“三重表征”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

龔偉 應(yīng)益可

【摘? ?要】兒童的認知發(fā)展是由結(jié)構(gòu)上迥異的三類表征系統(tǒng)及其相互作用構(gòu)成的質(zhì)的飛躍過程。就“5以內(nèi)的加減法”的教學(xué)來說，教師可以通過“動作表征”促進學(xué)生樂于探索，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力;通過“圖像表征”促進學(xué)生自主觀察，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力;通過“符號表征”促進學(xué)生不斷思考，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

【關(guān)鍵詞】三重表征;小學(xué)數(shù)學(xué);5以內(nèi)的加減法

一、問題提出

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)學(xué)科語言的主體，主要用于數(shù)學(xué)表達溝通，可以簡化和加速學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，進而提升其語言表達能力、抽象思維能力以及邏輯推理能力。從認識事物的角度來說，符號化的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生生活實際內(nèi)容的互動是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本途徑?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在綜合各方面研究的基礎(chǔ)上，正式將“符號意識”列為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心概念之一[1]。

然而，數(shù)學(xué)符號對于小學(xué)生究竟意味著什么，什么時候開始學(xué)習(xí)以及如何學(xué)習(xí)，這些問題一直困擾著廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者。筆者曾就上述問題與某小學(xué)數(shù)學(xué)教師進行探討，并有幸受邀觀摩了一次一年級“5以內(nèi)的加減法”的課堂教學(xué)。課后筆者與上課教師進行了深入交流，不僅對上述問題有了較為清晰的認識，更是有感而發(fā)：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)并不是件容易的事。

二、“5以內(nèi)的加減法”的教學(xué)設(shè)計

眾所周知，小學(xué)生在學(xué)習(xí)“5以內(nèi)的加減法”前，已經(jīng)能夠熟練地從1數(shù)到5以及準(zhǔn)確地辨認這五個數(shù)，而且對“5以內(nèi)的加減法”有了一定的掌握，但這是他們初次接觸“+”“=”“2+3=5”這些符號及其表征。因此，毫不夸張地說，“5以內(nèi)的加減法”是小學(xué)生真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開端，是他們經(jīng)歷復(fù)雜符號思維過程的起始階段，對他們以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著非常重要的導(dǎo)向作用。

“謀求科學(xué)世界向生活世界的回歸，實現(xiàn)科學(xué)世界與生活世界的融合，已成為一種重要的時代精神。這意味著教育應(yīng)當(dāng)掙脫‘唯科學(xué)主義的樊籬，擺脫工具價值的地位，找回失落的主體意識”[2]。從整個教學(xué)過程（見表1）來看，本節(jié)課的最大特色是讓小學(xué)生親身經(jīng)歷“生活世界”與“科學(xué)世界”之間的相互轉(zhuǎn)化：“生活激趣”部分的主要目的在于喚醒學(xué)生的已有認知，強化數(shù)學(xué)與日常生活的關(guān)系，為接下來的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備;“思維挑戰(zhàn)”部分在于引導(dǎo)學(xué)生通過自己動手與思考，逐步從“生活世界”進入“科學(xué)世界”，真切地感受到“數(shù)學(xué)原本就是生活世界的一部分”“而不是冷冰冰的數(shù)字相加減”;“知識遷移”部分要求利用已有知識自行完成知識的建構(gòu)，提高相關(guān)類屬學(xué)習(xí)、概括學(xué)習(xí)和并列結(jié)合學(xué)習(xí)的能力;最后的“課堂小結(jié)”部分既是對本節(jié)課所有內(nèi)容的總結(jié)，加深學(xué)生對符號表征的理解，也是讓學(xué)生更好地感受到“數(shù)學(xué)從生活世界中分離出來是為了更好地提升生活世界的意義”。此外，執(zhí)教教師在整個教學(xué)過程中，設(shè)置了“匯報”“展示”“討論”“交流”等環(huán)節(jié)，鍛煉了學(xué)生語言表達能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的多維培養(yǎng)目標(biāo)。

三、“5以內(nèi)的加減法”的教學(xué)啟示

“5以內(nèi)的加減法”對于小學(xué)生而言并不難，甚至學(xué)前兒童已經(jīng)能夠熟練地運算。幾乎所有的小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教授這部分內(nèi)容時都會采取從“數(shù)數(shù)”到“拆分”再到“加法”的教學(xué)設(shè)計，但都多多少少弱化了三者之間的實質(zhì)、聯(lián)系及其重要的學(xué)習(xí)價值。美國教育心理學(xué)家布魯納認為，兒童的認知發(fā)展是由結(jié)構(gòu)上迥異的三類表征系統(tǒng)及其相互作用構(gòu)成的質(zhì)的飛躍過程，這三類過程分別是動作表征（the enactive representation）、圖像表征（the iconic representation）和符號表征（the symbolic representation）[3]。本節(jié)課正是致力于將“數(shù)數(shù)”“拆分”“加法”背后所蘊含的三重表征系統(tǒng)的相互作用顯性化，直指學(xué)生認知生長的核心，為學(xué)生以后復(fù)雜符號的學(xué)習(xí)做好一定的鋪墊。

（一）通過“動作表征”促進學(xué)生樂于探索，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力

杜威的觀點“學(xué)校中求知的真正目的，不在知識本身，而在學(xué)習(xí)獲得知識以適應(yīng)需要的方法”[4]與我國古語“授之以魚，不如授之以漁”有著相同的意思。因此，教師在有條件的情況下應(yīng)盡可能地讓小學(xué)低段學(xué)生動手學(xué)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)他們大膽探索，促使他們利用在“動作表征”階段獲得的直接經(jīng)驗進行深度思考，進而展開發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，對已獲取的知識進行轉(zhuǎn)換和組織，掌握解決數(shù)學(xué)問題的一般方法，最終到達自主探究的狀態(tài)。

