思維重構(gòu)：課堂中再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維

丁益民

摘? ? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著隱性的數(shù)學(xué)家思維活動，研究數(shù)學(xué)家思維活動中的方式、過程和成果，選擇符合學(xué)生認知規(guī)律的思維要素加以整合重組，并且在課堂教學(xué)中進行思維重構(gòu)，讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)家思維魅力的同時深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，學(xué)會用數(shù)學(xué)家的眼光分析問題，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)家思維;思維重構(gòu);深度學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著三種思維活動[1]，包括隱性的數(shù)學(xué)家的思維活動和顯性的師生的思維活動.數(shù)學(xué)家盡管不是數(shù)學(xué)活動的直接參與者，但由于數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)家思維活動的成果體現(xiàn)，其思維方法和研究過程可以成為學(xué)生進行思維的示范，他們的思維通過文本形式和教師的二次加工影響著學(xué)生的思維.因此，在教學(xué)中若能對數(shù)學(xué)家的思維進行提煉、整合和重組，并在課堂中進行思維重構(gòu)，便能發(fā)揮其在思維示范與引導(dǎo)上的教學(xué)功能，讓學(xué)生在思維重構(gòu)中感受數(shù)學(xué)文化，提升思維品質(zhì)，進而促成深度學(xué)習(xí).本文試借實例，談?wù)剶?shù)學(xué)家思維在教學(xué)中思維重構(gòu)的具體實施.

一、重現(xiàn)思維困境 理性建構(gòu)概念

眾所周知，教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)家的思維成果，而且教材在編寫時往往按照知識的邏輯體系進行，而這種邏輯體系下的知識呈現(xiàn)與知識的歷史真實發(fā)現(xiàn)過程往往存在差異.按照教材體系所進行的學(xué)習(xí)活動是把學(xué)習(xí)當成純粹的邏輯推理展開的，但是學(xué)生在進行概念建構(gòu)時的那種“意義賦予”的過程都將徹底隱藏.在這樣的過程中學(xué)生很難體會到數(shù)學(xué)家思維過程的艱辛，學(xué)生的思維活動很可能被教師的講解所支配，學(xué)生只能進行著低層次的不連貫的思維操作.因此，為了還原知識發(fā)生的本真面目，體驗數(shù)學(xué)家的思維歷程，可以對數(shù)學(xué)家研究的過程進行解密，運用歷史相似性進行思維重構(gòu)的教學(xué)實踐.

案例1：立體幾何“棱柱”定義

很多學(xué)生都認為命題“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫作棱柱”是正確的，并且嘗試以此作為棱柱的定義.

這樣的認知幾乎與歐幾里得《幾何原本》中的棱柱定義如出一轍，但其實它是一個假命題，并且在長達2000多年的時間里數(shù)學(xué)家們都認為它是正確的.可見，學(xué)生對棱柱定義的認知具有歷史相似性.在教學(xué)中，我們可以對棱柱定義進行數(shù)學(xué)家思維的重構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷“棱柱”定義的發(fā)生與發(fā)展的過程，糾正錯誤的認知，理性建構(gòu)“棱柱”概念.為此，可設(shè)計如下活動.

活動1? ?教師讓學(xué)生嘗試用自己的語言給棱柱下定義，并以小組為單位進行交流討論，并對他們的定義進行歸類總結(jié).結(jié)果如表1所示.

呈現(xiàn)如圖1的多面體否定命題1.

呈現(xiàn)如圖2的多面體否定命題2，并介紹有關(guān)“棱柱”的數(shù)學(xué)史：

歐幾里得在《幾何原本》第11卷中最早給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形.”由于歐幾里得的影響，2000多年里，人們都沒有懷疑過歐幾里得的定義.直到1916年，美國數(shù)學(xué)家斯頓等人才發(fā)現(xiàn)該定義是錯誤的，并且舉出一個經(jīng)典的反例.

通過進一步分析可以看到定義3和定義4都關(guān)注到側(cè)棱的特征對棱柱定義的影響，定義5則從運動的角度定義了棱柱，這也具有歷史相似性，教師可再適時介紹歷史上棱柱動態(tài)定義的史實.最后，總結(jié)歷史上棱柱定義經(jīng)歷的三個階段：①歐氏定義一統(tǒng)天下;②歐氏定義的改進;③動態(tài)定義的產(chǎn)生.

活動3? ?用運動的方式準確定義棱柱.

上述設(shè)計對數(shù)學(xué)史知識進行了整合與簡化，是數(shù)學(xué)家思維的重構(gòu)實踐，讓學(xué)生認識到“棱柱”概念的形成經(jīng)歷了漫長的歷史過程，“棱柱”概念的形成是最接近歷史客觀事實的建構(gòu)過程.筆者認為，只有盡可能地再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生，才可能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，才可能形成理性的思維.

