數(shù)列極限求法綜述

熊青雪月　侯國亮　王君婷　劉韋婷

摘要：數(shù)列極限是理解極限思想的根本，又是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)，還是?？碱}型之一，本文在深入研究數(shù)列極限的基礎(chǔ)之上，給出了三類數(shù)列極限的求法，

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限函數(shù)極限夾擠準(zhǔn)則 定積分定義單調(diào)有界原理

1問題背景

眾所周知，極限思想是在尋找某些實(shí)際問題的精確解答的過程中產(chǎn)生的。比如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽借助國內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法，就是對極限思想的一次完美詮釋。

設(shè)有一圓，首先作它的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，記面積為S1;然后在此正六邊形的基礎(chǔ)上作其內(nèi)接正十二邊形，面積記為S2;接著再作該圓的內(nèi)接正二十四邊形，記面積為S3;照此循環(huán)做下去，每作一次正多邊形的邊數(shù)就增加一倍記內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積為Sn（n∈Ⅳ+）這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：S1，S2，S3，…，Sn，…，它們構(gòu)成無窮數(shù)列{Sn}。顯然，因?yàn)殡S著，n的增大，也即正多邊形的邊數(shù)增多，這就使得對應(yīng)的內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，進(jìn)而使得Sn越接近圓面積的精確值。但是無論n取得如何大，只要n固定下來，Sn終究還只是一多邊形的面積，而不是該多邊形外接圓的面積。不過，由上述過程可以獲知隨著n的無限增大即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，就可使得內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時(shí)無窮數(shù)列的通項(xiàng)也就無限接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值（即是數(shù)列{sn}當(dāng)n趨于無窮大時(shí)的極限就能理解為圓的面積在這個(gè)問題中我們一方面看到，正是這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積;另一方面還看到，數(shù)列極限能夠形象直觀地闡釋極限思想的本質(zhì)，這有助于人類深刻理解極限思想并靈活運(yùn)用其解決實(shí)際問題。另外，數(shù)列極限還是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)，而有關(guān)數(shù)列極限的數(shù)學(xué)題還是高考、考研等人生最重要的考試的?？碱}型之一。因此整理總結(jié)數(shù)理極限的求法意義重大。

因?yàn)閿?shù)列通常是用通項(xiàng)公式或遞推公式表示的，所以下面就從這個(gè)角度分別給出數(shù)列極限的各種求法。

2通項(xiàng)公式已知的數(shù)列極限求法

根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)及復(fù)雜程度，可分別利用函數(shù)極限求法、夾擠準(zhǔn)則和定積分定義求之。下面就結(jié)合幾個(gè)具體例子逐一進(jìn)行示范。

如果數(shù)列通項(xiàng)能寫成一個(gè)相對簡單的函數(shù)表達(dá)式，即形如xn=f（n），那么根據(jù)函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系，就有，此時(shí)就可以運(yùn)用函數(shù)極限求法進(jìn)行求解，

例1求極限。解：

設(shè)

則有

若數(shù)列的通項(xiàng)公式由n項(xiàng)和構(gòu)成，且各項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾擠準(zhǔn)則求之。 例2求極限 解：記， 則有

，所以由夾擠準(zhǔn)則得

如果數(shù)列的通項(xiàng)公式由項(xiàng)和或項(xiàng)積構(gòu)成，且不能用夾擠準(zhǔn)則求之，則可考慮利用定積分定義求之，一 例3求極限 解：因?yàn)橛?所以

3遞推公式已知的數(shù)列極限求法

如果數(shù)列是用遞推公式的有關(guān)形式給出，則一定考慮用單調(diào)有界原理求其極限。

例4設(shè)數(shù)列{an}瞞足o1/4（n=1，2，…）。證明極限 存在，并求之。

解證：因?yàn)?/p>

，所以an+1>an，即數(shù)列{an}嚴(yán)格單調(diào)遞增;又O

存在。設(shè)

，在

兩邊取極限，所以

.又（

，所以

，所以a=1/2，

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第七版）上冊[M]，北京：高等教育出版社.2014.

[2]劉淑芳，侯國亮，宋亮.高等數(shù)學(xué).西安：西安交通大學(xué)出版社，2014.