高階數(shù)學(xué)認(rèn)知能力離不開(kāi)關(guān)聯(lián)與拓展

蔣林花

摘? ? 要：如何讓學(xué)生的認(rèn)知能力更具有可觀測(cè)性，并準(zhǔn)確地識(shí)別學(xué)生所處的認(rèn)知能力是一線教師的一大難題.教師可以運(yùn)用SOLO分類理論識(shí)別學(xué)生所處的認(rèn)知能力，以關(guān)聯(lián)與拓展認(rèn)知水平為目標(biāo)，通過(guò)設(shè)計(jì)并調(diào)控教學(xué)活動(dòng)，來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

關(guān)鍵詞：認(rèn)知能力;SOLO分類理論;關(guān)聯(lián)與拓展

課堂有效性的本質(zhì)就是要提升學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用新知識(shí)的能力，通常稱之為“認(rèn)知能力”.為了實(shí)現(xiàn)課堂的有效性，教師往往需要識(shí)別學(xué)生的認(rèn)知能力來(lái)達(dá)到因材施教的效果.而如何讓學(xué)生的認(rèn)知能力更具有可觀測(cè)性，并準(zhǔn)確地識(shí)別學(xué)生的認(rèn)知能力是一線教師的一大難題.

實(shí)際的教學(xué)過(guò)程，包括教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”.在課堂教學(xué)之前首先是教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，教師所設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容與活動(dòng)，可以反映出教師的認(rèn)知水平，也決定了“教”的效果，從而決定學(xué)生“學(xué)”的效果.

對(duì)于“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”這個(gè)問(wèn)題，教師需要找到盡可能多的解題思路與方法，再結(jié)合學(xué)生的學(xué)情與認(rèn)知規(guī)律確定教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo).SOLO分類理論的五個(gè)認(rèn)知水平，其中的關(guān)聯(lián)與拓展水平反映學(xué)生的高階認(rèn)知水平.因此，下面基于學(xué)生各階段應(yīng)該具備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)的是初中學(xué)生問(wèn)題解決中的幾種高階認(rèn)知能力.

一、找規(guī)律題型——與小學(xué)關(guān)聯(lián)的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”

學(xué)情分析：在小學(xué)四年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“異分母分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除、通分、約分”等知識(shí).初中學(xué)生既有直觀形象思維，又有一定的抽象邏輯思維.

教學(xué)目標(biāo)：初步理解問(wèn)題“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”.

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：能理解分?jǐn)?shù)的意義;會(huì)進(jìn)行整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化;能進(jìn)行分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算;探索給定情境中的規(guī)律或變化趨勢(shì).

【原始問(wèn)題】怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積？

這個(gè)問(wèn)題屬于開(kāi)放型問(wèn)題，學(xué)生會(huì)關(guān)聯(lián)到小學(xué)掌握的信息，能取一些特殊的數(shù)運(yùn)用嘗試驗(yàn)證法來(lái)尋求答案，而且學(xué)生只會(huì)從自然數(shù)中去找，滿足的數(shù)極少，因此絕大多數(shù)的學(xué)生處于單一或多元結(jié)構(gòu)水平.為了提升學(xué)生的認(rèn)知水平，教師需要設(shè)計(jì)一些情景問(wèn)題.

【問(wèn)題1】 [0+0=0×0];

[2+2=2×2];

[3+32=3×32];

……

請(qǐng)你寫出滿足上述規(guī)律的一個(gè)等式.

問(wèn)題1是將抽象的原始問(wèn)題改編成可以通過(guò)觀察等式的特征來(lái)找規(guī)律的題型.學(xué)生在仔細(xì)觀察后容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到下一個(gè)等式為[4+43=4×43].但這樣的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生認(rèn)知水平的呈現(xiàn)比較局限，哪怕學(xué)生能想到多個(gè)等式，教師也無(wú)法了解到.

【問(wèn)題2】 [0+0=0×0];

[2+2=2×2];

[3+32=3×32];

……

（1）請(qǐng)你至少寫出3個(gè)滿足上述規(guī)律的等式.

（2）請(qǐng)你思考滿足上述等式中的兩個(gè)數(shù)有怎樣的特征？

問(wèn)題2的兩個(gè)小問(wèn)題的設(shè)計(jì)從易到難、循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

第（1）小問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生舉具體的例子，如果學(xué)生能寫出多個(gè)等式，說(shuō)明他能達(dá)到多元結(jié)構(gòu)水平.學(xué)生在進(jìn)入初中后，對(duì)于用代數(shù)式表示規(guī)律的題型，部分學(xué)生還是無(wú)法解決，主要是他們想一步到位地直接得到規(guī)律，但其實(shí)很多這樣的習(xí)題是需要先舉幾個(gè)特殊的例子，才能找到規(guī)律，再進(jìn)一步用代數(shù)式表示規(guī)律.