二、改編思維成果 感悟數(shù)學(xué)思想

為了既發(fā)揮數(shù)學(xué)史故事的趣味特性，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家思維成果的教學(xué)價值，我們可以在教學(xué)中在不失真的前提下對這些數(shù)學(xué)史故事進行改編加工，巧妙地將其融入教學(xué)的某些環(huán)節(jié)中去，讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)家思維魅力的同時，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.

案例2：“直線的斜率”第1課時

這是一次到外校借班上課的課題，陌生的教學(xué)環(huán)境，學(xué)生難免會出現(xiàn)緊張和思維不匹配等現(xiàn)象.為此，筆者設(shè)置了如下的開場白：雖然第一次和大家見面，可我卻很用“心”，瞧圖3，一顆紅心代我心.（學(xué)生滿堂大笑）師繼續(xù)：是否可以用數(shù)學(xué)的方法準確完美地畫出這顆“心形圖”呢？師引導(dǎo)：“心形圖”是由一條平面曲線（“心形曲線”）圍成，我們知道點動成線，點能不能準確刻畫出來？（學(xué)生知道在坐標系中用坐標表示）如果我們能找到“心形曲線”上所有點的橫坐標和縱坐標的關(guān)系就可以作出“心形曲線”了.的確，聰明的數(shù)學(xué)家笛卡爾就是通過研究出坐標間的關(guān)系：x2+y2+ax=[ax2+y2]和x2+y2-ax=[ax2+y2]（[a>0]）作出了“心形曲線”，這個過程給我們的啟示：通過代數(shù)的方法也可以研究幾何問題啊，這就是今天開始我們要學(xué)習(xí)的解析幾何.

上述案例是基于學(xué)生的認知基礎(chǔ)和年齡特點，由于課堂上不適宜講笛卡爾的“心形曲線”的愛情故事，通過改編將其巧妙地融入師生見面的開場白，不僅化解了師生初次見面時的陌生與尷尬，還將引入的情境與本章的思想方法進行無縫銜接，既不突兀又富有啟發(fā)性.從一整章的起始課情境引入便滲透“代數(shù)的方法研究幾何問題”的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的認知將產(chǎn)生觀念沖擊，而這一觀念將在后面具體學(xué)習(xí)“直線的斜率”時再次體驗，并在后面整個教學(xué)單元的學(xué)習(xí)中不斷實踐與感悟.所以，從功能上看，改編數(shù)學(xué)家笛卡爾的“心形曲線”故事，發(fā)揮了數(shù)學(xué)史料的先行組織者功能，對學(xué)生整體認知和深度學(xué)習(xí)解析幾何是有益的.

三、模擬思維過程 引導(dǎo)建構(gòu)知識

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生本身就經(jīng)歷漫長而曲折的歷史過程，這其中飽含了數(shù)學(xué)家獨特的思維方式和研究方法，其抽象程度不言而喻，要讓學(xué)生能在短期內(nèi)進行自主建構(gòu)幾乎不可能.為了幫助學(xué)生進行有意義的建構(gòu)活動，我們可對這些知識產(chǎn)生的歷史過程進行意義提取后適度整合，將其中的關(guān)鍵過程或環(huán)節(jié)進行似真模擬，讓學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)家的視角進行模擬建構(gòu)，在與歷史相似的模擬情境中產(chǎn)生認知的原動力，進而促進知識的有意義建構(gòu)，形成有價值的基本活動經(jīng)驗.

案例3：“對數(shù)的概念”（第1課時）

這是筆者參加的一次市級教學(xué)比賽，由于承辦學(xué)校實際教學(xué)進度滯后，在本節(jié)課前，學(xué)生并沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)“指數(shù)”與“指數(shù)函數(shù)”等內(nèi)容，這一情形恰好與歷史上“對數(shù)”產(chǎn)生的背景極其相似，因此，在教學(xué)中模擬數(shù)學(xué)家的思維進行“對數(shù)”的發(fā)現(xiàn).

情境創(chuàng)設(shè)：早在17世紀，航海、天文、貿(mào)易迅速發(fā)展，人們需要面對越來越繁難的計算.比如299792.458（光在真空中的速度） ×31536000（一年的秒數(shù)）=？（1光年），這樣的距離單位在天文學(xué)里經(jīng)常用到.為此，數(shù)學(xué)家們不斷探索研究優(yōu)化運算的方法，這其中不得不提蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾，他經(jīng)過至少20年的潛心研究，終于有所突破.那么，他是怎么研究的呢？下面，我們模擬一下數(shù)學(xué)家的研究歷程.

