是什么？教什么？怎么教？

劉正松

【摘? ?要】隨著教育教學(xué)理論的不斷更新，各種教學(xué)實(shí)驗(yàn)、模式層出不窮，讓人目不暇接，這在有意無意間混淆了一線教師的視聽。通過對(duì)一道相關(guān)習(xí)題的教學(xué)分析，可以讓教師進(jìn)一步明確理想的教學(xué)理應(yīng)回歸簡(jiǎn)單的道理。面對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)深究其本質(zhì)是什么、應(yīng)該教什么以及如何實(shí)施教學(xué)這三個(gè)問題，如此，教師才有底氣走進(jìn)課堂。

【關(guān)鍵詞】折線統(tǒng)計(jì)圖;函數(shù)圖象;鋪墊;演示;變式

這是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)第116頁上的一道習(xí)題（見圖1）。

在學(xué)生認(rèn)識(shí)了折線統(tǒng)計(jì)圖并會(huì)用折線統(tǒng)計(jì)圖直觀地表示數(shù)據(jù)后，類似的習(xí)題在各種教輔材料中出鏡率很高。從學(xué)生居高不下的錯(cuò)誤率可以看出這絕對(duì)可以算是一道難題，可類似的問題是第二學(xué)段學(xué)生認(rèn)識(shí)“折線統(tǒng)計(jì)圖”的實(shí)際應(yīng)用嗎？學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)在哪里？既然教材中出現(xiàn)了，又該如何教學(xué)？這些問題一直縈繞在筆者腦海中。

是什么？

雖然一直對(duì)這題心存疑慮，但并未追根究底。無意間在中學(xué)教材中看到這樣一題（見圖2）。

這是蘇教版中學(xué)數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第139-140頁第6章“一次函數(shù)”中的一道例題。這樣一比較，我們不難看出，其實(shí)我們五年級(jí)研究的“小明去圖書館的問題”就是八年級(jí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容。那么，折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖3）和函數(shù)圖象（如圖4）究竟有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？

一、折線統(tǒng)計(jì)圖與函數(shù)圖象的聯(lián)系

1.兩者圖象相似

折線統(tǒng)計(jì)圖和函數(shù)圖象都是在平面直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)、連線，畫出相應(yīng)的折線圖，兩者圖象相似，容易產(chǎn)生誤導(dǎo)，有人誤認(rèn)為折線統(tǒng)計(jì)圖與函數(shù)圖象是一回事。

2.兩者都可以表示兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

折線統(tǒng)計(jì)圖表示的數(shù)據(jù)與相應(yīng)的時(shí)間相對(duì)應(yīng)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)隨著統(tǒng)計(jì)時(shí)間的變化而變化，兩者存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

函數(shù)圖象是以函數(shù)的自變量的值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)所組成的圖形。自變量變化，函數(shù)都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。如汽車以100km/h的速度勻速行駛，汽車行駛的時(shí)間為t（h），汽車行駛的路程為y（km）。那么y與t的函數(shù)關(guān)系式是y=100t，它的圖象如圖4所示。路程一直隨著時(shí)間的變化而變化。

二、折線統(tǒng)計(jì)圖與函數(shù)圖象的區(qū)別

1.兩者知識(shí)領(lǐng)域不同

折線統(tǒng)計(jì)圖是第二學(xué)段“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)，它把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的情況描點(diǎn)連線，進(jìn)而便于判斷數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

函數(shù)圖象是第三學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識(shí)，它是平面直角坐標(biāo)系上的圖形，用來直觀地研究函數(shù)的性質(zhì)及解決問題。

2.兩者圖象上點(diǎn)的意義不同

折線統(tǒng)計(jì)圖上的點(diǎn)是根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，這些描出的點(diǎn)是真實(shí)存在的點(diǎn)，表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一對(duì)對(duì)變量的真實(shí)取值，而這些點(diǎn)之間的連線上的任意一點(diǎn)不一定表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的真實(shí)數(shù)據(jù)，只表示一種模擬的、可能的數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@兩個(gè)時(shí)刻之間的一段時(shí)間沒有任何調(diào)查的真實(shí)數(shù)據(jù)。雖然數(shù)據(jù)作為一種變量，可能是連續(xù)的，如身高作為一種變量是連續(xù)的，但統(tǒng)計(jì)的身高數(shù)據(jù)往往是離散的，一般情況下對(duì)一個(gè)人不需要連續(xù)不斷地測(cè)身高，隔一段時(shí)間測(cè)一次便可。因而折線統(tǒng)計(jì)圖一般表示的是離散的數(shù)據(jù)，雖然表面上看是連續(xù)的，但實(shí)際上只表示一種趨勢(shì)。

