歸思想。新大綱 提出：“要加強對解題的正確指導(dǎo)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法進(jìn)行必要的概括”，引入?yún)?shù)是成功運用化歸的一種基本手段。一般地說，參數(shù)法的特征就在于引進(jìn)參數(shù)使得問題的表現(xiàn)形式或解結(jié)構(gòu)處于可變的狀態(tài)；當(dāng)然，這種變化的目的則又是為了最終實現(xiàn)由未知向已知、由難向易、由繁到簡的化歸。

2 .構(gòu)造法

在很多情形下，往往需要構(gòu)造一些輔助命題去幫助解決原命題，它是根據(jù)某類數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論的特征，以及已有的數(shù)學(xué)關(guān)系，在思維中構(gòu)造出與之相關(guān)的數(shù)學(xué)形式，從而使問題得到解決。比如數(shù)學(xué)中數(shù)與形之間的等價構(gòu)造以及不等價構(gòu)造。在中學(xué)數(shù)學(xué)中不少常規(guī)的方法不容易解決，但是適當(dāng)構(gòu)造方程和方程組函數(shù)等工具，并利用相關(guān)的知識卻能很順利地求解。

2.1 構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的每一個知識版塊，是歷年中考必考內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用構(gòu)造函數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問題，不僅為解題提供了一個有效的方法，而且能加深對函數(shù)的認(rèn)識。在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，利用函數(shù)知識綜合解題，可以收到將初中數(shù)學(xué)知識融會貫通的效果。

同時，我們知道函數(shù)這一知識點貫穿著初高中，為了更好的展現(xiàn)化歸這一思想的作用，我將結(jié)合高中這一知識點進(jìn)行闡述。針對函數(shù)這個工具，在高中階段不僅把它看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還聯(lián)系了高中集合這一知識點對應(yīng)的語言來刻畫，函數(shù)貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終，因此利用函數(shù)解題也就成為必要的一種方法及手段，下面通過幾個高考題來說明利用構(gòu)造函數(shù)來解決問題的簡單性。

2.2 構(gòu)造方程

縱觀整個中學(xué)過程，無論是初中或是高中都存在不少關(guān)于一元二次方程中求值的問題，這類問題中量與量之間的關(guān)系不是十分明顯，如果能利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程，就能比較清楚揭示內(nèi)在關(guān)系易于獲解。然而，對于有關(guān)方程的題型往往是采用化歸的方法完成，但至于用化歸中的哪一種方法還要視具體的題目而定。

四.利用化歸思想解決中考題的意義

中考考題型千變?nèi)f化，不僅題型新穎，知識覆蓋面大，而且技巧性強，個別問題的解法獨到別致。尋求準(zhǔn)確有效的解題思路，運用正確的數(shù)學(xué)思想意味著為高考尋找一條擺脫困境，繞過障礙的途徑 。因此，我們在解決考題時，思考的重點就是把所要解決問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，也就是說，在求解不易得或直接從正面找不到解決辦法的情況下我們往往從反面尋找突破口最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個熟知的或已經(jīng)解決的問題來解決。顯然，通過上述一系列的總結(jié)及歸納我們不難看出：化歸法無處不在，化歸中的求變法尤為常用，所以我們能夠巧妙地通過綜合其他方法合理地運用化歸來思考高考題將會有助于我們開闊思維、放寬視野。

五.化歸的局限性

雖然化歸在數(shù)學(xué)研究和實際應(yīng)用中有著重要的作用，但它也具有一定的局限性。首先，雖然大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題可以用化歸來解決但始終不是用于所有的問題。就平時我們所說的“由難到易、由繁到簡” 的化歸顯然是不可能永遠(yuǎn)繼續(xù)下去的。其次，由前面的分析可以看出，運用化歸法解決問題的關(guān)鍵就在于能否找到正確的化歸方向和方法，因此，盡管化歸法最終表現(xiàn)為一種解決問題的方法，但是，它的成功應(yīng)用卻是以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提的。從而，就數(shù)學(xué)方法論的研究而言，我們也就不能停留于化歸法的分析，而應(yīng)積極地去從事新的研究，例如，我們首先就應(yīng)討論數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法。

總之，本文只在前人的基礎(chǔ)上對化歸在中考中的實際應(yīng)用深入地探究，并且歸納了利用求變法解決實際中考題中的一類題型，如果要繼續(xù)研究這方面的課題將是一個很艱巨的任務(wù)，仍需更多人的關(guān)注以及支持。

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