本節(jié)課中，執(zhí)教教師充分調(diào)動學(xué)生的積極性，通過設(shè)計“數(shù)一數(shù)”活動環(huán)節(jié)讓學(xué)生直觀地感受到數(shù)的加法以及“1加2”和“2加1”是相同的，緊接著讓學(xué)生通過“說一說”環(huán)節(jié)來“強化”自行獲得的認識。隨之，執(zhí)教教師讓學(xué)生動手畫出自己的表述過程，這一做法的目的不僅在于將學(xué)生的思維導(dǎo)入“圖像表征”階段，更是讓學(xué)生建立起“動作表征”與“圖像表征”之間的聯(lián)系，在方法層面上提高解決問題的能力。

（二）通過“圖像表征”促進學(xué)生自主觀察，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

赤瑞特拉通過大量實驗證實，人類獲取的信息83%來自于視覺[5]，視覺是人類認識和改造世界的一個主要途徑。同時，根據(jù)皮亞杰對兒童和青少年認知發(fā)展的劃分[6]，可知小學(xué)低段學(xué)生正處于具體運算階段（stage of concrete operation），需要借助具體的實例進行學(xué)習(xí)?！皥D像表征”的主要作用，能夠?qū)W(xué)習(xí)內(nèi)容具體化，留給學(xué)生充足的獨立思考的時間，提高學(xué)生的理解能力，初步形成“數(shù)形結(jié)合”的基本觀念。因此，教師需要在“圖像表征”階段指導(dǎo)學(xué)生自覺觀察與比較，為進行進一步的推論獲得第一手資料。

執(zhí)教教師考慮到學(xué)生當(dāng)前的邏輯推理能力比較有限，要想讓他們獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗，就得更多依賴于直接的觀察與比較這一途徑。待學(xué)生畫出自己的表述過程之后，執(zhí)教教師特意設(shè)置了相關(guān)的展示與討論環(huán)節(jié)，旨在引導(dǎo)學(xué)生的思維通過語言積極地“作用”于用視覺獲取的外界信息，將圖像的外部特征逐步抽象最終得出所表征的本質(zhì)信息，為思維層次的進階做好鋪墊。

（三）通過“符號表征”促進學(xué)生不斷思考，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

卡希爾認為，“符號化的思維和符號化的行為是人類生活中最富有代表性的特征，并且人類文化的全部發(fā)展都依賴于這些條件”[7]。數(shù)學(xué)符號是國際數(shù)學(xué)界統(tǒng)一規(guī)定和使用的，它以直觀簡單的形式表達了豐富的數(shù)學(xué)意義，成為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)特有的語言工具?！胺柋碚鳌钡倪^程，其實正是學(xué)生不斷整合思維邏輯，將所學(xué)知識不斷加工與強化的過程。因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生將獲得的直接經(jīng)驗加以處理并轉(zhuǎn)換為內(nèi)在的模式，使之不受時間與空間的限制而與他人交流，可以通過對各種行為所導(dǎo)致的結(jié)果進行預(yù)見而制定自己正確的行動指南。

“符號表征”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，以往的教學(xué)往往直接由教師講授“拆分法”，雖然已有一定符號表征的要求，但顯然過多地強調(diào)了數(shù)學(xué)符號的“工具價值”而忽略其“思維價值”。在本節(jié)課，執(zhí)教教師在學(xué)生對圖像表征已有深入見解的基礎(chǔ)上才過渡到“拆分法”，而“拆分法”用于“圖像表征”與“符號表征”之間的巧妙過渡則很好地引出了“加法”的表示。隨后的“知識遷移”環(huán)節(jié)則讓學(xué)生自行經(jīng)歷“三重表征”的全部過程，要求學(xué)生自行完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多元表征。這不僅加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號表征的理解與運用，更是有力地促進學(xué)生進行意義建構(gòu)與實踐應(yīng)用，從而實現(xiàn)學(xué)生素養(yǎng)的整體提升和全面成長（見表2）。

四、結(jié)語

自從小學(xué)生開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就開始與數(shù)學(xué)符號打交道，盡管接受了有關(guān)符號操作的強化訓(xùn)練，但計算仍然錯誤不斷，究其原因是小學(xué)生缺乏對符號的深刻理解和靈活運用。[8]因此，小學(xué)生在其早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段就應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)符號表征的相關(guān)內(nèi)容，為其后續(xù)代數(shù)思維的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力的長期發(fā)展奠定基礎(chǔ)，更是使學(xué)生掌握一種“調(diào)整和創(chuàng)造各種環(huán)境事件的有力工具”，使人的生活更加具有深度和意義。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京： 北京師范大學(xué)出版社，2012：9-10.

[2][3]張華. 課程與教學(xué)論[M].上海： 上海教育出版社， 2000：432，126.

[4] （美）杜威，著. 明日之學(xué)校[M].朱經(jīng)農(nóng)，潘梓年，譯. 北京： 商務(wù)印書館，1923：15.

[5] D.G.Treichler. Are you missing the boat in training aids？[J].Film and Audio-Visual communication，1967，48（1）：14-16.

[6] （瑞士）皮亞杰，著. 發(fā)生認識論原理[M].王憲鈿，譯.北京： 商務(wù)印書館，2009： 21-51.

[7] （德）卡希爾，著.人論[M].唐譯，譯.長春： 吉林出版集團有限責(zé)任公司，2014： 36-37.

[8] 呂婷. 一年級學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的特點及其與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的關(guān)系[D].杭州： 杭州師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2017.

（浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院? ?321004）