函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)方式，函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)都有確定的意義，它表示自變量和因變量的一對(duì)對(duì)取值，也就是說在函數(shù)圖象上任意取一點(diǎn)，就相應(yīng)地有一對(duì)函數(shù)的自變量和因變量的取值與之對(duì)應(yīng);有一對(duì)函數(shù)的自變量和因變量的取值，圖象上就相應(yīng)地有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。

教什么？

通過比對(duì)第二學(xué)段的折線統(tǒng)計(jì)圖與第三學(xué)段的函數(shù)圖象，我們不難發(fā)現(xiàn)，兩者壓根不是一回事。那么，學(xué)生學(xué)完折線統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，直接上手解決“小明去圖書館的問題”必然有不可逾越的鴻溝。當(dāng)然，這并不表示在第二學(xué)段就不能拓展相應(yīng)的探究，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)學(xué)生解決這類問題的難點(diǎn)，這就是教學(xué)要重點(diǎn)突破的地方，用這樣的思維去思考，問題反而變得清晰了。既然題目中呈現(xiàn)的“折線統(tǒng)計(jì)圖”和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界中的折線統(tǒng)計(jì)圖根本不是一回事，學(xué)生用已有的經(jīng)驗(yàn)無法順利讀圖，那么，引領(lǐng)學(xué)生正確讀圖自然成為教學(xué)的重點(diǎn)。筆者對(duì)幾位五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了訪談，對(duì)于“小明去圖書館的問題”，他們的認(rèn)知障礙主要集中在兩處：一是圖中平的那一段折線的實(shí)際意義，學(xué)生看到折線往前延長，潛意識(shí)中會(huì)感覺路程在增加，而實(shí)際這里路程根本沒有增加，這是有沖突的;二是折線下行的那一段直至回到橫軸，表示回到起點(diǎn)，學(xué)生看到的終點(diǎn)和起點(diǎn)明明不在一個(gè)點(diǎn)上，卻說回到起點(diǎn)，學(xué)生一時(shí)無法理解。學(xué)生若能讀懂這里折線圖的實(shí)際意義，解決下面幾個(gè)問題自然就不是難事。因此，教師教學(xué)這一問題時(shí)不應(yīng)抱著練習(xí)題的心態(tài)去教學(xué)，以解決習(xí)題中的幾個(gè)問題為目標(biāo)，而應(yīng)當(dāng)將此作為一個(gè)新授內(nèi)容去教學(xué)，浙教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中就單獨(dú)編排了這一內(nèi)容——運(yùn)行圖。筆者以為，“運(yùn)行圖”這一名稱直接表達(dá)出其與一般的折線統(tǒng)計(jì)圖的區(qū)別，顯然是更為智慧的選擇。

相對(duì)于“引領(lǐng)學(xué)生正確讀圖”這一教學(xué)明線，教學(xué)前我們還應(yīng)深入思考這一內(nèi)容的教學(xué)暗線——發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程

數(shù)學(xué)抽象是舍去數(shù)學(xué)對(duì)象非本質(zhì)屬性的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征?！靶∶魅D書館的問題”中，學(xué)生讀取文字信息是非常容易的，我們?cè)诖嘶A(chǔ)上逐步出示圖象，形成完整的運(yùn)行圖，表征小明的運(yùn)動(dòng)過程。將文字轉(zhuǎn)換成圖象，更加簡(jiǎn)潔直觀，這也是一個(gè)從具體到抽象的過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力。