若要將學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)知水平從多元結(jié)構(gòu)水平提升到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，那就需要將滿足這個(gè)等量關(guān)系的兩數(shù)，有機(jī)地整合成一個(gè)整體，以此關(guān)聯(lián)到其他知識(shí)，從而解決同類問(wèn)題.第3個(gè)等式中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生能關(guān)聯(lián)到分?jǐn)?shù)，從而思考含分?jǐn)?shù)的等式中分子與分母的變化，得出一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)律——“兩個(gè)數(shù)的分子相同，分母之和等于分子”.

二、韋達(dá)定理——與初中關(guān)聯(lián)的“拓展結(jié)構(gòu)水平”

學(xué)情分析：初一的學(xué)生正處于直觀形象思維為主，為抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)變作鋪墊的一個(gè)階段.初一上冊(cè)在學(xué)了“代數(shù)式”之后，可以用字母表示代數(shù)式或等式.

教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步理解問(wèn)題“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”，能用代數(shù)式表示等式，并求解.

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：分式方程與整式方程的解法，以及兩者之間的聯(lián)系.

對(duì)于原始問(wèn)題，初一年級(jí)的學(xué)生能將“數(shù)”關(guān)聯(lián)到“用字母表示數(shù)”的知識(shí)，再結(jié)合歸納推理或演繹推理得到表示規(guī)律的等式.（1）歸納推理法：[0+0=0×0];[2+2=2×2];[3+32=3×32];[4+43=4×43];…… 通過(guò)觀察一些特殊性等式的特征，再歸納得到一般性的等式[n+nn-1=n×nn-1].（2）演繹推理法：原始問(wèn)題中，“等于”的左邊是兩數(shù)之和，“等于”的右邊是兩數(shù)之積，分別用[x]和[y]表示這兩個(gè)數(shù)后可得到一般性的等式[x+y=xy]，再得到一些具體的、特殊的等式，但此時(shí)學(xué)生只會(huì)用代入驗(yàn)證法.初一學(xué)生對(duì)于該問(wèn)題已經(jīng)能達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，進(jìn)入初二后，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程后，學(xué)生能將“兩數(shù)之和、兩數(shù)之積”關(guān)聯(lián)到韋達(dá)定理的“兩根之和、兩根之積”，從而達(dá)到拓展結(jié)構(gòu)水平.

【教學(xué)片段1】

學(xué)生解法：設(shè)[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的兩個(gè)根，即[x1+x2=-ba ，x1·x2=ca .]

[∵]要使[x1+x2=x1·x2]，

[∴][-ba=ca ].

去分母并化簡(jiǎn)得，[b=-c]，即[b與c]互為相反數(shù).

[∴]原方程可化為[ax2-cx+c=0].（還是無(wú)法求解）

師：一元二次方程[ax2-cx+c=0（a≠0）]的左右兩邊同除以[a]得[x2-cax+ca=0]，

設(shè)[ca=k]，則原方程可化為[x2-kx+k=0]，接下來(lái)能求解了嗎？

生：能，用求根公式，[x=-k±k2-4k2].

師：這個(gè)一元二次方程一定有解？

生：哦 ！不一定，要滿足[k2-4k≥0].

師：一元二次不等式的解法我們初中階段不學(xué)，能挑戰(zhàn)一下嗎？

生：（興奮）我知道了！左邊因式分解得：[kk-4≥0]，因?yàn)椤巴?hào)為正”，所以

[k≥0 ，k-4≥0]或[k≤0 ，k-4≤0 ，]解得[k≥4]或[k≤0].

師：你們思維的遷移非常厲害！一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)范疇，我們同學(xué)們居然有能力根據(jù)已有的知識(shí)自己學(xué)得.那現(xiàn)在怎么來(lái)確定[x1，x2]？

生：[k]可以取不同的數(shù)，這樣的[x1，x2]的值就有無(wú)數(shù)對(duì)了.

師：對(duì)！在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于每一個(gè)在范圍內(nèi)的[k]值，都能得到所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根，并滿足“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”.例如，當(dāng)[k=5]時(shí)，[x=-5±52]，則[x1+x2=-5-52+-5+52=-5]，[x1·x2=-5-52×-5+52=（-5）2-（5）24=-5]，

[∴-5-52+-5+52=-5-52×-5+52].

起初學(xué)生達(dá)到了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，將該問(wèn)題關(guān)聯(lián)到韋達(dá)定理后，嘗試從理論的高度來(lái)分析問(wèn)題，但卡在方程的變形，在教師引導(dǎo)后，可以讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)對(duì)方程變形、換元、求解，以此解決同類問(wèn)題，而且這種解法能將“一、找規(guī)律題型——與小學(xué)關(guān)聯(lián)的‘關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”中問(wèn)題2的有理數(shù)范圍內(nèi)的等式擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的等式，從而達(dá)到拓展結(jié)構(gòu)水平.

三、參數(shù)方程與函數(shù)——與高中關(guān)聯(lián)的“拓展結(jié)構(gòu)水平”

學(xué)情分析：初二的學(xué)生，一方面學(xué)習(xí)了方程與方程組的解法，另一面學(xué)生的思維已經(jīng)從直觀形象思維為主慢慢向抽象邏輯思維為主的轉(zhuǎn)變.能知道列出的[n+nn-1=n×nn-1]和[x+y=xy]這兩個(gè)等式是方程，分別屬于分式方程與二元二次方程，學(xué)生會(huì)通過(guò)嘗試解方程來(lái)尋求答案.

