重構(gòu)單元 凸顯整體

金千千 張秋爽 魯靜華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！庇纱丝梢钥闯觯_計算、理解算理、用合理和簡潔的運算解決問題是運算教學(xué)的主要目標(biāo)。

對于“整數(shù)乘法”的教學(xué)，教材中是循序漸進(jìn)進(jìn)行編排的，從乘法口訣到兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，都是把一個個新問題轉(zhuǎn)化為舊知識解決的。如何體現(xiàn)對主題的整體把握，能否一以貫之地讓學(xué)生感受到這樣算的道理？這就需要教師在教學(xué)中從具體問題情境出發(fā)鍛煉學(xué)生提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力以及對數(shù)和數(shù)量關(guān)系的感悟，讓學(xué)生充分經(jīng)歷算法多樣化的過程，從而提高學(xué)生的運算能力和推理能力，在優(yōu)化方法中發(fā)展學(xué)生思維的深刻性和敏銳性。以下是我們對三年級“整數(shù)乘法”中的三節(jié)核心課——“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“ 兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“ 乘法豎式的歷史”的思考和實踐。

一、單元內(nèi)容分析

（一）有關(guān)“乘法”內(nèi)容的教材編排分析

北京版教材中對于乘法的教學(xué)有三個層次：乘法的初步認(rèn)識、乘法口訣是第一層次，多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)是第二層次，小數(shù)乘法是第三層次（如下圖）。

第一層次是認(rèn)識乘法意義，利用表內(nèi)乘法，算出結(jié)果。

第二層次是兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)以及三位數(shù)乘兩位數(shù)，運算包含了分與合的思想，通過拆分與合并轉(zhuǎn)化成表內(nèi)乘法進(jìn)行計算，在記錄的過程中用到了豎式，體現(xiàn)了十進(jìn)位值制，因而變得簡潔。分與合和十進(jìn)位值制就是學(xué)生的生長點，他們能夠通過對比口算和豎式體會到位值在豎式中的重要作用。

第三層次是小數(shù)乘法，利用積的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法。

（二）有關(guān)“整數(shù)乘法”的教材編排分析

第二層次的學(xué)習(xí)承上啟下，梳理第二層次的具體內(nèi)容如下圖。

本層次的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)相同，都在解決問題中經(jīng)歷口算、筆算和估算。整數(shù)乘法的計算道理也是相同的，在理解乘法意義的基礎(chǔ)上，運用分與合思想把新知變舊知，凸顯位值在筆算中的作用。

（三）有關(guān)乘法豎式歷史的分析

乘法豎式一開始就是這樣的嗎？帶著這樣的疑問，查閱相關(guān)資料，梳理了乘法豎式的發(fā)展過程。

乘法豎式經(jīng)歷了漫長的演變過程，學(xué)生了解乘法豎式的演變過程，有利于辨析與勾連不同豎式形式的內(nèi)在聯(lián)系。

二、學(xué)情分析

三年級的學(xué)生已經(jīng)理解了乘法的意義，掌握了2～9的乘法口訣;有了用分與合的方法進(jìn)行計算的經(jīng)驗;思維由具體形象向抽象邏輯過渡，初步具備一定的遷移能力。

前測題目：請根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗， 嘗試計算6×10， 寫出計算過程。

有98.1%的學(xué)生能正確計算出結(jié)果，且學(xué)生有多種策略解決整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的新問題。有的畫圖數(shù)出結(jié)果（十個一組圈起來），有的用加法6+6+6+6+6+6+6+6+6+6=60，有的用分與合的方法計算……

三、單元整合? 跨冊重組

學(xué)生雖然在乘法計算中積累了一定的經(jīng)驗，但并不明晰不同方法背后的道理。如何讓學(xué)生體悟方法間的內(nèi)在聯(lián)系？如何在不同方法的比較中選擇簡潔的運算方法？如何體會分、合思想與位值在計算中的價值？ 筆者根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，對整數(shù)乘法進(jìn)行了重構(gòu)，設(shè)計了單元整體教學(xué)，意在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。

（一）單元整合，減少課時

首先將三年級上冊中的多位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行整合，依據(jù)是學(xué)生已經(jīng)掌握整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算，可以很好地對多位數(shù)乘一位數(shù)的豎式學(xué)習(xí)進(jìn)行遷移。所以將口算、筆算合并，減少了6課時。

其次將三年級下冊中的兩位數(shù)乘兩位數(shù)進(jìn)行整合，依據(jù)是：整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)口算有困難，需要學(xué)生著重理解算理，所以將它保留。整十整百數(shù)乘兩位數(shù)口算和筆算內(nèi)容結(jié)構(gòu)相似，可以進(jìn)行知識整合，口算、筆算合并后，減少了3課時。

（二）跨冊重組，緊密連接

將三年級上冊中的多位數(shù)乘一位數(shù)、三年級下冊中的兩位數(shù)乘兩位數(shù)放在同一單元進(jìn)行教學(xué)，依據(jù)為：內(nèi)容結(jié)構(gòu)相同，算理相同，重組后連接更緊密。在此基礎(chǔ)上引入乘法豎式演變歷史，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，同時也能對兩位數(shù)乘兩位數(shù)進(jìn)行鞏固運用。

