集合思想在高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

劉茹紅

摘 要：集合是近代數(shù)學(xué)中的一個重要概念，也是學(xué)生進入高中的新課程學(xué)習(xí)中第一個內(nèi)容，內(nèi)容雖少但集合思想是解決某些數(shù)學(xué)的重要工具，因此學(xué)好集合知識是為學(xué)好高中數(shù)學(xué)其他知識打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：集合思想;高中數(shù)學(xué)

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：數(shù)形結(jié)合思想溝通了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，使得由某個圖形性質(zhì)給出的點集和滿足某性質(zhì)的實數(shù)對組成的集合建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，進而用代數(shù)方法解答幾何問題，對代數(shù)命題給出幾何解釋，還能夠通過幾何圖形來解決代數(shù)問題。

例題1：（2016濟寧一模）已知全集U=R，集合，則（ ）

A.[1，3] B.（1，3] C.[-1，4] D.[-1，4）

解析：答案D因為，又因為，

在數(shù)軸上（如圖所示）表示出集合A，B，所以B=[1，4）.

評注：將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合，使問題得以直觀、簡單解決。使用數(shù)形結(jié)合思想時，需要熟悉相關(guān)概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征。

二、分類與整合思想的應(yīng)用：分類是根據(jù)研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況分析解決問題。

例題2：（2017佛山二模文）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+a|-x-2.

（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）>0的解集;

（2）設(shè)a>-1，且存在，使得，求a的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=1時，不等式即，等價于或或

解得或或.

即不等式的解集為

（2）當(dāng)時，，不等式可化為，若存在，使得，則.所以a的取值范圍為.

評注：將集合的知識與不等式綜合也是近年來高考考查的一個重要方向。分類時，要注意：確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：化歸，轉(zhuǎn)化就是通過化未知為已知，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單來解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。

例題3：（2013福建）已知集合，則“a=3”是“”的（ ）

充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：答案A當(dāng)a=3時，，反之，當(dāng)時，a=2或3，所以“a=3”是“”的充分而不必要條件，選A.

評注：簡易邏輯與集合有著密切的聯(lián)系，很多問題可以轉(zhuǎn)化為集合的觀點用集合思想來解。本題將問題中的“充分，必要條件”的轉(zhuǎn)化為集合的知識加以解決，快捷簡便。

四、有限與無限思想的應(yīng)用：當(dāng)元素是無窮多個時，我們采用描述法表示集合，實現(xiàn)有限與無限的完美結(jié)合。

例題4如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（ ）

A. B. C. D.

解析：答案C函數(shù)y=ex與y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x

對稱，故陰影部分的面積為，由幾何概型的概率計算公式得，黃豆落到陰影部分的概率為。

評注：在使用牛頓-萊布尼茨公式求不規(guī)則圖形面積時，將曲邊多邊形的面積表示成若干個定積分的和，通過定積分將曲邊多邊形的無限個小矩形面積的和與有限的積分值和諧的統(tǒng)一起來。

集合思想為我們處理問題開辟了一條新的道路.用集合思想方法來處理數(shù)學(xué)問題表現(xiàn)得更直觀，更深刻，更簡捷。在學(xué)習(xí)過程中，注意對集合思想進行挖掘、滲透，不僅可以有效地掌握知識，而且可以加強各部分知識內(nèi)容的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使復(fù)雜關(guān)系條理化、清晰化.對于開拓學(xué)生解題思路，簡化運算過程，提高學(xué)生分析解決問題的能力，從而優(yōu)化思維品質(zhì)，拓展數(shù)學(xué)視野，都具有十分重要的意義。

參考文獻

[1]楊梅.集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（15）：91+93.

[2]諶敢.高中數(shù)學(xué)新教材中集合思想的應(yīng)用[J].新課程研究（上旬刊），2012（03）：10-11.