不用計算器，請計算以下各式的結(jié)果.

（1）16×256=

（2）256×4096=

（3）4096×32768=

隨著數(shù)據(jù)越來越大，運算將越來越麻煩.

引導(dǎo)分析：16可以表示成24，256可以表示成28……我們可事先制一張表（如表2）.由于16×256=24×28=212，通過查表，在表中可以找到212的值，其他的結(jié)果類似.

得到啟示：將兩個特別大的數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為兩個較小的數(shù)相加.

按照上面的過程，若找到兩個數(shù)m，n，使2m=299792.458 ，2n=31536000，那么就可優(yōu)化運算.

有了這樣的“模擬”情境，接下去的活動設(shè)計便順暢了.如：

活動1 回憶初中開方運算“根式”的定義.

活動2? 類比“開方運算”的研究過程，解決形如“2m=299792.458”的方程問題，逐步建構(gòu)出“對數(shù)”的概念.

在這個案例中，模擬數(shù)學(xué)家研究過程（“對數(shù)思想”）為后續(xù)的知識形成提供了思維方向，這樣的模擬不僅解決了發(fā)明“對數(shù)”的必要性和重要性等問題，還為進一步的思維活動提供邏輯基礎(chǔ)和研究動力.顯然，通過對數(shù)學(xué)家思維的似真模擬來發(fā)現(xiàn)“對數(shù)”，更能揭示知識的本原，也更促使學(xué)生形成最可靠的基本活動經(jīng)驗.

四、示范思維方式 拓展認知視野

在教學(xué)中我們可以適時地展示數(shù)學(xué)家如何思考問題，特別是數(shù)學(xué)家在遇到困難時如何選用合適的思維視角（方式）解決問題，將數(shù)學(xué)家解決問題的思維視角介紹給學(xué)生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)家思維方式的指引下進行認知突破，學(xué)習(xí)他們研究和解決數(shù)學(xué)問題的思維方式（方法）.

案例4：“兩角和與差的正余弦”（第1課時）

情境創(chuàng)設(shè)：我們已學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，并知道一些特殊角的三角函數(shù)值，如cos60°，sin45°，cos30°等，試問不用計算器你會求cos15°的值嗎？

將cos15°變形為cos15°=cos（60°-45°），進而猜想cos（60°-45°）=cos60°-cos45°.

發(fā)現(xiàn)猜想不正確，那么cos（60°-45°）=？更一般的問題cos（[α-β]）=？

學(xué)生遇到了認知困難，此時，教師介紹：

數(shù)學(xué)家們在研究三角運算時也遇到了我們上面的困難，但是他們不斷地探索研究，最先他們通過幾何法來研究三角運算，如古希臘數(shù)學(xué)家托勒密與帕普斯，他們都經(jīng)過長期不懈的努力，運用幾何的方法解決了很多三角運算的問題（如托勒密與“弦表”，帕普斯通過構(gòu)造幾何圖形證明三角公式），接下來，我們嘗試從數(shù)學(xué)家的幾何視角來研究這個問題.

圖4是“無字證明圖”，你能發(fā)現(xiàn)cos（[α-β]）=？

讓學(xué)生更多地自由思考、自由討論.

師生共同發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

cos（[α-β]）=cos[α]cos[ β+sin][α]sin [β].

提出問題：無字證明很有創(chuàng)造性，我們能否用其他學(xué)習(xí)過的知識來證明呢？

在案例4中，通過介紹數(shù)學(xué)家解決三角問題的研究視角，讓學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)家的眼光分析和解決問題，學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)家極具創(chuàng)造性的思維成果（“無字證明圖”）的同時，感受到數(shù)學(xué)家思維的動力與魅力，極大地調(diào)動了學(xué)生進行探究學(xué)習(xí)的積極性.而且他們還將體會到遇到困難和挫折時要不斷地探索，嘗試學(xué)習(xí)前人（他人）的思維進行自己的思考.另外，這樣的活動過程還將為學(xué)生進一步自主探究提供思維范式.

在思維重構(gòu)的具體實施中，必須充分發(fā)揮數(shù)學(xué)家的思維的引導(dǎo)與示范功能，還要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)的思想方法，關(guān)注學(xué)生的認知起點，要讓學(xué)生在具體活動中感悟數(shù)學(xué)家的思維方式、思維歷程、思維品質(zhì)等，進而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進行深度學(xué)習(xí).[□][◢]

參考文獻：

[1]張乃達.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（1）：15-23.