下學(xué)期再進(jìn)行多位數(shù)乘多位數(shù)的教學(xué)。

重組后，整數(shù)乘法間的連接更加緊密，學(xué)生能在學(xué)習(xí)的過程中感受知識的共性：確定計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)，位值讓豎式更簡潔的道理。同時積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗：用分與合的方法把新知變?yōu)榕f知，在運算的過程中要逐步求簡。

（三）把握核心課，凸顯整體

重組過程中，三節(jié)核心課也凸顯出來。

“兩位數(shù)乘一位數(shù)”重點為：在多種分合方法中，體會按計數(shù)單位分的重要性。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”重點為：在豎式形成中，體會豎式計算簡潔的原因——位值。

“乘法豎式歷史”突破點為：在對不同時期、地區(qū)豎式的對比中， 抽象出豎式記錄的共同點——利用分與合思想，解釋豎式逐漸優(yōu)化的過程及原因。

三節(jié)課層層遞進(jìn)，都為發(fā)展學(xué)生的運算能力服務(wù)。

四、核心課教學(xué)活動設(shè)計

“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“乘法豎式的歷史”三節(jié)課設(shè)計了如下4個核心活動。

核心活動1：對比方法，體會按計數(shù)單位分的作用

1.情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

教師出示情境：新學(xué)期開始了，小明下決心嚴(yán)格按照計劃完成任務(wù)。讓我們一起來看看他的計劃吧。你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

算一算：小明一周要跑多少千米？（口算）小明一周要做多少個俯臥撐？（算式板書在黑板上）

師：生活中會遇到乘法口訣不能解決的問題。這節(jié)課我們就來研究這樣的乘法怎樣計算。

（設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的生活情境，引出兩個乘法算式，鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，順勢導(dǎo)出所學(xué)內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求。）

2.探究新知，經(jīng)歷算法多樣化

學(xué)生自主探索計算12×5，教師巡視并收集學(xué)生出現(xiàn)的典型算法，然后分層次呈現(xiàn)和交流。

呈現(xiàn)學(xué)生的多種算法并分類。

① 12+12+12+12+12=60。

② 2×5=10，10×5=50，50+10=60。

③ 6×5=30，6×5=30，30+30=60;

5×5=25，7×5=35，25+35=60;

4×5=20，8×5=40，20+40=60;

3×5=15，9×5=45，15+45=60。

師：12怎么拆分都可以嗎？

學(xué)生展開討論，并得出結(jié)論：怎么分都可以，都是把12×5分成了兩部分，再合起來。

師：請大家計算13×9。

學(xué)生繼續(xù)用分與合的方法計算13×9，可分著分著就出現(xiàn)了不一樣的情況，教師有針對性地提問學(xué)生。

針對性提問1：

對剛才用12+12+12+12+12=60計算的同學(xué)：你怎么不用剛才累加的方法了？

生：這次是乘9，還有可能乘更大的數(shù)，要都變成加法算就太麻煩了。

師：你特別會思考，能根據(jù)不同的情況調(diào)整自己的計算方法?？磥硪愦笠恍┑某朔?，變成加法計算不太好算。

針對性提問2：

對用10×9=90，3×9=27，90+27=117方法計算的同學(xué)：這次怎么這么多人用這個方法呢？ 誰來說說你的想法？

生：13×9，拆成別的數(shù)不好算，就拆成3和10了。

師：看來這次大家都認(rèn)為拆成“10”的方法比較好。

針對性提問3：

對用9×9=81，4×9=36，81+36=117方法計算的同學(xué)：你有什么新想法？

生：我的方法不好算，他們的方法有一個整十?dāng)?shù)直接加就可以了。

師：看著黑板上這些不同的算法，你們有什么想法？

生：我覺得如果數(shù)越來越大，用加法計算肯定算得慢。

生：12×5比較好拆，拆完的數(shù)也比較好算。但是13×9就拆成有10的比較好算，其他的拆法不好算。

生：有10就好算，算起來正好是整十?dāng)?shù)。

師：你思考問題一針見血。10很神奇，不管我們把12拆成10和2，還是把13拆成10和3，都是因為有了10，計算才變得簡單。

（設(shè)計意圖：經(jīng)歷這樣的過程，學(xué)生體會到在不同的分與合方法中，按十進(jìn)位值去分最簡潔，為理解算理打下基礎(chǔ)。）

核心活動2：交流溝通，體會“理”“法”聯(lián)系

1.交流豎式算法

學(xué)生交流豎式計算的方法，教師提問：用豎式是怎樣算出結(jié)果的呢？

生：先算5×2=10，滿十進(jìn)一，再算1×5=5，5+1=6，所以等于60。

（注：學(xué)生表述有問題，教師在此不給予糾正，在溝通聯(lián)系時再進(jìn)行糾正。）

2.溝通聯(lián)系，打通算理

（1）溝通豎式和橫式的關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生對比橫式和豎式之間的關(guān)系，體會豎式每一步的算理。