二、讓學(xué)生經(jīng)歷推理的過程

推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。從某種程度上說，數(shù)學(xué)問題解決的過程就是推理的過程。“小明去圖書館的問題”同樣如此，學(xué)生解決這一問題必然結(jié)合圖文，根據(jù)已知信息或分析，或綜合，一步步推理，直至解決整個(gè)問題。學(xué)生在這樣的過程中會(huì)慢慢學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界。

三、讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問題的思維過程?！靶∶魅D書館的問題”教學(xué)實(shí)施時(shí)，可以先讓學(xué)生用文字語言描述行走過程，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)——運(yùn)行圖，最后借助數(shù)學(xué)符號(hào)解決問題。這正是建模的過程，長此以往，學(xué)生自然會(huì)形成用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力。

怎么教？

對(duì)于一線教師而言，最關(guān)心的還是怎么教的問題。筆者認(rèn)為教學(xué)中應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)。

一、適度的鋪墊

雖然折線統(tǒng)計(jì)圖與運(yùn)行圖形似而神散，但畢竟有相似之處，因此，對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖的深刻認(rèn)識(shí)是學(xué)習(xí)運(yùn)行圖的重要基礎(chǔ)。

針對(duì)學(xué)生理解運(yùn)行圖的障礙，教師可以出示一日溫度變化的折線統(tǒng)計(jì)圖，從中追問幾個(gè)問題：從8時(shí)到12時(shí)溫度上升，折線是怎樣的？從12時(shí)到14時(shí)溫度不變，折線是怎樣的？14時(shí)以后溫度下降了折線會(huì)怎樣？

二、動(dòng)態(tài)的演示

教材受特定條件的限制，往往不能呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的圖，這并不代表教師只能將教材中的內(nèi)容進(jìn)行打包教學(xué)，現(xiàn)實(shí)中這樣做也是行不通的。

因此，當(dāng)情境變換后，過渡到運(yùn)行圖，不能一下子整體呈現(xiàn)，可以先找具體的有典型意義的點(diǎn)，追問這些點(diǎn)的實(shí)際意義，比如：起點(diǎn)、第一次轉(zhuǎn)折點(diǎn)、平移起點(diǎn)、第二次轉(zhuǎn)折點(diǎn)、回歸點(diǎn)……通過追問，澄清學(xué)生認(rèn)識(shí)中的模糊點(diǎn)，為正確讀圖做好準(zhǔn)備。當(dāng)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了運(yùn)行圖中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際意義后，再用課件連貫地演示一下表示運(yùn)動(dòng)物體的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣動(dòng)態(tài)的演示，讓學(xué)生從頭到尾連貫地感知運(yùn)行圖的形成過程，形成對(duì)運(yùn)行圖的完整認(rèn)識(shí)，這是一個(gè)由具體的文字情境抽象為純數(shù)學(xué)的運(yùn)行圖的過程。

三、豐富的變式

眾所周知，對(duì)于任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，如果只基于一種情境，學(xué)生的認(rèn)識(shí)不會(huì)豐滿直至深刻，因此，適度的變式可以豐富學(xué)生的體驗(yàn)，深化學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

前面的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)已分解了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，為及時(shí)鞏固已有成果，可以分步出示五幅運(yùn)行圖，讓學(xué)生看圖說話，用類似講故事的方式解讀運(yùn)行圖，第一幅圖是一輛車從甲地勻速到乙地;第二幅圖是一輛車從甲地先到乙地然后加速到丙地;第三幅圖是一輛車從甲地到乙地，休息一段時(shí)間后，再到丙地;第四幅圖是一輛車從甲地到乙地，再回到甲地;第五幅圖是一輛車從甲地到乙地，休息一段時(shí)間后，再回到甲地。通過這一連串的看圖說話，學(xué)生對(duì)運(yùn)行圖的認(rèn)識(shí)更為具體。

綜上，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)回歸簡(jiǎn)單，面對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，我們應(yīng)追問其本質(zhì)是什么？我們需要教什么？面對(duì)不同的學(xué)生，我們又該怎樣教？而想輕松自如地回答這三個(gè)問題，備課時(shí)需要真正深入教材，仔細(xì)研讀，同時(shí)我們的目光不能囿于某一套教材，而應(yīng)關(guān)注不同版本的教材，甚至是初中的教材。

（江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué)? ?210019）