教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步理解問(wèn)題“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”，能列出方程并求解.

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：參數(shù)方程;反比例函數(shù)的平移與圖象.

【教學(xué)片段2】

學(xué)生解法：去分母得，[nn-1+n=n2]，

化簡(jiǎn)得，[n2-n+n=n2]，

移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得，[0=0].

[∴]該方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

師：通過(guò)解方程我們無(wú)法具體找到這兩個(gè)數(shù)，所以令這兩個(gè)數(shù)為[x，y]，由等式[n+nn-1=n×nn-1]可發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，引入?yún)?shù)[t]，得到參數(shù)方程[x=t ，y=tt-1t∈R]，變形可得[x=t ，y=1t-1+1t∈R]，這樣你能聯(lián)想到什么知識(shí)？

生：函數(shù).

師：對(duì)！將方程代入消元后可得到函數(shù)[y=1x-1+1]，自變量在分母中的函數(shù)是——？

生：反比例函數(shù).

師：我們可以把它看成由反比例函數(shù)[y=1x]平移得到的函數(shù)，怎么平移？

生：（開(kāi)始復(fù)述函數(shù)平移口訣“左+右-，上+下-”）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位.

師：請(qǐng)你畫出該函數(shù)圖象（如圖1），結(jié)合圖象可知，我們所求的兩個(gè)數(shù)[x，y]就是——？

生：這個(gè)函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)[（x，y）] .

起初學(xué)生達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，將該問(wèn)題關(guān)聯(lián)到分式方程，求解得到無(wú)數(shù)個(gè)解，無(wú)法得到具體的解.對(duì)此，教師引入高中的參數(shù)方程，引導(dǎo)學(xué)生將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)，如果就方程與曲線討論x，y由參數(shù)t決定，并結(jié)合圖象求解，就達(dá)到拓展結(jié)構(gòu)水平.

四、不定方程與區(qū)域——與大學(xué)關(guān)聯(lián)的“拓展結(jié)構(gòu)水平”

學(xué)情分析：初中階段不學(xué)二元二次方程，缺乏將[x+y=xy]關(guān)聯(lián)與化歸到不定方程和函數(shù)的能力，對(duì)于方程與函數(shù)之間的聯(lián)系沒(méi)有完全掌握.初二學(xué)習(xí)結(jié)束后，已學(xué)習(xí)完一次函數(shù)和反比例函數(shù)，學(xué)生正處于抽象邏輯思維為主的一個(gè)階段.

教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步理解問(wèn)題“怎樣的兩數(shù)之和等于這兩數(shù)之積”，能列出二元二次方程[x+y=xy]，能將同解的方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題去求解.

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：不定方程;方程與函數(shù)之間的聯(lián)系;一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【教學(xué)片段3】

師：方程[x+y=xy]是什么類型的方程？

生：二元二次方程叫不定方程，其通解（[a]，[aa-1]）為問(wèn)題中的兩個(gè)數(shù).（這名學(xué)生的回答利用了大學(xué)數(shù)論知識(shí)，顯然達(dá)到拓展結(jié)構(gòu)水平）

師：同學(xué)們也許會(huì)想，這樣的數(shù)對(duì)是怎么確定的？

生：由方程[y=k ，y=kk-1]（[k][∈R]）圖形的公共點(diǎn)確定.

由此可見(jiàn)，學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)、思想與方法均有很大拓展.課后進(jìn)一步探究平面區(qū)域[x+y>xy]及[x+y

學(xué)生解決不了的數(shù)學(xué)問(wèn)題，主要是因?yàn)閷W(xué)生無(wú)法將知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來(lái)才無(wú)法找到解題思路，而數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是要綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)才能解決的，因此達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是五個(gè)認(rèn)知水平的核心水平.這就需要教師在平時(shí)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生找到知識(shí)點(diǎn)之間的紐帶與橋梁，并在解題分析的導(dǎo)問(wèn)中反復(fù)強(qiáng)化.

從教學(xué)案例中，我們可以發(fā)現(xiàn)SOLO分類理論的這五個(gè)水平是層層遞進(jìn)的：認(rèn)知水平越高，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的效果就越好，不僅能有機(jī)整合解決問(wèn)題的思路，還能對(duì)問(wèn)題抽象概括來(lái)解決同類問(wèn)題并深化問(wèn)題，這樣優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果又能讓學(xué)生對(duì)同類問(wèn)題或進(jìn)一步的問(wèn)題得以解決，達(dá)到更高的認(rèn)知水平，所以認(rèn)識(shí)水平和學(xué)習(xí)效果是相互統(tǒng)一、相輔相成的.而提升學(xué)生的認(rèn)知水平離不開(kāi)教師設(shè)計(jì)高水平的教學(xué)活動(dòng)，因此，教師認(rèn)知水平高度決定著設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容與活動(dòng)的認(rèn)知水平高度，從而決定了教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的效果.