問題串如下：

橫式里2×5=10，豎式里有10嗎？

→這一個小小的進(jìn)位1怎么就能表示10了呢？

→橫式里有10×5=50，豎式里怎么就是1×5了？到底是1還是10呢？

通過問題串，溝通豎式和橫式的關(guān)系，明晰豎式的算理。

（2）溝通豎式和加法的聯(lián)系

師：如果把連加的豎式換個寫法，還是豎式的形式，你看出其中的聯(lián)系了嗎？

生：這樣個位上也是5個2，十位上也是5個10，豎式和橫式都一樣，就是寫法不一樣。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察三種方法間的聯(lián)系：

至此，幾種不同的算法在學(xué)生眼里有了一樣的聯(lián)系，都是先算出個位上有幾個一，再算出十位上有幾個十。

3.比較方法，體會豎式的優(yōu)越性

師：既然幾種方法是一樣的，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)豎式呢？ 因為豎式簡潔，豎式簡潔的原因就是數(shù)位起了作用，正是因為數(shù)位都對齊了，每一位有每一位的值，所以才不會重復(fù)且又好算。

（設(shè)計意圖：兩組核心活動，讓學(xué)生對位值有了多次感知，對乘法豎式也不再是表面上的理解，而是在不斷的對比中明晰“理”“法”。）

核心活動3：點子圖助力突破難點，“四塊變兩塊”合理過渡到“一層變兩層”

對算式12×15，學(xué)生想用豎式計算但無從下手，針對此情況，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

學(xué)生用分與合的方法計算12×15，把12和15都拆了，10×10=100，2×5=10，100+10=110，計算結(jié)果并不正確。

借助點子圖進(jìn)行驗證，發(fā)現(xiàn)這樣拆分后少了兩塊，少算的兩塊分別是5×10和2×10。補充完整算式，得到12×15的正確結(jié)果。

10×10=100， 2×5=10，? 5×10=50，2×10=20，

100+10+50+20=180。

學(xué)生提出疑問：上節(jié)課的點子圖只分成了兩塊，這節(jié)課的點子圖分成了四塊，有沒有辦法變成兩塊呢？

嘗試后，合并成如下兩種情況：

12×10=120，? ? ? ? ? ? ? 15×10=150，

12×5=60，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15×2=30，

120+60=180? ? ? ? ? ? ? ? ?150+30=180

師：計算12×15，三個橫式太麻煩，能不能用豎式記錄呢？

學(xué)生嘗試用豎式記錄，有的同學(xué)列出三個小豎式，有的直接寫答案（如下圖）。

學(xué)生認(rèn)為三個豎式也麻煩，后者看不出是怎樣算出結(jié)果的。

在這樣的質(zhì)疑中，一個共同的需求產(chǎn)生了：怎樣才能既簡潔又體現(xiàn)出計算過程？一層變兩層呼之欲出。

再次借助點子圖，分析計算過程：先算5個12，再算10個12，最終得到兩層豎式，同時發(fā)現(xiàn)兩層豎式也是先算出有幾個一、幾個十，再合起來。

（設(shè)計意圖：借助點子圖引導(dǎo)學(xué)生深入思考，突破了一層變兩層的難點。學(xué)生充分體會分與合在計算中的價值——新知變舊知，位值在筆算中的價值——簡潔。）

核心活動4：在不斷讀懂和比較的過程中 ，體會豎式簡潔的原因

在本單元的最后安排了“乘法豎式的演變歷史”一課，呈現(xiàn)了不同時期、不同國家的乘法豎式。對每一種豎式的出現(xiàn)，教師都提出兩個問題：你看懂了嗎？你能進(jìn)行比較嗎？學(xué)生運用上兩節(jié)課的知識經(jīng)驗進(jìn)行解讀，在比較過程中，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，體會刪繁就簡的歷史發(fā)展過程。

（設(shè)計意圖：引入豎式演變史，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)展的長河里充分感受豎式形成的過程。通過歷史資料的分享，讓學(xué)生了解不同時期不同地區(qū)不同形式的豎式表達(dá)方式，了解知識的發(fā)展過程，讓數(shù)學(xué)課堂更有深度。）

這一單元的學(xué)習(xí)打破了教材的編排順序，進(jìn)行了單元整合和跨冊重組，豐富了教學(xué)內(nèi)容。整合后雖然減少了課時，但整數(shù)乘法的連接更加緊密，學(xué)生能夠感受到知識的共性，便于將算理算法明了于心，也為后續(xù)體會算理提供了發(fā)展空間。

整合后的單元教學(xué)以“問題情境”為依據(jù)，以“求知的態(tài)度”（即說清楚算理、歸納出算法）為基礎(chǔ)，在“辯一辯、論一論”的過程中培養(yǎng)了學(xué)生與人合作的方法：傾聽、基于證據(jù)的質(zhì)疑和辯論、尊重別人的看法以及善意的提醒等。

（北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)中心小學(xué)校? ? 101300

北京市順義區(qū)教育研究考試中心教研室? 101300）