淺談函數(shù)中點的存在性問題

王青

摘 要：存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題數(shù)學(xué)解題策略，含有與三角形，四邊形，面積等問題相結(jié)合，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”.這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論.

關(guān)鍵詞：存在性問題；一般思路；假設(shè)

1 引言

這類試題向來是中考數(shù)學(xué)壓軸題，它的主要特征是先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點.

列出方程組求解.

函數(shù)圖象形象地展現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，為探究點的存在性提供了直觀基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想[2] 這類問題具有靈活性，多變性融入三角形，四邊形，面積等綜合運用全等知識，相似知識，三角函數(shù)，勾股定理等知識，同時又產(chǎn)生變量，又利用一次函數(shù)，二次函數(shù)性質(zhì)解釋存在性問題.通過猜想，然后證明猜想的方法是通過取特殊的圖形或特殊的位置，或應(yīng)用極端原理等，即用數(shù)學(xué)實驗的方法，也就是以從特殊到一般的思考方法尋求問題的解，然后經(jīng)過嚴格的推理論證，得到問題的最終解決[3].

2 與三角形有關(guān)的存在性問題

以函數(shù)為載體三角形圖像為基礎(chǔ)的點的存在性問題中，先要確定函數(shù)的解析式，函數(shù)圖像，然后再是存在問題，在解決存在性問題時假定結(jié)論成立，然后依據(jù)已知條件和有關(guān)的知識進行推理，能推出正確的結(jié)論，那么就存在，不能推出，就不存在.

例1 如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點.

（1） 求拋物線的解析式.

（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經(jīng)過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最??？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

解（1）設(shè)拋物線的解析式為 ，因為B（0，4）在拋物線上，所以，

解得 ，所以拋物線解析式為

.

（2）連接DQ，在Rt△AOB中，

，

所以

， ，

.

因為BD垂直平分PQ，所以

PD=QD，PQ⊥BD，

所以

∠PDB=∠QDB.

因為

AD=AB，

所以

∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，

所以

DQ∥AB.

所以

∠CQD=∠CBA，∠CDQ=∠CAB.

所以

△CDQ∽ △CAB，.

即.

所以

AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，

.

所以t的值是 .

（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小.

理由如下：

因為拋物線的對稱軸為 ，所以A（- 3，0），C（4，0）.

兩點關(guān)于直線 對稱，連接AQ交直線 于點M，則MQ+MC的值最小.

過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，所以

∠QED=∠BOA=90，DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，

△DQE ∽△ABO， .

即

.

所以

QE= ，DE= ，

所以

OE = OD + DE=2+ = ，

所以Q（ ， ）.

設(shè)直線AQ的解析式為 .則

由此得所以直線AQ的解析式為，聯(lián)立 由此得

所以M 則：在對稱軸上存在點M ，使MQ+MC的值最小.

結(jié)束語

由以上看出，不論三角形有關(guān)，還是四邊形、面積有關(guān)的存在性問題終歸是點的存在性.一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論.若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷.

參考文獻

[1] 繆曉菊.函數(shù)圖象中點的存在性問題[J].考試（中考版），2009，（9）：23-24.

[2] 郭澄東.解析以函數(shù)圖象為載體的點的存在性問題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009，（1）：17-18.

[3] 張亞芳，王盛裕.存在性幾何問題的常用解法[J].數(shù)理天地：初中版，2010，（6）：31-32.